8181341995

154

PRZEGLĄD TECHNICZNY.

11)08.

	Ul	0	0
Ił =	0	g2	0
	0	0	U3

wyraża się to krótko, pisząc

to = tp ł

i nazywając co sumą operatorów cp, Nietrudno jest zrozumieć, że

ł + <t = f+1 ■

„Dodawanie" operatorów liniowych jest poprostu zwykłem dodawaniem ich dziewięciu współczynników skalarnych. To samo dotyczy odejmowania. Stąd też wynikają bezpośrednio prawidła dla mnożenia lub dzielenia operatora liniowego przez liczbę skalarną. Jeżeli n jest dowolnym skalarem, natenczas n co jest poprostu operatorem liniowym o współczynnikach n co_n, nco_l2 i t. d.; możemy więc też napisać con zamiast n co.

Nader ciekawe są własności kolejnego stosowania operatorów liniowych do danego wektora a więc np. <p (*[> A); dla celów naszych wystarczą atoli pi v yższe proste uwagi, dotyczące dodawania i odejmowania operatorów.

Opierając się na nich, można łatwo dowieść jednego z najbardziej zasadniczych twierdzeń, a mianowicie twierdzenia, według którego ogólna funkeya liniowa co A daje się zawsze rozłożyć na funkcyę symetryczną wektora A i na iloczyn wektorowy tegoż 4Ł przez pewien wektor c charakterystyczny dla operatora co:

co^L = U A + VcJL,

czyli z opuszczeniem domyślnego wektora, na którym mamy operować:    co Q -f- Vc.

Operator symetryczny jak i wektor c dają się przytem wyrazić w niedwuznaczny sposób przez własności danego operatora ogólnego co.

Tstotnie, dla dowolnego co możemy napisać zamiast (XIP):

COn-ł-C02l <0,3-j-C03l		0, C0|2 — C02l, COj3 — CO.jj
2 ’ 2
^(U21+^(012 ^W2s4-«32 9 » ^m‘J2’ 9	W	^w2l ^W12l ^W23 ^W32
Sś Su W3l+^tó13 W32+^a)2.»		^W31—^W.V2”’^a)23) ^0
2 ’ 2 ’ ^33

Pierwszy operator po prawej stronie jest już operatorem symetrycznym ił, a mianowicie o współczynnikach

= l (<*>« + co_xl) = Q_xt, gdzie _t, _x .. 1, 2, 3 ; pamiętając o określeniu operatora sprzężonego, możemy napisać poprostu    & ₌ i (w _w').

Aby więc dowieść powyższego twierdzenia, wystarcza przekształcić drugi operator; oznaczmy go na chwilę przez 4>> a więc napiszmy    co = Q -f- J $ .

Operując na wektorze A =i A_l    A₃, otrzymujemy

bJL=i [0+    «0₃₁) Aj — (<o₂, — Uł₁₂).4j] +

+ i [Ki — “uMl- Ki — «2s) ^j] +

-)- k [ (<»₃₂    a>₂₃) A., — (co_tJ — w_3I) A1];

lecz suma wszystkich wyrazów po prawej stronie jest iloczynem wektorowym wektora

C — i (<o₃₂ — 0>₂₃) -f j K₃ — <o₃₁) 4. k (to₂₁ - o>₁₂)

i wektora A, tak iż mamy

ł A. = VcA,

czyli, opuszczając znowu wektor, na którym się operuje:

ty = V c.

Tern samem zaś zapowiedziane twierdzenie jest dowiedzione. Mamy więc ostatecznie dla dowolnego operatora linioiocgo:

<*> = ii + $ V c    |

gdzie    Q = J (co -j- co'),    j (XIII).

c = i Kj—“2j) +j (“lj— ®>3i) - * (“21—“12) J Jednocześnie widzimy stąd, że rozkład operatora ogólnego na część symetryczną i na część asymetryczną (a mianowicie tak zwaną anty symetryczną) daje się uskutecznić w jeden

1 jedyny tylko sposób. Zarówno bowiem il jak i c są jednoznacznie określono przez własności danego operatora co.

