7921506488

3. Przedziałowy algorytm wyższego rzędu

Moore w pracy [33] podał wzory na metody jednokrokowe wyższych rzędów dla równań postaci:

X = f(x)    (10)

gdzie f:Rⁿ —> R". Korzystając z wzoru Taylora możemy napisać:

x_i(t) = ^x1(0)+^if_i⁽i-^1>(x₁(0),...,x₁(0))t^l+lf(x₁(9)....,x₁,(e))t^k    (10)

j=l J^{!    K!}

gdzie 0 e [0, t]. Gdy x(0) = x₀ g A i x([0, h])ęA możemy napisać:

x_i(t) = x₁(0) + £le‘»(x_oy+-lf'^k'(A)t^k    (12)

Obliczenia przeprowadzamy wg niżej opisanego algorytmu. Najpierw obliczamy A⁽⁰⁾ = x₀ +f⁽⁰⁾(x₀)[0, h], gdy x([0, h]) ę A⁽⁰⁾ przyjmujemy A⁽¹⁾ = x([0, h]) i

wartość x(t) obliczamy z wzoru (12). W przeciwnym przypadku przyjmujemy h =

i powtarzamy cały proces. Kolejne pochodne możemy otrzymać różniczkując funkcję f(x). W oparciu o podobny algorytm działa program AWA napisany przez R.J. Lohner’a z uniwersytetu w Karlsruhe (ftp://iamk4515.mathematik.uni-karlsruhe.de/pub/awa). Obliczenia w tym przypadku przeprowadzane są wg następuj ącego algorytmu [ 1 ]:

1)    Obliczamy współczynniki rozwinięcia Taylora (x₀). stosując metody automatycznego różniczkowania [ 1,6,7,8,9,10,15,25,27,28,29,38,44-47].

2)    Określić stalą [x₀ ].

3)    Określamy krok h dla którego metoda jest zbieżna przy' pomocy warunku:

[x](t)c[x„]    (13)

4)    Określić wartość przedziałowego rozszerzenia reszty wzoru Taylora ([x₀])_p.

5)    Przybliżone rozwiązanie ma postać:

[x](t) = I(t-t₀)‘(x₀)_i+(,-t₀)'([x₀])_p    (14)

Określamy przy tym rozmiar przedziału [t₀, t*] dla wzór gwarantuje dokładne oszacowanie zbioru rozwiązań.

Rozważy my równanie drgań własnych oscylatora harmonicznego (4).

Rozwijając rozwiązanie w szereg Taylora otrzymujemy:

x(t) = x₀+v₀t + (^x0)₂t²+(^x0)₃t³+(x₀)_Jt⁴+ -.+(^x0)_i|_₁tⁿ-¹+([x₀]) t" (15)