Projekty ko«cowe

Projekt 1. Równanie opisuj¡ce skok na bungee to:

mx

00

= mg + b(x) − r(x

0

),

gdzie m oznacza mas¦ skoczka, g przy±pieszenie ziemskie, funkcja b opisuje

siª¦ reakcji liny, a funkcja r opór powietrza. x mierzy wysoko±¢ na jakiej

znajduje si¦ skoczek w danej chwili, przy czym za poziom 0 przyjmujemy

poªo»enie z rozci¡gni¦t¡ lin¡. Ustalmy

b(x) =

½

0

dla

x ≤ 0,

−kx

dla

x > 0,

gdzie k > 0 jest wspóªczynnikiem spr¦»ysto±ci liny i r(x

0

) = ax

0

, a > 0.

Zbada¢ otrzymane równanie; zast¡pi¢ opór powietrza przez

r(x

0

) = a

1

x

0

+ a

2

|x

0

|x

0

.

Projekt 2. W reakcjach chemicznych prowadz¡cych od zwi¡zku A do

zwi¡zku B poprzez A + X → 2X, X + Y → 2Y, Y → B zaobserwowano

oscylacje. Je±li przez A, X , Y i B oznaczymy ilo±ci poszczególnych zwi¡zków,

to zmian¦ tych wielko±ci w czasie opisuje ukªad równa«:

dA

dt

= −k

1

AX ,

dX

dt

= k

1

AX − k

2

X Y,

dY

dt

= k

2

X Y − k

3

Y,

dB

dt

= k

3

Y.

Zbada¢ ten ukªad w zale»no±ci od zmiany dodatnich parametrów k

1

, k

2

, k

3

.

Projekt 3. Najprostszy model opisuj¡cy wzrost populacji bakterii na

pªytce Petree to równanie

x

0

= x(a − bx) −

qx

x + c

.

1

Pierwszy skªadnik po prawej stronie jest taki, jak w równaniu Verhulsta,

drugi jest zwi¡zany z od»ywk¡, na której rosn¡ te bakterie. Zbada¢ dynamik¦

tego ukªadu w zale»no±ci od dodatnich parametrów.

Projekt 4. Jaki byªby Wszech±wiat, gdyby siªa grawitacji speªniaªa

F = G

Mm

r

α

,

gdzie α 6= 2? Tutaj M i m s¡ masami przyci¡gaj¡cych si¦ ciaª, G jest staª¡,

a r oznacza odlegªo±¢ mi¦dzy ciaªami. Jak w teorii Newtona zakªadamy, »e

ciaªa s¡ punktowe.

Projekt 5. Model neuronu Hodkina-Huxleya prowadzi do równa«:

v

0

= I + 2w(−0.7 − v) + 0.5(−0.5 − v) + 1.1m

∞

(v)(1 − v),

w

0

= ελ(v) (w

∞

(v) − w) ,

gdzie v i w sa wielko±ciami elektrycznymi w neuronie zmiennymi w czasie, a

funkcje wyst¦puj¡ce w równaniach maj¡ posta¢:

m

∞

(v) =

1
2

³

1 + tanh

v−v

1

v

2

´

,

w

∞

(v) =

1
2

³

1 + tanh

v−v

3

v

4

´

,

λ(v) = cosh

v−v

5

2v

4

,

gdzie wyst¦puj¡ funkcje hiperboliczne tangens hiperboliczny tanh(z) =

e

z

−e

−z

e

z

+e

−z

,

cosinus hiperboliczny cosh(z) =

e

z

+e

−z

2

.

W równaniach pojawij¡ si¦ tez para-

metry  przyjmijmy v

1

= −0.01, v

2

= 0.15, v

3

= −0.12, v

4

= 0.3, v

5

= 0.22,

I = 0.25.

Ostatni parametr ε zmieniajmy od 0.1 do 0. Przeanalizowa¢ dyna-

mik¦ ukªadu.

Projekt 6. El Niño jest pr¡dem morskim wywoªuj¡cym cykliczne ano-

malie klimatyczne, a spowodowanym przez ró»nice temperatur oceanu. Caªe

zjawisko opisuje ukªad równa«:

T

0

= −A(T − T

∗

),

u

0

=

B

∆x

(T

e

− T

w

) − C(u − u

∗

),

T

0

w

= −

uT

e

∆x

− A(T

w

− T

∗

),

T

0

e

=

uT

w

∆x

− A(T

e

− T

∗

),

2

gdzie T, T

w

, T

e

oznaczaj¡ temperatury oceanu, a u pr¦dko±¢ pr¡du morskiego.

Pozostaªe wielko±ci s¡ parametrami: A = 1, B = 663, C = 3, T

∗

= 12,

u

∗

= −14.2, ∆x = 14.

Wyja±nienia patrz http://www.sci.wsu.edu/idea/El-Nino/welcome.html.