Odwrotnie też, operator symetryczny Q wraz z wektorem c określają zupełnie operator liniowy ogólny co. Określenie operatora Q wymaga sześciu danych skalarnych (np. trzech kątów dla wyznaczenia oryentacyi „osi głównych" i trzech „wartości głównych^u wzdłuż tychże osi), określenie | wektora c co do kierunku i natężenia wymaga również trzech 1 danych skalarnych, co razem czyni dziewięć, jak być powinno.

Zastosujmy operator co do pęczka wektorów spółpocząt-kowych A posiadających wszelkie możliwe kierunki lecz jedno i to samo natężenie .1. Część symetryczna U tego operatora zamieni kulę A = const. na elipsoidę o osiach zlewających się z osiami głównemi Q: pozostała część \ Vc obróci tę ! elipsoidę jako sztywną całość o kąt }, c naokoło osi określonej przez kierunek wektora c.

Własności operatora symetrycznego, a więc jego osi ! głównych i t. d., nie mamy już potrzeby omawiać, gdyż uczyniliśmy to poprzednio. (Por. zresztą „Elektryczność i Mgnt.^w, | str. 17—22).

Najważniejsze usługi przy rozważaniu odkształceń i spraw pokrewnych oddaje twierdzenie (XIII). Ono też było I głównym celem naszej dy grosy i matematycznej.

Zakończymy ją kilkoma krótkiemi uwagami, które mo-I gą się nam przydać w ciągu dalszym.

Idąc za przykładem Giuhs’a można ogólny operator li-

! niowy co określić przez trzy wektory, powiedzmy O_x etc.:

[

#! = i ci)_n + / co_l2 -f- k co_t3 !    0₂ = i co₂₁ 4- ) co₂₂ + k co₂₃

0₃ = i C0₃₁ + i C0₃₂ -j- k CO33 .

Wówczas będzie mianowicie według (XII»):

Ii_x — O_xA, B, = 0₂ A, B_z = O, A

¹ a więc

» = co A = i . O, A + j .0,A+k. 0₃ A,

¹ tak, iż operator co przybierze postać tak zw. dyady (dyadic): \    <0=1 O_l+j.Oj + k.O, . (XIV).

Kropki po i etc. oznaczają, iż należy wektor A, na którym mamy operować, pomnożyć najpierw skalarnie przez wektor ■ 0_t lub Ó₂, 0₃, a następnie tak otrzymano skalary pomnożyć przez #, względnie przez k.

Ostatnia wreszcie uwaga ma dotyczyć operatora symetrycznego, czyli Ił. Wiemy już, że posiada on wogóle trzy osie główne wzajemnie prostopadłe i trzy odpowiednie war-I tości główne, powiedzmy

a,, a*

I (zwyczajne skalary). Dla takiego operatora najdogodniej jest położyć układ normalny i, /, k wzdłuż osi głównych; wówczas będzie mianowicie Q₁₁ = Ił₁, <ł_i2 = 0, etc., czyli przy użyciu powyższej symboliki

I i •

B = U A=iil_lA_l + j il₂A₂ + kto₃A₃ (XV)

jak pisaliśmy już przy rozważaniu bryły sztywnej. Wówczas też widzieliśmy, że dla dowolnych dwóch wektorów A, Cjest

CQA = AQC. . . . . (XVI)

czyli: iloczyn skalarny jednego wektora przez liniową funkcyę symetryczną drugiego równa się iloczynowi skalarnemu drugiego przez takąż funkcyę pierwszego. Własność ta nie przysługuje operatorowi asymetrycznemu co; dla takiego mamy ogólniej, jak łatwo okazać można

€ co A = A co' C.....(XVI')

gdzie co'jest operatorem sprzężonym względem co. Równość (XVI) wynika stąd jako wypadek szczególny; operator jest bowiem samosprzężonym.    (C. d. u.)