8504862266

Rozdział 1

Przybliżone metody całkowania

1.1 Metoda prostokątów

Przedział < a; b > dzielimy punktami

Xk=a-\--k (k = 1,2,... ,n — 1)

n

na n przedziałów o wspólnej długości —. W każdym z tych podprzedziałów bierzemy punkt & =    i obliczamy /({») = y_k.

Za przybliżenie całki

f(x)dx    (1.1)

przyjmujemy sumę iloczynów

(1.2)

b — a b — a    b — a

V\--V 2/2--\- ... + y_n-

n    n    n

stąd

j^r f(x)dx « —^-{yi + 2/2 + • • • + y_n)    (1-3)

Wzór przybliżony (1.3) nazywamy wzorem prostokątów. Interpretację geometryczną tego wzoru dla n = 3 podano na rys. 1.1.

Zakładając dodatkowo istnienie i ciągłość drugiej pochodnej f" funkcji / na przedziale < a\b>, możemy podać ocenę błędu bezwzględnego A_p przybliżenia (1.2) całki (1.1)

A_p < M₂

(b-af

24n²

(1.4)

gdzie M₂ = sup_<a!t> |/"(i)|.

1.2 Metoda trapezów

Przedział całkowania < a; b > dzielimy na pewną liczbę n przedziałów częściowych, wszystkich o tej samej długości (6 — a)/n. Kolejne odcięte punktów podziału oznaczamy przez a = Xq,Xi, ... ,X2 = b, odpowiednie zaś rzędne przez y\ = f(xi) {i = 0,1,...,n). Jako

5