FIZYKA
Wykład 4
Zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.
Moment siły i moment pędu.
Zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu.
Energia
Energia - rodzaje:
mechaniczna, elektryczna, magnetyczna, wewnętrzna &
Energia mechaniczna
1
Jednostka energii:
Energia kinetyczna  zwiÄ…zana z
Ek = mv2
[J] = [kg·m2/s2]
ruchem ciała (układu ciał)
2
Energia potencjalna  związana z wzajemnym poło\
eniem ciał, działających
na siebie siłami. Gdy zmienia się konfiguracja tych ciał, mo\
e równie\
zmieniać
się energia potencjalna układu.
wysokość, na której
znajduje się ciało
Na powierzchni planety potencjalna
Ep = mgh
energia grawitacyjna wynosi:
Energia potencjalna sprÄ™\
ystości -
1
związana ze stanem ściśnięcia lub
Es = kx2
rozciągnięcia ciała sprę\
ystego.
2
Energia ta jest równa pracy
przemieszczenie końca
wykonanej podczas odkształcania
ciała sprę\
ystego
ciała.
Praca
Energię uzyskuje ciało, nad którym wykonano pracę.
Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana za pomocą
działania na ciało siłą.
1. Praca wykonana przez stałą siłę.
PracÄ™ obliczamy jako iloczyn skalarny wektora
stałej siły F i wektora przemieszczenia r, którego
ciało doznało podczas działania tej siły:
Jednostka pracy  Joul (SI):
r
r
kg m2
W = F Å" "r
J = N m =
2
s
r
r
W = F Å" "r = F"x cos¸
Praca
2. Praca wykonana przez siłę cię\
kości.
d
r
r
d
Wzewn +Wg = 0
Wg = Fg Å" d = mgd cos¸
Wzewn = -Wg = -mgd cos¸
Przy wznoszeniu:
Wg = mgd cos180° = mgd(-1) = -mgd
" Praca wykonana przez siłę
zewnętrzną jest dodatnia przy
Przy opadaniu:
podnoszeniu ciała
" Praca Wzewn jest ujemna przy
Wg = mgd cos0° = mgd(+1) = +mgd
opuszczaniu ciała
" Przy przesuwaniu ciała praca = 0
Praca
3. Praca wykonana przez siłę zmienną.
Siła o zmiennej wartości i stałym kierunku
Praca na drodze od punktu xi do xf
W = Fx1 "x + Fx2 "x + ...+ FxN "x
wartość przybli\
ona pracy
W =
"F "xj
xj
im mniejsza jest szerokość pasków, czyli
im pasków jest więcej
N " "x 0
x
f
W = lim
"F "xj
xj
W = Fx dx
"x0
+"
xi
rf x y z
f f f
r
Analiza w trzech wymiarach - siła i
W = Fxdx + Fydy + Fzdz
przesunięcie nie mają tego samego
+"F Å" dr = +" +" +"
kierunku
ri xi yi zi
Praca a energia kinetyczna
Jeśli praca wykonana nad ciałem zmienia stan ruchu tego ciała, a mianowicie
jego prędkość, to mówimy, \
e praca spowodowała zmianę energii kinetycznej EK
rf x y z
f f f
r
W = Fxdx + Fydy + Fzdz
+"F Å" dr = +" +" +"
ri xi yi zi
Analiza w jednym wymiarze
x
f
dvx dvx dx dvx
Wx = Fxdx Fx = max = m = m = mvx
+"
dt dx dt dx
xi
x vxf
f
vxf
dvx 1 1 1
2 2 2
Wx = m = mvxf - mvxi
x x
+"v dx dx = m +"v dvx = 2 mvx
vxi
2 2
xi vxi
1
W = EKf - EKi = "EK
EK = mv2
2
Całkowita praca Zmiana energii
=
wykonana nad ciałem kinetycznej ciała
Praca a energia kinetyczna
Przykład
Sanki o masie m stojące na zamarzniętym stawie kopnięto nadając im
prędkość v. Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy sankami a lodem
wynosi µk. Znajdz
odległość d jaką przemierzą sanki zanim się zatrzymają.
RozwiÄ…zanie:
W = - fkd = -µk N Å" d = -µkmgd
Praca siły tarcia:
Korzystając z twierdzenia o równowa\
ności pracy i energii kinetycznej:
1
W = "EK = EKkoncowa - EKpoczÄ…pocza = 0 - mv2 / 2
- µkmgd = - mv2
2
mv2 v2
d = =
2µkmg 2µk g
Wniosek: droga hamowania nie zale\
y od masy,
jest proporcjonalna do v2,
Praca a energia potencjalna
W=0
W=mgy
W=mgy y y y
W=mgy
" Praca wykonana przez siłę przeciw sile grawitacyjnej nie
zale\
y od kształtu drogi, a jedynie od poło\
enia
początkowego i końcowego  siła zachowawcza.
