26.11.2013 r.

Informatyka – Modelowanie cyfrowe,

studia stacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 2013/2014

GRUPA „A”

1. Zadawanie parametrów w programie ATPDraw:

a) Zadano w programie pojemność poprzeczną odcinka linii napowietrznej o dł. 1 km dla składowej

zgodnej przy opcji Copt:50 jako 2.8275 µS. Ile wynosi ta pojemność wyrażona w nF?

Rozwiązanie:

F

10

8275

.

2

6

1

−

⋅

=

C

ω

, a więc:

nF

9

F

10

9

F

10

10

10

100

8275

.

2

F

10

100

8275

.

2

10

8275

.

2

9

3

6

3

6

1

6

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

=

−

−

−

−

−

−

π

π

ω

C

b) Indukcyjność odcinka linii o dł. 1 km dla składowej zgodnej wynosi 0.001 H. Zadać tę wartość dla

obu opcji: Xopt:50, Xopt:0.

Rozwiązanie:

Xopt:50

wyznaczamy reaktancję przy 50 Hz:

]

[

31459

.

0

]

[

001

.

0

50

2

]

[

2

1

1

Ω

=

Ω

⋅

=

Ω

=

π

π

ω

L

f

L

wobec tego zadajemy wartość: 0.314159

Xopt:0

L=0.001 H= 1.0 mH, wobec tego zadajemy wartość: 1.0

2. Określić model cyfrowy dla równoległego połączenia elementów:

R, L, przy zastosowaniu jawnej

metody Eulera (prostokątów „wprzód”) całkowania numerycznego.

L

R

u

i

i

2

i

1

Rozwiązanie:

)

(

1

t

u

dt

di

L

=

(1)

czyli:

)

(

1

1

t

u

L

dt

di =

(1a)

Stosując jawną metodę Eulera (prostokątów „wprzód”) całkowania numerycznego uzyskujemy:

)

1

(

)

1

(

)

(

1

1

−

+

−

=

k

u

L

T

k

i

k

i

(2)

Prąd

i jest sumą prądów: i

1

oraz

R

u

i

=

2

, a więc:

R

k

u

k

i

k

i

)

(

)

(

)

(

1

+

=

(3)

Wstawiając (2) do (3) uzyskujemy:

R

k

u

k

u

L

T

k

i

k

i

)

(

)

1

(

)

1

(

)

(

1

+

−

+

−

=

(4)

Należy teraz w (4) wyeliminować składnik:

)

1

(

1

−

k

i

. W tym celu z (3) wyznaczamy:

R

k

u

k

i

k

i

)

(

)

(

)

(

1

−

=

(5)

a po opóźnieniu o 1 krok całkowania:

R

k

u

k

i

k

i

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

−

−

−

=

−

(6)

Wstawiając (6) do (4) uzyskujemy:

R

k

u

k

u

L

T

R

k

u

k

i

k

i

)

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

+

−

+

−

−

−

=

(7)

Po uporządkowaniu mamy:

)

1

(

1

)

1

(

)

(

)

(

−











 −

+

−

+

=

k

u

R

L

T

k

i

R

k

u

k

i

(8)

Zależność (8) może być zapisana w postaci ogólnej (określającej model cyfrowy jak na poniższym
rysunku):

)

1

(

)

(

)

(

−

+

=

k

j

k

Gu

k

i

(9)

gdzie:

R

G

1

=

,

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

−











 −

+

−

=

−

k

u

R

L

T

k

i

k

j

j(k–1)

G

u(k)

i(k)

3. Związek pomiędzy admitancją dyskretną (

Y

d

) i admitancją ciągłą (

Y

c

) dla indukcyjności, przy

zastosowaniu metody trapezów całkowania numerycznego jest następujący:

)

0,5

(

tg

0,5

)

j

(

c

d

T

T

Y

Y

ω

ω

=

ω

,

T – krok czasowy całkowania numerycznego, ω – pulsacja?

a) przedstawić wykres dla tej relacji:

c

d

Y

Y

b) jaki jest efekt przy skracaniu kroku modelowania przy danej częstotliwości

Odpowiedź: relacja między admitancją modelu dyskretnego i ciągłego ulega poprawie.

c) jaki jest efekt przy wzroście częstotliwości przy określonym kroku modelowania

Odpowiedź: relacja między admitancją modelu dyskretnego i ciągłego ulega pogorszeniu.

d) czy model dyskretny wiernie odwzorowuje przesunięcie fazowe między prądem i napięciem

indukcyjności w całym zakresie częstotliwości?

Odpowiedź: TAK: model dyskretny wiernie odwzorowuje przesunięcie fazowe w całym zakresie
częstotliwości, bowiem współczynnik proporcjonalności w podanej zależności:

)

0,5

(

tg

0,5

)

j

(

c

d

T

T

Y

Y

ω

ω

=

ω

, czyli współczynnik:

)

0,5

(

tg

0,5

T

T

ω

ω

jest liczbą rzeczywistą dodatnią (mnożenie

przez liczbę rzeczywistą dodatnią nie zmienia fazy, czyli:

)

arg(

)

arg(

c

d

Y

Y

=

.

4. Określić równania stanu i wyjść dla obwodu elektrycznego jak na poniższym rysunku. Jako wielkości

wyjściowe przyjąć spadki napięć na opornikach

R

1

,

R

2

.

R

1

R

2

L

C

u

u

C

i

1

i

2

i

3

u

R1

u

R2

Zmienne stanu (napięcie na kondensatorze i prąd cewki):

u

C

,

i

2

Wyjścia:

u

R1

,

u

R2

Równania opisujące obwód:

0

C

1

1

=

−

−

u

i

R

u

(1)

0

2

2

2

C

=

−

−

dt

di

L

i

R

u

(2)

0

3

2

1

=

−

−

i

i

i

(3)

Poszczególne prądy wynoszą:

1

C

1

R

u

u

i

−

=

(4)

dt

du

C

i

C

3

=

(5)

Wstawiając (4) i (5) do (3) uzyskamy:

0

C

2

1

C

=

−

−

−

dt

du

C

i

R

u

u

(6)

Z (6) uzyskujemy pierwsze równanie stanu:

C

i

C

R

u

u

dt

du

2

1

C

C

−

−

=

(7)

Z (2) uzyskujemy drugie równanie stanu:

2

2

C

2

1

i

L

R

u

L

dt

di

−

=

(8)

Z (1) uzyskujemy pierwsze równanie wyjść:

C

R1

u

u

u

−

=

(9)

Drugie równanie wyjść jest następujące:

dt

di

L

u

u

2

C

2

R

−

=

(10)

Po wstawieniu (8) do (10) uzyskamy:

2

2

2

2

C

C

2

R

i

R

i

R

u

u

u

=

+

−

=

(11)

(co również można było otrzymać mnożąc bezpośrednio zmienną stanu

i

2

przez rezystancję

R

2

)

Ewentualnie można jeszcze uporządkować kolejność składników po prawych stronach równań: (7), (8),
(9), (11):

u

C

R

i

C

u

C

R

dt

du

1

2

C

1

C

1

1

1

+

−

−

=

(7a)

u

L

i

L

R

dt

di

1

2

2

2

+

−

=

(8a)

u

u

u

+

−

=

C

R1

(9a)

2

2

2

R

i

R

u

=

(10a)