Zbada¢ ten ukªad zmieniaj¡c B od 0 do 700 i u

∗

od 0 do -20.

Projekt 7. Modelem ukªadu drapie»ca-oara z kryjówkami dla oar jest

ukªad równa«:

N

0

= r

1

N − γ

1

(N − N

h

)P,

P

0

= −r

2

+ γ

2

(N − N

h

)P,

gdzie N jest liczb¡ oar, P liczb¡ drapie»ników, a N

h

liczb¡ oar, które

mog¡ sie ukry¢. Je±li N

h

jest proporcjonalne do N, to ukªad sprowadza sie

do modelu Lotki-Volterry. Ciekawsza jest sytuacja, gdy N

h

jest pewn¡ staª¡

dodatni¡ (wielko±¢ kryjówki). Zbada¢ ten ukªad w zale»no±ci od parametrów.

(Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia matematyczna.)

Projekt 8. Mutualizm (wspóªprac¦) mi¦dzy gatunkami modeluje ukªad:

N

0

1

= r

1

N

1

− ε

1

N

2

1

+ δ

1

N

1

N

2

,

N

0

2

= r

2

N

2

− ε

2

N

2

2

+ δ

2

N

1

N

2

,

gdzie N

1

, N

2

oznaczaj¡ zmieniaj¡c¡ si¦ w czasie liczebno±¢ obu gatunków,

parametry r

i

, ε

i

i δ

i

s¡ dodatnie. Ostatnie skªadniki w obu równaniach

odpowiedzialne sa za mutualizm, gdyby ich nie byªo mieliby±my ukªad dwóch

niezale»nych równa« Verhulsta. Zbadac dynamik¦ tego ukªadu w zale»no±ci

od parametrów. (Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia matematyczna.)

Projekt 9. Przeanalizowa¢ ukªad:

N

0

1

= N

1

³

−k

1

+

c

1

V

V +q

´

,

N

0

2

= N

2

(−k

2

+ c

2

V ) ,

V

0

= V

³

(a − bV ) −

c

3

N

1

V +q

− c

4

N

2

´

,

gdzie N

1

, N

2

oznacza liczebno±¢ dwóch konkuruj¡cych gatunków, a V wiel-

ko±¢ gatunku którym tamte si¦ »ywi¡. Parametry a, b, c

i

, k

i

s¡ dodatnie.

3

Wielko±¢ V podlega równaniu Verhulsta z zaburzeniem zwi¡zanym z od»y-

wianiem sie obu gatunków; od»ywianie gatunku N

1

jest nieliniowe, N

2



liniowe. Zauwa»my, »e konkurencja odbywa si¦ tylko na poziomie trzeciego

równania  nie ma skªadników konkurencji w pierwszych dwóch. W modelu

tym nie obowi¡zuje zasada wykluczania: pojawiaj¡ si¦ stabilne rozwiazania

okresowe. (Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia matematyczna.)

Projekt 10. Przeanalizowa¢ ukªad:

N

0

1

= r

1

N

1

− ε

1

N

2

1

− β

1

N

1

N

2

− γ

1

N

2

1

P

N

1

+N

2

,

N

0

2

= r

2

N

2

− ε

2

N

2

2

− β

2

N

1

N

2

− γ

2

N

2

2

P

N

1

+N

2

,

P

0

= −r

3

P + γ

3

N

2

1

+N

2

2

N

1

+N

2

,

gdzie N

1

, N

2

oznacza liczebno±¢ dwóch konkuruj¡cych gatunków, a P li-

czebno±¢ trzeciego gatunku  drapie»nika »ywi¡cego si¦ poprzednimi dwoma.

Staªe r

i

, ε

i

, β

i

, γ

i

s¡ dodatnie.(Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia mate-

matyczna.)

Projekt 11. Zbada¢ dynamik¦ ukªadu opisuj¡cego ekosystemy ª¡k, na

których odbywa si¦ hodowla bydªa:

g

0

= R

g

g

³

1 − g − 0.6w

E+g

0.3E+g

´

,

w

0

= R

w

w

³

1 − w − 1.07g

0.3E+g

E+g

´

.

Parametry E = 0.3, R

g

= 0.27, R

w

= 0.4.

Szczegóªy p. http://www.sci.wsu.edu/idea/Range/.

Projekt 12. Zbada¢ ukªad opisuj¡cy ruch uko±ny w jednorodnym polu

grawitacyjnym z udziaªem oporu powietrza. Jednorodno±¢ pola oznacza, »e

na punkt materialny o masie m dziaªa staªa siªa grawitacji mg skierowana

pionowo w dóª. Opór powietrza dziaªa równolegle do wektora pr¦dko±ci, jest

do niego przeciwnie skierowany i ma dªugo±¢ a

1

|−

→

v |.

4