SKRĘCANIE PRĘTÓW

SKRCANIE PRTÓW 1
1. SFORMUAOWANIE ZAGADNIENIA
z
y
S
L
qvz
qvy
x
x - oś pręta, y, z - osie główne, centralne przekroju poprzecznego pręta
pręt pryzmatyczny, utwierdzony "punktowo" w pkt. S (0, 0, 0)
pobocznica wolna od obciążeń
denko x = L obciążone siłami o gęstości q (0, qvx, qvy). Obciążenie redukuje się do pary sił o
momencie Ms, działającej w płaszczyznie (y, z)
siły masowe X = 0
2. ROZWIZANIE PROBLEMU SKRCANIA
Podejście kinematyczne
u (+ kin. war. brzeg.) �! T� �! T� (rów.Naviera + stat. war. brzeg. )
kinematyczne warunki brzegowe w pkt. S (0, 0, 0)
u = v = w = 0
" v " w
= = 0 brak obrotu wzg. osi x
" z " y
"u " w
= = 0 brak obrotu wzg. osi y
" z " x
"u " v
= = 0 brak obrotu wzg. osi z
" y " x
SKRCANIE PRTÓW 2
FUNKCJE PRZEMIESZCZEC
z z
n n
y
y
x
x
u
A A
A'
n'
n n
Ms Ms
x x
z
n
y
v
z
A'' ą
A''
x
u
A ą
� w
'
A'
A
�
n' �
y
AA'' = ( 0, v, w )
'
AA = ( u, v, w )
n
Ms
x
kąt skręcenia przekroju ą = ą (x)
założenie : ą = � x � - jednostkowy kąt skręcenia
funkcje przemieszczeń pkt. A
v = - =
( ) - �cos� + �2 cos ą cos� - �2 siną sin�
[�cos� - �2 cos ą + � ]
w = sin ą + � - �sin� = �2 siną cos� + �2 sin� cos ą - � sin�
( )
[�2 ]
zał. o małych przemieszczeniach � = �2 ; siną H" ą ; cos ą H" 1
v = - �ą sin� w = � ą cos �
� sin� = z � cos� = y
v = - � x z w = � x y
Funkcja u związana jest ze "spaczeniem" (deplanacją) przekroju i dla różnych kształtów jest
ona odmienna. Dla ustalonego kształtu przekroju pręta nie obserwuje się jednak różnic w
spaczeniu poszczególnych przekrojów poprzecznych pręta. Tak więc u = u (y, z).
u y,z = � � y,z
założenie
( ) ( )
SKRCANIE PRTÓW 3
sprawdzenie kinematycznych warunków brzegowych
dla S (0, 0, 0) u = 0 ; v = 0 ;w = 0 �! �( 0, 0) = 0
" v " w " w "u
= = 0 = 0 = 0
" z " y " x " x
"u "�
= 0 �! = 0
" z " z
(0,0,0)
"u "�
= 0 �! = 0
" y " y
(0,0,0)
wyznaczenie składowych tensora odkształcenia
� = u = 0 � = v = 0 � = w = 0
x ,x y ,y z ,z
ł = v + w = - � x + � x = 0
yz ,z ,y
�ł "� �ł
ł = u + v = � - z�ł
xy ,y ,x �ł
�ł " y łł
�ł "� �ł
ł = u + w = � + y�ł
xz ,z ,x �ł
�ł " z łł
wyznaczenie składowych tensora naprężenia
� = � = � = 0 ; � = 0
x y z yz
�ł "� �ł �ł "� �ł
� = G � - z�ł ; � = G � + y�ł
xy �ł xz �ł
�ł " y łł �ł " z łł
sprawdzenie równań równowagi
2 2
�ł �ł
" � " �
2
� + � + � = 0 �! G � + = 0 �! " � = 0
�ł �ł
xx xyy xzz
, , ,
2 2
�ł " y " z łł
pozostałe dwa równania Naviera są spełnione tożsamościowo
