Zadanie III.29 Dawid Kozak ID-MT 5

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości energii cieplnej wypromieniowanej w przedziale czasu Δτ=2[h] przez ciało doskonale czarne o temperaturze T=1000 [K] i o powierzchni emisji A=0,1 [m²] w paśmie długości fal od λ₁=0,65[μm] do λ₂=0,7[μm].Stała Plancka h=6,626∙10^-23[J∙s].Stała Boltzmana k=1,38∙10^-23
prędkość światła w próżni c≈3∙10⁸[m/s]

1.Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych stanów energetycznych (stopni swobody) ma postac:

- w funkcji długości fali

- w funkcji częstotliwości

Elementarny przyrost objętościowy zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością:

dn(λ)=

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem:

Uwzględniając związek między długością fali a jej częstotliwością w próżni:

Otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od ν do ν+dν

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością :

zaś funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal jest równa :

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

Całka funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określa otrzymaną gęstość zasobu energii promieniowania.

przyjmując oznaczenie

otrzymano

3. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania.

Gęstość strumienia wymiany ilości cząsteczek gazu określona jest zależnością:

Stosując analogię do fotonów można napisać wyrażenie określające gęstość strumienia wymiany ilości fotonów.

Jeżeli w ostatniej zależności w miejsce objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów n wstawimy funkcję rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promienowania
, to wówczas otrzymamy zamiast gęstości strumienia wymiany (emisji) ilości fotonów
, funkcję rozkładu widmowego gęstości strumienia wymiany (emisji) energii promieniowania w polu długości fal
.

Ilustracja funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania

4.Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂=λ₁+ Δλ

Elementarny przyrost gęstości strumienia emisji energii promieniowania jest równy

Całkując powyższy związek w granicach

zastosowano przybliżenie numeryczne całkowania metodą trapezów, polegające na uśrednieniu funkcji podcałkowej, czyli określeniu jej wartości dla długości fali λ_śr , gdzie

i pomnożeniu tak określonej funkcji podcałkowej przez przyrost zmiennej niezależnej Δλ.

gdzie Δλ=λ₂-λ₁

5.Wyznaczenie strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂=λ₁+Δλ .

Elementarny przyrost strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁

do λ₂ określony jest zależnością:

Całkując powyższy związek w granicach po całej powierzchni emisji energii promieniowania, przy założeniu że gęstość strumienia emisji energii promieniowania jest bezgradientowa na powierzchni emisji

otrzymano strumień emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ z powierzchni emisji A.

6.Wyznaczenie przyrostu ilości energii cieplnej wypromieniowanej z powierzchni emisji A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂=λ₁+Δλ .

Elementarny przyrost ilości energii cieplnej wyemitowanej z powierzchni emisji A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ jest równy:

Całkując powyższe równanie w granicach przy założeniu , że strumień emisji energii cieplnej wypromieniowanej jest stacjonarny

wyznaczono przyrost ilości energii cieplnej wypromieniowanej z powierzchni emisji A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂

7.Obliczenie wartości funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania dla długości fali λ_śr

Wartość średniej długości fali dla rozpatrywanego przedziału długości fal jest równa

stąd

8. Obliczenie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂

Wartośc przedziału długości fal jest równa:

Zatem

9. Obliczenie wartości strumienia emisji energii cieplnej promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ z powierzchni emisji promieniowania A.

10.Obliczenie wartości przyrostu energii cieplnej wyemitowanej z powierzchni A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ w czasie 2[h].

λ₁

λ_śr

λ₂

---