FIZYKA
Wykład 2
Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie w ruchu jednostajnym,
jednostajnie zmiennym prostoliniowym i krzywoliniowym.
Ruch po okręgu i ruch harmoniczny.
Ruch bryły sztywnej (postępowy i obrotowy).
RUCH
Galileusz (1564-1642)  pierwszy fizyk, który rozumiał rolę doświadczenia w
badaniu zjawisk przyrody. Jako pierwszy stosował metodę badań obowiązującą
dziś w naukach przyrodniczych, polegającą na doświadczalnym weryfikowaniu
teorii naukowej. Galileuszowi zawdzięczamy m.in. sformułowanie zasady
względności ruchu, poprawny opis swobodnego spadania ciał, udowodnienie, \
e
torem ruchu pocisku jest parabola.
Ruch  zjawisko polegające na zmianie poło\
enia jednego ciała
względem innego ciała lub układu ciał, które określane są jako
układ odniesienia, wraz z upływem czasu.
Układ odniesienia mo\
e być:
Inercjalny  układ odniesienia, w Nieinercjalny  układ odniesienia
którym wolne od zewnętrznych poruszający się ruchem niejednostajnym
oddziaływań ciało znajduje się w względem jakiegokolwiek inercjalnego
spoczynku lub porusza się ruchem układu odniesienia.
jednostajnym prostoliniowym.
RUCH
OBSERWATOR
Poniewa\
wybór układu odniesienia
jest dowolny, istnieje wiele
mo\
liwości opisu ruchu danego
ciała. To stwierdzenie le\
y u
podstaw względności ruchu.
OBSERWATOR
Ruch jest względny, tzn.
człowiek jadący samochodem
względem samochodu jest w
spoczynku, a względem
budynków w ruchu.
Ruchy dzielimy na:
Postępowe  tor ka\
dego punktu Obrotowe  poszczególne punkty
ciała jest identyczny ciała zataczają łuki okręgów o
środkach le\
Ä…cych na jednej prostej,
(punkt materialny, bryła sztywna)
zwanej osiÄ… obrotu
(bryła sztywna)
Punkt materialny  ciało obdarzone masą,
którego wymiary mo\
na zaniedbać.
Bryła sztywna  ciało, w którym wszystkie
jego części są związane ze sobą, dzięki
czemu kształt ciała nie ulega zmianie.
Tor środka masy
(parabola)
Środek masy i środek cię\
kości
Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który Środek cię\
kości ciała lub układu ciał jest
porusza się tak, jak gdyby była w nim skupiona punktem, w którym przyło\
ona jest wypadkowa
cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne siła cię\
kości wszystkich punktów materialnych
były przyło\
one w tym właśnie punkcie (czyli danego ciała.
porusza siÄ™ tak jak punkt materialny).
Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek cię\
kości pokrywa się ze
środkiem masy. Pojęcie środka masy jest ogólniejsze od pojęcia środka cię\
kości, gdy\
ciało ma środek
masy zawsze - bez względu na to, czy działa na nie siła grawitacji.
Środek masy przedmiotów symetrycznych znajduje
się w ich środku geometrycznym.
