Wykład nr.3
Skręcanie prętów o dowolnym
przekroju w zakresie niesprężystym:
nośność graniczna-analogia wzgórza
piaskowego, zakres sprężysto-
plastyczny- analogia dachu Nadai a
Analogia Nadaia - analogia wzgórza piasku
funkcja naprężenia analogiczna do
funkcji Prandtla
"Åš "Åš
Ä = Ä = -
xz yz
"y "x
warunek równowagi wewnętrznej
"Ä
"Ä
yz
xz
+ = 0
"x "y
spełniony tożsamościowo
"2Åš "2Åš
- = 0
"y"x "x"y
naprężenie styczne
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
"Åš "Åš
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2
Ä = Ä +Ä = + ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
xz yz
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
warunek plastyczności
Ä = Ä0
gdzie Ä0 granica plastycznoÅ›ci przy
skręcaniu
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
"Åš "Åš 2
ëÅ‚ öÅ‚
2
+ ìÅ‚ ÷Å‚ = gradÅš = Ä0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gradÅš(x, y) = Ä0
czyli
czyli wartość gradientu funkcji Ś(x,y)
a zatem stały jest spadek powierzchni
o równaniu z= Ś(x,y), powierzchnie
takiego typu reprezentuje wzgórze
piasku
gradw(x, y) = tgµ
gdzie w-wartość funkcji (rzędna
wzgórza piasku), µ-kÄ…t tarcia
wewnętrznego (kąt zsypu)
analogia pomiędzy równaniami
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Åš w
ìÅ‚ ÷Å‚
gradìÅ‚ ÷Å‚ = 1 = gradìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
tgµ
0 íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚Ä Å‚Å‚
przy spełnieniu warunków na
brzegu Åš|C=0 oraz w|C=0 daje
Ä0
Åš(x, y)= w(x, y)
tgµ
moment skręcający odpowiadający
całkowitemu uplastycznieniu
Ä0 Ä0
Ms = 2
+"+"Åš(x, y)dA = 2 tgµ +"+"w(x, y)dA = 2 tgµ VN
A A
Przykład - skręcanie pręta okrągłego
h = rtgµ
1 1
VN = r2h = r3tgµ
3 3
Ä0 2
Ms = 2 VN = Ä0r3
tgµ 3
Analogia Sadowsky ego -
przekroje wielospójne
Å„Å‚
gradw(x, y) = tgµ
ôÅ‚
ôÅ‚w = const = 0
òÅ‚
C1
ôÅ‚w = const `" 0
ôÅ‚
C2
ół
moment skręcający
Ä0
Ms = 2 (V1 +V2)
tgµ
Analogia skręcania sprężysto-plastycznego
Nadaia - analogia dachu
kombinacja analogii błonowej i wzgórza
piasku
warunki ciągłości
"Åše "Åšp
Åše = Åšp oraz = wzdluz “ep
"n "n
moment skręcający
îÅ‚ Å‚Å‚
~
e p
Msep = 2ïÅ‚
+"+"Ś (x, y)dA ++"+"Ś (x, y)dAśł
ïÅ‚ śł
Ae Ap
ðÅ‚ ûÅ‚