984501245

ROZDZIAŁ I

Struktury liczbowe

1. Wstęp mnogościowy

Rozpoczniemy wykład od ustalenia pojęć i zebrania podstawowych faktów, które później wykorzystamy.

Pojęciem podstawowym jest zbiór. Przyjmijmy, że pojęcie zbioru jest dla nas intuicyjnie zrozumiałe.

Tak więc, jeśli A jest zbiorem, a x należy do zbioru A, czyli x jest elementem zbioru A, to piszemy

x e A.

W przeciwnym przypadku piszemy x £ A. Często zbiór można opisać wyliczając jego elementy. Na przykład, jeśli zbiór A składa się jedynie z liczb 1,2 oraz 3, to zapisujemy ten fakt następująco:

A = {1,2,3}.

Niekiedy zbiór można opisać przez podanie formuły, którą spełniają jego elementy. Tak więc jeśli B jest zbiorem wszystkich rozwiązań równania

x² — 3x + 2 = 0,

to piszemy

B = {x € R: x² -3x + 2 = 0}.

Wówczas, jak łatwo sprawdzić, B = {1,2}.

W określeniu zbioru B pojawił się symbol R oznaczający zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Ma on znaczenie zasadnicze w matematyce i na jego temat powiemy nieco więcej. Równie ważny jest podzbiór liczb rzeczywistych składający się z liczb naturalnych. W tym miejscu trzeba dodać, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy symbolicznie

AC B,

jeśli każdy element zbioru A jest także elementem zbioru B. Mówimy wtedy, że A jest podzbiorem zbioru B.

Mając dwa zbiory A i B możemy mówić o ich sumie i iloczynie. Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór A U B złożony z tych elementów x, że x € A lub x € B. Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór Af)B, którego elementami są takie x, że x € A i x G B. Oprócz tego możemy mówić o różnicy A\B zbiorów A i B. Składa się ona z tych x, że x € A i x ^ B.

3