W układzie trójwymiarowym:
n
m1 x1 x2 m2
mi xi
SM "
n n
1 1
i=1
xSM =
ySM =
n
"m yi zSM = m
i "m zi
i
m
i=1
i=1
mi
"
i=1
z
SM
m
r
r 1 r
r =
"m ri
i
y
m
x
Środek masy układu poruszających się ciał
Układ Układ
Ruch ciał o jednakowych
Ziemia  KsiÄ™\
yc Słońce  Ziemia
masach po orbicie kołowej
81*m - m 330 tys m - m
Ruch ciał o jednakowych
masach po orbitach
eliptycznych
Ruch Postępowy
Ruch Obrotowy
wielkości charakteryzujące - liniowe wielkości charakteryzujące  kątowe
Poło\
enie x Poło\
enie kÄ…towe ¸
Przemieszczenie (przebyta droga) "x Przemieszczenie kÄ…towe (kÄ…t obrotu) "¸
PrÄ™dkość Å›rednia vÅ›r PrÄ™dkość kÄ…towa (Å›rednia) ÉÅ›r
PrÄ™dkość chwilowa v PrÄ™dkość kÄ…towa (chwilowa) É
Przyspieszenie Å›rednie aÅ›r Przyspieszenie kÄ…towe (Å›rednie) µÅ›r
Przyspieszenie chwilowe a Przyspieszenie kÄ…towe (chwilowe) µ
Wielkości wektorowe
RUCH POST
POWY
(Punkt materialny, Bryła sztywna)
Ruch prostoliniowy
Ruch krzywoliniowy
(po linii prostej)
(wzdłu\
dowolnej krzywej)
Ruch jednostajny Ruch zmienny
Ruch zmienny
Ruch jednostajny
po krzywej
po krzywej
Przyspieszony Opóz
niony
Przyspieszony Opóz
niony
Niejednostajnie Jednostajnie Niejednostajnie
Jednostajnie
przyspieszony opóz
niony opóz
niony
przyspieszony
Jednostajnie Niejednostajnie
przyspieszony przyspieszony
Jednostajnie Niejednostajnie
opóz
niony opóz
niony
Przemieszczenie
Ruch prostoliniowy Ruch krzywoliniowy
(po linii prostej) (wzdłu\
dowolnej krzywej)
Poło\
enie ciała wyznaczamy względem pewnego Poło\
enie
rciała przedstawiamy za pomocą wektora
r1
punktu odniesienia, najczęściej początku osi (np. x). poło\
enia (o składowych x1, y1, z1), który łączy
Mo\
e być dodatnie, ujemne lub równe zeru. punkt odniesienia (początek układu współrzędnych) z
punktem, w którym znajduje się ciało. Zbiór
wszystkich poło\
eń ciała tworzy tor ruchu.
r
x3 - poło\
enie w chwili t = 4 s
Ć
r1 = x1iĆ + y1 5
+ z1k
x2
r
Ć
r2 = x2iĆ + y2 5
+ z2k
x1
Przemieszczenie ciała jest wektorem prowadzącym od
r
r1
końca początkowego wektora poło\
enia do
r
r 2
końcowego wektora poło\
enia :
r r r
Zmianę poło\
enia ciała od punktu x1 do punktu x2, "r = r2 - r1
nazywamy przemieszczeniem (przebytÄ… drogÄ…) "x:
r
Ć
"r = (x2 - x1)iĆ + ( y2 - y1) 5
+ (z2 - z2 )k
"x = x2 - x1
Prędkość
Ruch prostoliniowy Ruch krzywoliniowy
(po linii prostej) (wzdłu\
dowolnej krzywej)
Jeśli w przedziale
W dowolnym ruchu prostoliniowym zale\
ność
rczasu "t ciało uległo
"r
przemieszczeniu o , to prędkość średnia w
przemieszczenia ciała (przebytej drogi) w
r
tym przedziale czasu jest równa:
pewnym przedziale czasu, do wielkości tego
r "r
r
przedziału, to prędkość średnia: vśr =
Kierunek jest taki sam jak kierunek
vśr
"t
wektora przemieszczenia.
x2 - x1 "x
vśr = =
t2 - t1 "t Gdy czas "t dÄ…\
y do zera, prędkość średnia
dÄ…\
y do wartości granicznej, zwanej
r
prędkością chwilową:
x2 vśr jest wielkością
r dr
wektorowÄ….
v =
Nie zale\
y od drogi,
dt
po jakiej poruszało Składowe:
się ciało, a tylko od
dx
jej poło\
enia
vx =
dt
poczÄ…tkowego i
końcowego.
dy
x1 vy =
dt
Prędkość chwilowa jest definiowana jako
"t 0
granica ilorazu ró\
nicowego przy
"
"x dx
Kierunek prędkości chwilowej ciała jest zgodny z
v = lim = = x
kierunkiem stycznej do toru ciała w punkcie, w
"t0
"t dt
którym się ono znajduje.