" Podobnie jest w przypadku pracy wykonanej przez siłę
grawitacyjnÄ….
" Jeśli praca wykonana przez siłę przy przemieszczaniu ciała
po torze zamkniętym o dowolnym kształcie równa jest zeru,
to siłę taką nazywamy siłą zachowawczą. Siłę, nie
spełniającą tego warunku nazywamy siłą dyssypatywną
lub rozpraszajÄ…cÄ….
Praca a energia potencjalna
Praca wykonana przez siłę grawitacyjną
h/s12
Praca sił grawitacji
W12 = mgs12 cosÄ… = -mgs12 sin ² = -mgh
na odcinku drogi s12
(tj. od punktu 1 do
punktu 2)
Praca nie zale\
y
-mgh 0 +mgh 0
od kÄ…ta nachylenia
stoku, a jedynie od
Sumaryczna praca
Wsum = W12 +W23 +W34 +W41 = 0
ró\
nicy wysokości.
w cyklu zamkniętym
Siły spełniające ten warunek to siły zachowawcze.
Siła grawitacyjna jest siłą zachowawczą.
Praca a energia potencjalna
Energia potencjalna ciała w danym punkcie,
względem określonego punktu odniesienia,
równa jest pracy jaką wykonują siły
zachowawcze przy przemieszczeniu ciała z
danego punktu do punktu odniesienia.
Ciało w polu grawitacyjnym posiada
grawitacyjnÄ… energiÄ™ potencjalnÄ… EP
EP = mgy
W = mgyi - mgy = EPi - EPf =
f
= -(EPf - EPi ) = -"EP
Grawitacyjna energia potencjalna jest własnością
układu ciała i Ziemi, jest zdefiniowana względem
powierzchni Ziemi.
Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii mechanicznej
W układzie izolowanym, w którym zmiana energii pochodzi jedynie
od sił zachowawczych, energia kinetyczna i energia potencjalna
mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli całkowita energia
mechaniczna nie mo\
e ulec zmianie.
W układzie odosobnionym całkowita
EP = m Å" g Å" y
energia mechaniczna pozostaje stała
Ep + Ek = const
EPp + EKp = EPk + EKk
Epoczątkowa = Ekońcowa
1
EK = m Å"v2
2
Zasada zachowania energii
Przykład
Koralik o masie 0.4 kg spoczywajÄ…cy w punkcie A porusza siÄ™ bez
tarcia po drucie do punktu C. Jaką ma prędkość w punktach B i C?
A
EPA = mgyA EKA = 0
1
2
C EPB = 0 EKB = mvB
2
B 1
2
EPC = mgyC EKC = mvC
2
Zasada zachowania pędu
Izolowany układ dwóch oddziaływujących cząstek
r r
r r r r
dp1 dp2
p1
F12 = F21 = F21 = -F12
p2
dt dt
r r
dp1 dp2 d r r
+ = (p1 + p2)= 0
F12
dt dt dt
F21
r r r
p = p1 + p2 = const.
r r
r r
ppocz = pkoń
p = const
Gdy to
Fz = 0
Zasada zachowania pędu
Jeśli w układzie izolowanym i zamkniętym na układ ciał nie działają
siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru, to całkowity
pęd tego układu nie ulega zmianie.
Zasada zachowania pędu
1. Centralne zderzenia idealnie niesprÄ™\
yste
Zderzenia niesprÄ™\
yste  następuje trwałe odkształcenie ciał.
Po zderzeniu ciała są połączone
Przed zderzeniem
Zachowany jest pęd lecz nie zachowana
jest energia mechaniczna
r r
ppocz = pkoń
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf
Po zderzeniu
Przykład
m1 = 0.1 kg v1i = 1 m/s
m2 = 0.2 kg v2i = -2 m/s
m1v1i + m2v2i 0.1Å"1+ 0.2Å"(-2) - 0.3
vf = = = = -1m / s
m1 + m2 0.1+ 0.2 0.3
Zasada zachowania pędu
2. Centralne zderzenia idealnie sprÄ™\
yste
Zderzenia sprÄ™\
yste  następuje chwilowe, nietrwałe trwałe odkształcenie ciał.
Zachowany jest pęd
Przed zderzeniem
r r
ppocz = pkoń
m1v1i + m2v2i = m1v1 f + m2v2 f
Zachowana jest energia mechaniczna
Po zderzeniu
r r
Epocz = Ekoń
1 1 1 1
2 2 2 2
m1v1i + m2v2i = m1v1 f + m2v2 f
2 2 2 2
2 2 2 2
v1i + v2i = v1 f + v2 f
m1 = m2
Gdy
Zasada zachowania pędu
Zasada zachowania pędu
3. Zderzenia niecentralne idealnie sprÄ™\
yste
Przed zderzeniem
Po zderzeniu
Zachowany jest pęd
r r
ppocz = pkoń
r r r r
m1v1i + m2v2i = m1v1 f + m2v2 f
Zachowana jest energia mechaniczna
r r
Epocz = Ekoń