sprawdzenie statycznych warunków brzegowych
pobocznica � = 0,ą ,ą )
( �y �z
�ł "� �ł �ł "� �ł
� ą + � ą = 0 �! - z�ł ą + + y�ł ą = 0
xy �y xz �z �ł �y �ł �z
�ł " y łł �ł " z łł
pozostałe dwa warunki są spełnione tożsamościowo
ścianki poprzeczne � = ą10,0
,
( )
�ł "� �ł �ł "� �ł
q = 0 q = ą � = ą G � - z�ł q = ą � = ą G � + y�ł
�x �y yx �ł �z zx �ł
�ł " y łł �ł " z łł
SKRCANIE PRTÓW 4
Podsumowanie : funkcja � y,z musi być taka, że spełnia :
( )
2
1. równanie harmoniczne " � = 0
�ł "� �ł �ł "� �ł
2. statyczne warunki brzegowe - z�ł ą + + y�ł ą = 0
�ł �y �ł �z
�ł " y łł �ł " z łł
3. kinematyczne warunki brzegowe � 0,0 = 0
( )
"� "�
= 0 = 0 (W1)
" z " y
(0,0) (0,0)
Muszą ponadto być spełnione relacje między składowymi obc. zewnętrznego i funkcją � y,z
( )
�ł "� �ł �ł "� �ł
q = ą G � - z�ł q = ą G � + y�ł
�y �ł �z �ł
(W2)
�ł " y łł �ł " z łł
zagadnienie Neumanna
�ł "� �ł �ł "� �ł
2
" � = 0 + - z�ł ą + + y�ł ą = 0
�ł �y �ł �z
�ł " y łł �ł " z łł
Istnieje tylko jedno rozwiązanie zag. Neumanna z dokładnością do stałej, którą wyznacza
się z warunku � 0,0 = 0 .
( )
Warunki (W1) dla przekroju z co najmniej jedną osią symetrii są spełnione, a dla innych z
wystarczającą dokładnością.
Obciążenie zewnętrzne musi być takie, aby spełnione były warunki (W2), gdzie � jest
parametrem obciążenia.
Obciążenie ścianki poprzecznej momentem skręcającym
z z
qvz
y y
a"
qvy
Ms
Rozwiązanie uzyskane dla obciążenia q (0, qvx, qvy) może być przy wykorzystaniu zasady de
Saint-Venanta zastosowane dla obciążenia w postaci momentu skręcającego Ms pod
warunkiem, że obciążenia są statycznie równoważne, tzn .
�ł "� "� �ł
2 2
M = q y - q z dA = � G y - z + y + z dA
)
s ( �z �y �ł �ł
+"+" +"+"
�ł " z " y łł
AA
def
�ł "� "� �ł
2 2
I = y - z + y + z dA
s �ł �ł
+"+"
�ł " z " y łł
A
M
s
M =� G I �=
ss
GIs
Inne więzy kinematyczne
Stosując podejście statyczne można wykazać, że tensory odkształcenia i naprężenia nie
zmieniają się. Inne są jedynie funkcje przemieszczeń.
SKRCANIE PRTÓW 5
3. SKRCANIE PRTA O PRZEKROJU KOAOWYM
zagadnienie Neumanna
z
(ą ,
� ą )
� �
y z
"2� = 0
+
R ą�y = y
z
R
y
"� "�
y + z = 0
y
" y " z
ą�z = z
R
+
� 0,0,0 = 0
( )
Jednorodność równania harmonicznego i warunków brzegowych prowadzi do rozwiązania
� y,z a" 0
( )
funkcje przemieszczeń
M M
s s
u a" 0 ; v = - xz ; w = xy
GIs GIs
WNIOSEK: przekrój kołowy nie ulega deplanacji
naprężenia
�
z z
�
M M
s s
�xz � = - z ; � = y
xy xz
� I I
s s
xy
R
r
y
y
Ó!
