Michał Winiarek MT-32

Zadanie III. 1

Wyznaczyć a następnie obliczyć promień Bohra w atomie wodoru oraz siły przyciągania elektrostatycznego ładunków elektrycznych F_e oraz wartości siły grawitacji między protonem i elektronem wiedząc, że przenikalność elektryczna w próżni ε₀ = 8,9 · 10^-12 [C²/Nm²], stała Plancka h = 6,626 · 10^-34 [J·s], stała grawitacji G = 6,67 · 10^-11 [Nm²/kg²], ładunek elektronu e = 1,602 · 10^-19 [C], masa elektronu m_e = 9,109 · 10^-31 [kg], masa protonu

m_p = 1,762 · 10^-27 [kg]

1. Szkic atomu wodoru z zaznaczonymi oddziaływaniami elektrostatycznymi i grawitacyjnymi oraz promieniem Bohra.

2. Wyznaczanie promienia Bohra

Zgodnie z drugim postulatem Bohra, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których orbitalny moment pędu L elektronu równy jest całkowitej wielokrotności liczby ђ

gdzie:

Atom wodoru składa się z jądra o masie M i ładunku q_p = + Ze (dla wodoru Z = 1) oraz jednego elektronu o masie m_e i ładunku q_e = - e. Warunek mechanicznej stabilności elektronu ma postać

F_e = F_d

gdzie siła F_e zgodnie z prawem Culomba jest równa

zaś siła dośrodkowa F_d

Zatem

Orbitalny moment pędu elektronu jest wielkością stałą:

L = mVr

Bowiem siła działająca na elektrony skierowana jest zawsze wzdłuż promienia i zgodnie z drugim postulatem Bohra orbitalny moment pędu jest skwantowany

i równy:

L = nђ = mVr

gdzie n = 1, 2, …

jest liczbą kwantową główną

stąd

Otrzymano zatem związek:

Z którego wyznaczono promień orbity elektronu

Dla atomu wodoru liczba protonów w jądrze jest równa

Z = 1

Oraz dla podstawowego stanu energetycznego liczba kwantowa główna ma wartość

n = 1

Zatem promień orbity elektronu równy jest promieniowi orbity w stanie podstawowym atomu (nie wzbudzonym) czyli promieniowi Bohra

Uwzględniając że

Otrzymano ostatecznie

2. Wyznaczenie siły oddziaływania elektrostatycznego między protonem a elektronem w atomie wodoru. Zgodnie ze wzorem Culomba siła przyciągania elektrostatycznego jest równa

Odległość między ładunkami elektrycznymi w atomie wodoru jest równa promieniowi Bohra

Zaś ładunki elektryczne mają wartość

q1 = + e

oraz

q2 = - e

stąd

3. Wyznaczenie siły oddziaływania grawitacyjnego między protonem a elektronem. Siłą grawitacji między protonem a elektronem określona jest zależnością

Odległość między protonem a elektronem równa się promieniowi Bohra

Zatem siła grawitacji wyrażona jest związkiem:

4. Rachunek mian dla promienia Bohra

5. Rachunek mian dla siły elektrostatycznej przyciągania ładunków protonu i elektronu w atomie wodoru

6. Rachunek mian dla siły grawitacji przyciągania mas protonu i elektronu w atomie wodoru

7. Obliczenie wartości promienia Bohra dla atomu wodoru

8. Obliczenie wartości siły elektrostatycznego przyciągania ładunków elektrycznych protonu i elektronu w atomie wodoru

9 Obliczenie wartości siły grawitacyjnej przyciągania mas protonu i elektronu w atomie wodoru

---