1 r 1 r2 1 r 1 r2
m1v12 + m2v2i = m1v12f + m2v2 f
i
2 2 2 2
Zasada zachowania pędu
90°
Ć2
¸1
r
m1 = m2
v2i = 0
v2f
v1f
Zachowany jest pęd
r r r
v1i + 0 = v1 f + v2 f
Zachowana jest energia mechaniczna
v1i
r r r2
v12 + 0 = v12f + v2 f
i
podstawiajÄ…c
r r2 r r r r2
v12f + v2 f + 2v1 f Å"v2 f = v12f + v2 f
r r
stÄ…d
v1 f Å"v2 f = 0
Dynamika bryły sztywnej
Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest
moment bezwładności
Moment bezwładności jest wielkością stałą dla
danego ciała i danej osi obrotu.
Dla ka\
dego punktu ciała:
Ii = mi Ri2
Dla całej bryły sztywnej: Dla ciała rozciągłego:
I =
I = R2dm
"m Ri2
i +"
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym:
1 1 1
2
Ek = mivi2 = mi (ÉRi )2 = ("miRi2)É
" "
2 2 2
1
2
Ek = IÉ
2
Dynamika bryły sztywnej
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności względem dowolnej osi (nie przechodzącej przez środek
masy), mo\
na określić na podstawie twierdzenia Steinera:
2
I = I0 + md
Moment bezwładności względem dowolnej
osi - równoległej do osi przechodzącej
przez środek masy ciała, jest równy sumie
momentu bezwładności względem osi
przechodzącej przez środek masy I0 oraz
iloczynu masy m tego ciała i kwadratu
odległości d pomiędzy nimi.
I
I0
Dynamika bryły sztywnej
Momenty bezwładności wybranych brył
Które z ciał stoczy się pierwsze?
m
r
1  kula
2 - walec pełny
3 - walec pusty (rura)
d 2
'
I = ?
1 1 1
öÅ‚
'
I = mr2 + mëÅ‚ r = mr2
ìÅ‚ ÷Å‚
' 2
12 2 3
I = I0 + md íÅ‚ Å‚Å‚
r
Dynamika bryły sztywnej
Moment siły
Zdolność siły F do wprawienia ciała sztywnego w ruch obrotowy zale\
y nie tylko
od wartości tej siły ale równie\
od tego, w jakiej odległości od osi obrotu
znajduje się punkt przyło\
enia siły i pod jakim kątem jest ona przyło\
ona.
zawias sprÄ™\
yna
drzwi
sprÄ™\
yna
zawias
drzwi
Dynamika bryły sztywnej
Siła F działa na ciało sztywne Fr  składowa radialna  nie powoduje obrotu ciała 
działa wzdłu\
prostej, na której le\
y oÅ› obrotu
Fst  składowa styczna  powoduje obrót ciała  działa
prostopadle do prostej, na której le\
y oÅ› obrotu
= Ć
Fst F sin
Moment siły  miara zdolności siły F do skręcania
ciała:
r r
r
M = r × F
M = rF sinĆ
Fst
F Kierunek momentu siły określa
reguła śruby prawoskrętnej.
Dla momentów sił obowiązuje
zasada superpozycji.
Frad
Dynamika bryły sztywnej
= = = µ Å" = µ
M Fstr mast r m( r)r mr2
I
II zasada dynamiki dla ruchu
obrotowego
Je\
eli na ciało sztywne działa wypadkowy
r
moment siły to wywołuje on ruch
M
w
obrotowy ciała z przyspieszeniem kątowym
proporcjonalnym do momentu siły
v
r
r
r M
lub
w
M = Iµ
µ =
w
I
I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
r
Bryła sztywna nie poddana działaniu momentu siły ( )
M = 0
w
pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny.
Dynamika bryły sztywnej
Na jednorodny krÄ…\
ek o masie m1 = 2,5 kg i promieniu
Przykład 1
R = 20 cm, osadzony na stałej osi poziomej, nawinięta
jest lina o znikomo małej masie z zawieszonym
klockiem o masie m2 = 1,2 kg.
y
Wyznacz przyspieszenie kÄ…towe krÄ…\
ka i naprÄ™\
enie
liny.
Zakładamy, \
e lina nie ślizga się po obrze\
u krÄ…\
ka, a
ośka, na której jest osadzony krą\
ek obraca siÄ™ bez
tarcia.
II zasada dynamiki dla ruchu II zasada dynamiki dla ruchu
postępowego klocka: obrotowego krą\
ka:
T - m2g = m2a
- RT = Iµ
1
I = m1R2
2m2
2
a = -g = -4,8m / s2
m1 + 2m2
a = µR
Przyspieszenie
1
a
T = - m1a
µ = = -24rad / s2 klocka i naprÄ™\
enie
liny nie zale\
Ä… od
2
R
promienia krÄ…\
ka.
Dynamika bryły sztywnej
Moment pędu
W ruchu obrotowym definiujemy
moment pędu jako:

