984501235

12

I. STRUKTURY LICZBOWE

Dzięki prawom przemienności dodawania oraz rozdzielności mnożenia względem dodawania mamy wzór:

(9)    aj^a_k += j>2(aak +/3bt).

fc=l    fc=l fc+1

Z twierdzenia 2.4 wynika następujący ważny wzór:

Twierdzenie 2.5 (Wzór dwumienny Newtona). Dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi wzór:

(10)    (x + »)” = £

Istotnie, skoro

(x + y)ⁿ = (x + y)(x + y)- ,..(x + y),

to, na mocy zasady rozdzielności mnożenia względem dodawania, wyrażenie (x + y)ⁿ jest równe sumie wyrażeń postaci xⁿ~^ky^k. Powstają one w ten sposób, że z każdego spośród n nawiasów wybieramy x lub y, przy czym jeśli wybierać będziemy element y /e-krotnie, a w pozostałych przypadkach (czyli n — fc-krotnie) wybierzemy element x, to otrzymamy składnik xⁿ~^ky^k. Ponieważ wyborów takich jest dokładnie to współczynnik przy xⁿ~^ky^k będzie równy właśnie (*£). To kończy dowód wzoru Newtona. W szczególności dla n = 2 oraz n = 3 mamy znane wzory:

(x + y)² = x² + 2 xy + y²,

oraz

(x + y)³ = x³ + 3 x²y + 3 xy² + y³.

Wstawiając we wzorze (10) x = y = 1 otrzymujemy równość

Interpretacja tego wzoru jest oczywista: wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest dokładnie 2ⁿ.

3. Liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste

Zbiorem szerszym od zbioru N liczb naturalnych jest zbiór Z liczb całkowitych, który poza elementami zbioru N zawiera jeszcze 0 oraz liczby postaci —n, gdzie nSN. Zatem

Z = N U {0} U {-n: n € N}.

Inaczej mówiąc zbiór liczb całkowitych składa się z liczb całkowitych dodatnich (czyli liczb naturalnych), zera oraz z liczb całkowitych ujemnych. Ma więc postać:

..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3,...