R
M
s
2 2
� = � + � = r
xy xz
I
s
�
kierunek wektora naprężenia
� 0,� ,� ; � 0,y r ,z r �! � o � = 0
( xy xz ) ( )
WNIOSEK: wektor naprężenia stycznego jest prostopadły do promienia wodzącego punktu
naprężenie maksymalne
M
s
� = R
max
I
s
4 4
def
Ą d Ą R
2 2
I = y + z dA = I = =
s o
( )
+"+"
32 2
A
warunki projektowania
1. warunek wytrzymałościowy � d" R
max t
3 3
M
I
s Ą R Ą d
o
d" R
W = = =
t
o
W
R 2 16
o
2. warunek geometryczny � d" �
max dop
M
s
d"�
GIo dop
SKRCANIE PRTÓW 6
4. SKRCANIE PRTA O PRZEKROJU PROSTOKTNYM
z
z
y
h y
b
h
h > b
b
warunki brzegowe na krawędziach y = ą b/2 ( ąvy = ą 1, ąvz = 0 )
�ł "� �ł "�
- z�ł ą1 = 0 �! = z
( )
�ł
�ł " y łł " y
warunki brzegowe na krawędziach z = ą h/2 ( ąvy = 0, ąvz = ą 1 )
�ł "� �ł "�
+ y�ł ą1 = 0 �! = - y
( )
�ł
�ł " z łł " z
zagadnienie Neumanna
"� "�
"2� = 0 + = - y ; = z + � 0,0,0 = 0
( )
" z " y
Szkic rozwiązania
- wprowadzamy funkcję
Ń y,z = y z - � y,z
( ) ( )
- zagadnienie Neumanna
"Ń "Ń
"2Ń = 0 + = 2 y ; = 0 + Ń 0,0,0 = 0
( )
" z " y
- przyjmujemy funkcję Ń w postaci szeregu
"
Ń y,z = f y g z
( ) n n
( ) ( )
"
n = 0
- obliczenia prowadzą do rezultatu
"
B
n
� y,z = y z - sink y coshk z
( ) n n
"
h
k cosh k
n = 0
nn
2
2n + 1 Ą
( )
n 8b
B = - 1 ; k =
n ( ) n
2
2
b
2n + 1 Ą
( )
rozkład naprężeń stycznych
z
�xy
(z = h/2)
h > b
� = � b 2
max xz ( )
y
�xz
(y = b/2)
max. napr. styczne
w połowie dłuższego boku
SKRCANIE PRTÓW 7
h
�ł �ł
3
moment bezwładności na skręcanie I = � �ł �ł hb
s
�ł łł
b
h
�ł �ł
2
wskaznik wytrzymałości przy skręcaniu W = ą �ł �ł hb
s
�ł łł
b
warunki projektowania
M
s
d" R
1. warunek wytrzymałościowy � d" R �!
t
max t
W
s
M
s
d"�dop
2. warunek geometryczny � d" � �!
max dop
GIs
5. PRZYBLIŻONE ROZWIZANIE SKRCANEGO PRTA CIENKOŚCIENNEGO
Pręty o profilu otwartym
i
1 bi
2 j
n
4
i - ty element hi
hi >>bi
3
k
Założenia :
1. Jednostkowy kąt skręcenia każdej części jest taki sam i równy jednostkowemu kątowi
skręcenia całego przekroju
M M M
s si si
� = �! � = � = =
i
3
GIs GIsi G � h b
i ii
2. Całkowity moment skręcający jest sumą momentów skręcających poszczególne części
przekroju
n n n
3
M = M = � G I = � G � h b
ssi si i ii
" " "
i=1 i =1 i=1
n
3
I = � h b
si i
"
i
i=1
maksymalne naprężenie styczne
M �
M
s i
si
� = b
max � = � = �!
i max i
i
i max
I ą
W
s i
si
uproszczenie dla przekrojów o częściach składowych spełniających warunek hi e" 5 bi
ą = �
i i
M
s
� = b
max max
I
s
SKRCANIE PRTÓW 8
Pręty o profilu zamkniętym
Założenie :
1. Rozkład naprężeń stycznych na grubości ścianki jest równomierny
�
z 2
�
2
y
Ms
�
1
x
"x
�
1
Równowaga sił w kierunku osi x
� � " x - � � " x = 0 �! � � = � �
1 1 2 2 1 1 2 2
� � = const.
Warunek równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych
z z
�
�
ds
c
dF
ds
dF
Ms
y
h(s)
Ms
y
h(s)
s
M = dP h s = � � h s ds
s ( ) ( )
+"+"
cc
dF = 12 h s ds
( )
M = � � 2 dF = 2 � � F
s
+"
c
F - pole obszaru ograniczonego linią środkową "c"
Naprężenie styczne
M
s
� =
2 � F
M
s
� =
max
2 F �
min

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Skręcanie prętów o kołowym kształcie
Skręcanie prętów o dowolnym Cz3
Badania na skręcanie prętów dwuteowych usztywnionych przewiązkami
Stal, spoiny, skręcanie
skrecanie
Działanie momentu skręcajacego
Obliczanie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Skręcanie pręta zadanie statycznie wyznaczalne
skręcanie
Wykład 10 skręcanie OK
Wykład 02 (część 07) zasada prac wirtualnych dla odkształcalnych układów prętowych

więcej podobnych podstron