1
Wielomiany
Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x
nazywamy funkcjÄ™
W(x) = an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0,
gdzie n " N *" {0} , a0, a1, . . . , an " R oraz an = 0.

Liczby a0, a1, . . . , an nazywamy współczynnikami wielomianu,
przy czym a0 nazywamy także wyrazem wolnym. Liczbę n
nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy n = st.W(x).
Przykłady wielomianów: W(x) = 7 , W(x) = x - 5 ,
W(x) = 2x3 + 4x2 - 5
2
W szczególności:
" funkcję stałą W(x) a" 0 nazywamy wielomianem zerowym,
" funkcję stałą W(x) = a0, a0 = 0 nazywamy wielomianem

stopnia zero,
" funkcjÄ™ W(x) = a xn, a = 0 nazywamy jednomianem,

" dwumianem nazywamy sumę dwóch jednomianów różnych stopni,
na przykład: W(x) = 3x3 - x, W(x) = x7 + 7x5,
" trójmianem nazywamy sumę trzech jednomianów różnych stopni,
na przykład: W(x) = x2 - x + 1, W(x) = 5x6 + 2x4 + 3x2.
3
Definicja LiczbÄ™ rzeczywistÄ… x0 nazywamy pierwiastkiem
wielomianu W(x), jeżeli W(x0) = 0.
Przykład Dla jakiej wartości parametru m wielomian
W(x) = 4mx4 + 3m2x2 - x + 2
ma pierwiastek równy 1 .
Przykład Dla jakiej wartości parametru m wielomian
W(x) = m2x4 + x3 - (5m - 1)x2 + x + 7
ma pierwiastek równy -1 .
4
Działania na wielomianach
" Równość wielomianów
Dwa niezerowe wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia
i ich współczynniki, stojące przy tych samych potęgach zmiennej
x, są sobie równe.
" Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów
(Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów wykonujemy
jak działania na wyrażeniach algebraicznych)
Przykład Niech dane będą wielomiany: W(x) = x2 + 2 i
Q(x) = 2x - 1. Obliczyć:
a) (W(x) - 3Q(x)) · Q(x)
b) (W(x) + 3Q(x)) · W(x)
5
" Dzielenie wielomianów
Niech W(x) i Q(x) będą wielomianami, przy czym
st.W(x) st.Q(x) i Q(x) nie jest wielomianem zerowym.
Jeżeli istnieje dokładnie jeden wielomian P(x) taki, że dla
każdego x " R spełniona jest równość
W(x) = Q(x) · P(x),
to wielomian P(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x)
przez Q(x) , tj.
W(x)
= P(x).
Q(x)
O wielomianie W(x) mówimy wówczas, że jest podzielny przez
Q(x).
6
Przykład Wykonać dzielenie wielomianów:

a) 3x5 - x4 + x3 + 7x2 - 6x + 8 : x3 - x + 2

b) x4 + 3x3 - 12x2 - 13x - 15 : x2 + x + 1
Twierdzenie (O rozkładzie wielomianu)
Jeżeli W(x) i Q(x) są wielomianami takimi, że
st.W(x) st.Q(x) i Q(x) nie jest wielomianem zerowym, to
istnieją takie dwa wielomiany P(x) i R(x), że
W(x) = Q(x) · P(x) + R(x),
gdzie st.R(x) < st.Q(x).
Wielomian R(x) nazywamy resztÄ… z dzielenia W(x) przez Q(x) .
7
Piszemy również:
W(x) R(x)
= P(x) + .
Q(x) Q(x)
Przykład Wykonać dzielenie wielomianów:

a) x3 - 5x2 + 8x - 2 : (x - 5)

b) 3x3 - 2x2 - 3x + 2 : (3x - 1)
Uwaga Reszta z dzielenia wieloianu W(x), st.W(x) 1 przez
dwumian x - x0 jest równa W(x0) .
Przykład Nie wykonując dzielenia obliczyć resztę z dzielenia:

2007
a) x2 - x - 1 : x2 - 1

2007
b) x2 - x - 1 : x2 - x
8
Twierdzenie (Bézouta)
Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko
wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x - x0.
Istnieje wówczas wielomian P(x) taki, że st.P(x) = st.W(x) - 1
oraz
W(x) = (x - x0) · P(x).
Przykład Wiedząc, że liczba 1 jest perwiastkiem wielomianu
W(x) , rozłożyć ten wielomian na czynniki.
a) W(x) = 9x3 - 3x2 - 14x + 8
b) W(x) = 4x3 - 7x + 3
9
Definicja LiczbÄ™ x0 nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielo-
mianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest
podzielny przez (x - x0)k, ale nie jest podzielny przez (x - x0)k+1.
Fakt Liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W(x)
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P(x) taki, że
W(x) = (x - x0)k · P(x) i P(x0) = 0.

Wnioski z twierdzenia Bézouta:
" Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.
" Wielomian stopnia n, gdzie n jest liczbÄ… nieparzystÄ…, ma co najmniej
1 pierwiastek.
10
" Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników
stopnia co najwyżej drugiego.
" Jeżeli wielomian W(x) stopnia n ma n pierwiastków:
x1, x2, . . . , xn , to
W(x) = an (x - x1) (x - x2) · . . . · (x - xn).
Twierdzenie Jeżeli a0, a1, . . . , an, an = 0 są liczbami całkowitymi,

to pierwiastki całkowite wielomianu
W(x) = an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0
sÄ… dzielnikami wyrazu wolnego a0.
11
p
Twierdzenie Jeżeli ułamek nieskracalny , p, q " Z {0}, jest
q
pierwiastkiem wielomianu
W(x) = an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0
o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego
a0 a q jest dzielnikiem współczynnika an.
Przykład Rozłożyć wielomian na czynniki:
a) W(x) = x5 - 3x4 + 4x3 - 6x2 + 4x
b) W(x) = x5 + x4 - 5x3 + 3x2
Przykład Rozwiązać nierówności:
a) x5 - 3x4 + 4x3 - 6x2 + 4x < 0
b) x5 + x4 - 5x3 + 3x2 0