r r
L = r × p = m (r × v )
Wartość momentu pędu:
L = rmvsinĆ
Wektor momentu pędu jest zawsze
prostopadły do płaszczyzny, na której le\
Ä…
wektory r i p  zgodny z osiÄ… obrotu
Dynamika bryły sztywnej
Gdy:
L = rmv = mr2É
Poniewa\
prędkość kątowa jest wektorem (równie\
skierowanym wzdłu\
osi
obrotu) więc:

L = mr2 É
2
Moment pędu bryły jest sumą momentów
L =
"m ri É = IÉ
i
pędu wszystkich punktów tej bryły:
Moment pędu bryły równa się

iloczynowi jej prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É
L = I É
i momentu bezwładności I.
Pochodna momentu pędu L bryły

względem czasu jest równa

d É d(I É)
momentowi siły M działającej na tę
M = I µ = I =
bryłę.

dt dt

d L
M =
dt
Dynamika bryły sztywnej
Zasada zachowania moment pędu
"piruety"
Zasada zachowania momentu
pędu
Je\
eli wypadkowy moment sił
zewnętrznych działających na układ
jest równy zeru, to moment pędu
całkowity tego układu jest stały
r r

Lpocz = Lkońo
lub
L = const
I Ö = IkoÅ„oÖ
pocz pocz końo
Przy zmniejszaniu momentu bezwładności następuje zwiększanie prędkości
kątowej, tak aby moment pędu obracającego się układu pozostał stały.
Dynamika bryły sztywnej
I Ö = IkoÅ„oÖ
pocz pocz końo
"Åšruby"
Człowiek trzyma koło rowerowe obracające się wokół osi pionowej. W pewnej
chwili obraca koło, dzięki czemu sam zostaje wprawiony w ruch obrotowy.
Całkowity moment pędu układu musi pozostać stały, mimo \
e koło zostało
obrócone.
Analogia między ruchem postępowym i obrotowym
Ruch postępowy Ruch obrotowy
przemieszczenie "x przemieszczenie kÄ…towe "¸
(przebyta droga) (kÄ…t obrotu)
dx
prędkość liniowa prędkość kątowa
d¸
v =
É =
(chwilowa) (chwilowa)
dt
dt
przyspieszenie liniowe przyspieszenie kÄ…towe
2
2
dÉ d ¸
dv d x
µ = =
a = =
dt dt2
dt dt2
masa m [kg] moment bezwładności I [kgm2]
siła F [N] moment siły M [Nm]
I zasada dynamiki
n n
r r r r
Fw =
Mw =
"F = 0
i
"M = 0
i
i=1
i=1
Analogia między ruchem postępowym i obrotowym
Ruch postępowy Ruch obrotowy
r v
II zasada dynamiki
r M
r Fw
w
a = µ =
m I
III zasada dynamiki
r
v
r r
M12 = M21
F12 = F21
pęd moment pędu

r
r
p = mv
[kg m/s] [kg m2/s]
L = I É
energia kinetyczna
1 1
[J] E = IÉ2 [J]
Ek = mv2
k
2 2
zasada zachowania pędu zasada zachowania momentu

r
pędu
p = const
L = const
zasada zachowania energii zasada zachowania energii
mechanicznej mechanicznej
Ep + Ek = const Ep + Ek = const