Przyspieszenie
Ruch prostoliniowy Ruch krzywoliniowy
(po linii prostej) (wzdłu\
dowolnej krzywej)
Jeśli w przedziale czasu "t prędkość ciała
Przyspieszenie średnie to iloraz zmiany
zmienia siÄ™ z v1 do v2 to jego przyspieszenie
prędkości ciała i przedziału czasu, w jakim
zaszła ta zmiana: średnie w tym przedziale czasu jest równe:
r r r
v2 - v1 "v r v2 - v1 "v
aśr = =
aśr = =
t2 - t1 "t
"t "t
Znak przyspieszenia średniego wskazuje kierunek
Gdy "t dÄ…\
y do zera, to aśr dą\
y w granicy do
aśr
wektora
r
przyspieszenia chwilowego:
r dv
a =
Przyspieszenie chwilowe ciała jest równe
dt
szybkości zmian prędkości w czasie, czyli
drugiej pochodnej poło\
enia x(t) względem
Składowe:
czasu:
dvx
ax =
2
dt
"v dv d dx d x
ëÅ‚ öÅ‚
a = lim = = =
dvy
ìÅ‚ ÷Å‚
"t0
ay =
"t dt dt dt dt2
íÅ‚ Å‚Å‚
dt
Na wykresie v jako funkcji t, przyspieszenie a w
chwili t jest równe nachyleniu krzywej w punkcie,
odpowiadajÄ…cym tej chwili.
Przypadki szczególne
Ruch krzywoliniowy
Ruch prostoliniowy
(wzdłu\
dowolnej krzywej)
(po linii prostej)
1) Ruch jednostajny 4) Rzut ukośny
2) Ruch ze stałym przyspieszeniem 5) Ruch jednostajny po okręgu
(jednostajnie zmienny - 6) Ruch harmoniczny
przyspieszony/opóz
niony)
3) Swobodny spadek
1) Ruch jednostajny prostoliniowy
W ruchu jednostajnym, prostoliniowym prędkość ma wartość stałą.
W ruchu jednostajnym wartości prędkości średniej i prędkości chwilowej są jednakowe:
x - x0
v
"x
v = vśr = =
"t t2 - t1
v(t)
nachylenie = a
Pole pod wykresem v(t) x
Przebyta droga:
liczbowo równe jest drodze.
t1
0 t
t2
"t
x - x0 = v"t
1
Z wykresu x=f(t) mo\
na
x(t)
x
łatwo obliczyć wartość
a
prędkości, jako tangens
2
kÄ…ta nachylenia prostej do
Przyspieszenie jest
osi czasu.
równe zeru.
x0
a = 0
0 t t
2) Ruch ze stałym przyspieszeniem (jednostajnie zmienny)
W ruchu jednostajnie zmiennym (przyspieszonym/opóz
nionym) przyspieszenie ma wartość stałą.
Gdy przyspieszenie jest stałe, przyspieszenie średnie
jest równe przyspieszeniu chwilowemu, co mo\
emy
zapisać jako:
"v v - v0
a = aśr = =
"t t - 0
a >0
Prędkość końcowa:
Wzrastająca stale prędkość
jest liniowÄ… funkcjÄ… czasu.
v = v0 + at
v = v0 - at
a <0
Ruch jednostajnie opóz
niony
Poło\
enie:
1 1
2 2
x - x0 = v0t + at x - x0 = v0t - at
a >0
2 2
W ruchu jednostajnie przyspieszonym droga zale\
y od
kwadratu czasu ( zatem wykresem jest parabola).
a <0
3) Swobodny spadek
Eksperyment Galileusza (rok 1600)  spadek swobodny ciał
o ró\
nej masie.
Dwie kule  armatnia (80 kg) i muszkietowa (200 g)
Swobodny spadek ciał jest przykładem ruchu jednostajnie
przyspieszonego prostoliniowego.
Wszystkie ciała niezale\
nie od rozmiarów i cię\
aru, w tym samym
punkcie nad powierzchniÄ… Ziemi, spadajÄ… z takim samym
przyspieszeniem  przyspieszeniem ziemskim
g = 9,81 m/s2
Do opisu tego ruchu stosujemy równania ruchu ze stałym
przyspieszeniem, przy czym wektor przyspieszenia i prędkości
skierowane są pionowo w dół (mają kierunek ujemny, tj. są
skierowane do środka Ziemi).
Wysokość: Czas spadania: Prędkość końcowa:
1
2
v = v0 + gt
h = v0t + gt
2h
2 t =
0
g
0
1
v
v = 2hg
h = gt2
2
4) Rzut ukośny
Rzut ukośny jest przykładem ruchu jednostajnie przyspieszonego krzywoliniowego. Jest to
ruch ciaÅ‚a wyrzuconego z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… v0 pod pewnym kÄ…tem ¸0 do powierzchni.
W przypadku braku oporów ośrodka torem ruchu ciała jest parabola. Ruch ciała mo\
na rozwa\
ać wówczas
jako dwa ruchy prostsze:
- Ruch w poziomie (współrzędna X-owa)  odbywa się ze stałą prędkością o wartości
v0 x = v0 cos¸0
składowej poziomej prędkości początkowej v0x (ruch jednostajny prostoliniowy)
- Ruch w pionie (współrzędna Y-owa)  jest w istocie rzutem pionowym, czyli ruchem
jednostajnie zmiennym z prędkością początkową równą składowej pionowej v0y i
v0 y = v0 sin¸0
stałym przyspieszeniem
a = -g
Rzut.exe
Hmax Droga w kierunku osi x: Droga w kierunku osi y:
x = v0xt = (v0 cos¸0)t 1
y = v0 yt - gt2
2
2
2
2
v0 y v0 sin2 ¸0
v0 sin 2¸0
Czas wznoszenia i lotu:
R =
Hmax = =
g 2g 2g
2v0 y
v0 y
vy = v0 y - gt
tl = 2tw =
tw =
g
g
4) Rzut ukośny
Masa Kąt Prędkość Zasięg Czas
Rzut.exe
ciała nachyle początko lotu
nia wa
10 kg 70 0 50m/s 164 m 9,6s
10 kg 500 50m/s 251m 7,8
10 kg 300 50m/s 220m 5,1
5) Ruch jednostajny po okręgu
Ruchem jednostajnym po okręgu nazywamy ruch ciała po okręgu lub po jego łuku o
promieniu R, z prędkością o stałej wartości.
W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie (jako wektor) nie jest równe zero, mimo \
e
wartość prędkości nie zmienia się. Z dwóch składowych przyspieszenia: stycznej i normalnej,
r
tylko jedna ma wartość zero:
ast
r
r
ast
" składowa styczna (zmieniająca wartość prędkości) ma wartość zero
v
r
" składowa normalna (zmieniająca kierunek prędkości) jest niezerowa
an
r
an
Dlatego z ruchem jednostajnym po okręgu
związana jest stała wartość przyspieszenia dośrodkowe
v2 Przyspieszenie do środka okręgu
skierowane jest
nazywanego przyspieszeniem dośrodkowym
an =
lub jego łuku i nie zmienia wartości
r
prędkości a tylko jej kierunek.
W tym ruchu ciało obiega okrąg (czyli przebywa drogę
r
2Ä„ r) w czasie zwanym okresem obiegu:
an
2Ä„r
T =
v
Liczba pełnych obiegów punktu
1
materialnego po okręgu wykonanych w f =
T
jednostce czasu to częstotliwość
6) Ruch harmoniczny
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem
okresowym (periodycznym).
Ruch harmoniczny  szczególny przykład ruchu periodycznego
Zale\
ność przemieszczenia od czasu
wyra\
ona jest przez funkcje sinus lub
kosinus.
x(t) = Acos(Ét +Õ)
x(t)
v
Ruch harmoniczny a ruch po okręgu
Zarówno ruch po okręgu, jak i drgający są ruchami okresowymi.
Ruch drgający daje się łatwo zamienić na obrotowy i na odwrót.
t
Ruch harmoniczny jest ruchem rzutu punktu poruszajÄ…cego siÄ™ ruchem
jednostajnym po okręgu, na średnicę tego okręgu.
RUCH OBROTOWY
(Bryła sztywna)
Ruch obrotowy - poszczególne punkty ciała zataczają łuki okręgów
o środkach le\
Ä…cych na jednej prostej, zwanej osiÄ… obrotu
Aby opisać ruch obrotowy ciała sztywnego wokół ustalonej osi
obrotu obieramy linię odniesienia związaną z ciałem, która jest
prostopadła do osi obrotu i obraca się wraz z nim.
Poło\
eniem kÄ…towym ¸ ciaÅ‚a nazywamy kÄ…t jaki tworzy linia
odniesienia z pewnym stałym kierunkiem.
s
(miara Å‚ukowa kÄ…ta)
¸ =
r
s  długość łuku okręgu, zawartego pomiędzy osią x a linią odniesienia.
1 pełny obrót = 360o = 2 rad
Ä„
Jeśli ciało obróci się wokół osi obrotu, czyli zmieni swoje poło\
enie
z ¸1 do ¸2, to przemieszczenie kÄ…towe (kÄ…t obrotu) ciaÅ‚a "¸
wyniesie:
"¸ = ¸2 -¸1
Je\
eli ciaÅ‚o doznaje przemieszczenia kÄ…towego "¸ w przedziale czasu "t, to jego Å›rednia
prędkość kątowa wynosi:
¸2 -¸1 "¸
ÉÅ›r = =
t2 - t1 "t
Prędkość kątowa (chwilowa) tego ciała jest równa:
"¸ d¸
É = lim =
"t0
"t dt
Obie te wielkości są wektorami,
których kierunek jest wyznaczony z
reguły prawej dłoni.
Jest on dodatni, gdy obrót odbywa się
w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, a ujemny gdy
obrót zachodzi w kierunku zgodnym z
kierunkiem ruchy wskazówek zegara.
Je\
eli prÄ™dkość kÄ…towa ciaÅ‚a zmienia siÄ™ z É1 do É2 w przedziale czasu z
"t = t2  t1, to średnie przyspieszenie kątowe tego ciała wynosi:
µ
É2 -É1 "É
É
É
É
É
µÅ›r = =
t2 - t1 "t
y
"¸
Przyspieszenie kątowe (chwilowe) tego ciała jest równe:
x
2
"É dÉ d ¸
Wektor przyśpieszenia kątowego jest
µ = lim = =
"t0
równoległy do prędkości kątowej.
"t dt dt2
Analogie ruchu
postępowego i obrotowego
przemieszczenie x przemieszczenie kÄ…towe "¸
"
(przebyta droga) (kÄ…t obrotu)
dx
prędkość liniowa prędkość kątowa
d¸ Wzory te odnoszÄ…
v =
É =
(chwilowa) (chwilowa)
się zarówno do ciała
dt
dt
jako całości, jak i dla
przyspieszenie liniowe przyspieszenie kÄ…towe
ka\
dej jego czÄ…stki.
2
2
dv d x
dÉ d ¸
a = =
µ = =
2
2
dt dt
dt dt
Wzory te opisujÄ… ruch punktu materialnego lub
środka masy ciała sztywnego
Związek między wielkościami liniowymi a kątowymi
Ruch obrotowy - poszczególne punkty ciała zataczają łuki okręgów o środkach le\
Ä…cych na
jednej prostej, zwanej osiÄ… obrotu
Droga przebyta przez punkt P po łuku o długości s:
s = ¸r
É
Prędkość liniowa: Prędkość kątowa:
¸
s
É =
v =
v = Ér
s
t t
¸
Przyspieszenie liniowe dowolnego punktu obracającego się ciała
sztywnego ma w przypadku ogólnym dwie składowe.
Składową skierowaną do środka okręgu  składowa normalna oraz
składową styczną  styczną w ka\
dym punkcie do toru ruchu.
r
r r
v2
z
v = É × r
an = = É2r
ast = µr
r r r
r
v
µ
an = É × (É × r )
r r r
Ruch jednostajny po okręgu:
É
É
É
É
ast = µ × r
r
É = const, µ = 0, ast = 0 y
an
a = an
x ast
v
TOCZENIE CIAA

(Bryła sztywna)
Środek masy O toczącego się koła porusza się z Toczenie się mo\
na uwa\
ać za ruch wyłącznie
prÄ™dkoÅ›ciÄ… vÅ›m i pokonuje drogÄ™ s w czasie, gdy obrotowy, z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É wokół osi, która w
obraca siÄ™ o kÄ…t ¸. Punkt, w którym koÅ‚o styka siÄ™ z ka\
dej chwili przechodzi przez punkt P.
podło\
em tak\
e przebywa w tym czasie drogÄ™
Wektory chwilowej
s = ¸r
É
prędkości liniowej
vÅ›M = Ér
Chwilowa OÅ› obrotu P
Toczenie siÄ™ mo\
na uwa\
ać za połączenie ruchu wyłącznie obrotowego i ruchu wyłącznie postępowego.
obrót przesunięcie toczenie
+ =