Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

Wydział Zarządzania i Modelowania Komputerowego

Kierunek - Ekonomia

Model ekonometryczny:

Od czego zależy liczba działalności gospodarczych prowadzonych przez osoby fizyczne w gminie?

1. Wstęp

 

Celem niniejszego projektu jest zbadanie zależności liczby działalności gospodarczych prowadzonych przez osoby fizyczne [jedn. gosp.] od następujących czynników: liczby ludności ogółem [osoba], mieszkań ogółem [sztuka], ludności w wieku produkcyjnym [osoba], gestości zaludnienia [osoba/1km2], odległości od dużego miasta [km] oraz bezrobocia ogółem [ % ] . Dane zostały zaczerpnięte ze stron internetowych http://msi-doradca.pl i maps.google.com

W modelu można wyróżnić zjawisko wyjaśniane przez model, czyli zmienną objaśnianą, oraz zjawiska, które oddziałują na zmienną objaśnianą, czyli zmienne objaśniające. Zmienna Y jest nazywana również zmienną zależną, objaśnianą lub endogeniczną. Natomiast zmienna X zmienną niezależną, objaśniającą oraz egzogeniczną.

W celu identyfikacji obiektu modelowego należy przeprowadzić weryfikację modelu poprzez eliminacje zmiennych quasi-stałych i analizę współczynników korelacji, wybierając optymalny zbiór zmiennych objaśniających. Następnie za pomocą metody najmniejszych kwadratów polegającej na minimalizacji funkcji krytycznej, szacuje się parametry strukturalne liniowego modelu regresji. W następnym kroku dokonując weryfikacji modelu, która polega na sprawdzaniu jakości dopasowania uzyskanego modelu do danych empirycznych oraz wyznacza charakterystyki statystyczne modelu. Końcowym etapem weryfikacji będzie wnioskowanie statystyczne. W tym celu dokonano testowania hipotez o parametrach strukturalnych modelu, jak również określono przedziały ufności tych parametrów.

2. Dobór zmiennych do modelu

Model obrazujący zależność zmiennej objaśnianej y od zmiennych objaśniających x_1, x₂, x_3, x_4, x_5, x₆ ma postać analityczną modelu:

y = f(x_1, x₂, x_3, x_4, x_5, x₆)

Zmienną objaśnianą y jest liczba przedsiębiorstw w danych gminach. Natomiast zmiennymi objaśniającymi są:

• x₁ - liczba ludności ogółem[osoba]

• x₂ - mieszkania gółem [sztuka]

• x₃ - w wieku produkcyjnym [osoba]

• x₄ - gęstość zaludnienia [osoba/1km2]

• x₅ - odległość od (rynku) dużego miasta [km]

• x₆ - bezrobocie ogółem [ % ]

Tabela 1 przedstawia dane statystyczne do opisanego powyżej modelu.

nr	y	x1	x2	x3	x4	x5	x6
1	473	9 907	2 208	6 250	112	25,5	10,6
2	412	11 593	3 224,00	7 204	73	30,6	11,4
3	770	14 808	4 206	2 123	116	13,2	12,3
4	594	11 543	3 653	7 128,00	81	33,3	14,1
5	963	15 084	4 203,00	9 699,00	68	16,7	12,5
6	738	13 200	3 105,00	8 526,00	159	13,9	10,6
7	320	6 817	2 002,00	4 084,00	60	37,4	12,6
8	484	9 005	2 261,00	5 552,00	51	32,1	11,9
9	774	9 751	2 524,00	6 392,00	114	11	8
10	763	10 257	2 944,00	6 781,00	144	10,1	9,1
11	387	9 272	2 562,00	5 791,00	97	25,3	18,1
12	963	13 897	3 695,00	9 074,00	99	14,4	7,2
13	425	9 588	2 753,00	5 906,00	112	37,7	14,3
14	789	15 635	3 954,00	10 026,00	152	12,4	10,4
15	121	4556	2 702,00	2 702,00	45	15,5	7,7
16	783	11 725	3 414,00	7 463,00	80	20,4	8,2
17	204	5 254	1 756,00	3 100,00	45	17,5	8,4
18	216	4 876	1 511,00	2 912,00	54	23,2	6,5
19	721	12 994	4 509,00	8 430,00	89	22,5	8
20	354	7 517	2 701,00	4 466,00	42	18,2	6,8
21	439	7 769	2 793,00	4 715,00	66	10,2	11,8
22	140	3 933	1 223,00	2 341,00	37	16,6	10,3
23	397	9 977	3 152,00	6 204,00	88	9,2	12,2
24	110	4 879	1 549,00	2 984,00	45	16,6	5,9
25	669	11 889	3 661,00	8 245,00	158	19,4	7,4
26	157	4 404	1 298,00	2 567,00	55	20,1	5,9
27	176	5 524	2 144,00	3 170,00	52	26,8	7,5
28	154	4 597	1 607,00	2 725,00	46	13,8	6,6
29	163	4 832	1 558,00	2 807,00	43	6,3	6,6
30	155	4 762	1 517,00	2 869,00	58	23,3	4,1

Żródło: http://msi-doradca.pl

2.1. Eliminacja quasi – stałych

Eliminacji podlegają te zmienne objaśniające, które są najsilniej skorelowane z objaśniającą y.

Tabela 2. Przedstawia obliczone w programie Excel wartości średniej, odchylenia standardowego oraz współczynnika zmienności dla poszczególnych zmiennych objaśniających.

średnia	460,46667	8 995	2 680	5 408	81,36667	19,77333	9,566667
S	273,49623	3692,947	953,4202	2468,164	37,38752	8,380599	3,123806
V	0,5939545	0,410563	0,355802	0,456402	0,459494	0,423833	0,32653

Wzory, które posłużyły do obliczeń:

• Średnia

• Odchylenie standardowe

• Współczynnik zmienności

W modelu nie eliminowano żadnej ze zmiennych, ponieważ współczynnik zmienności każdej zmiennej objaśniającej jest większy od 0,1.

2.2. Analiza współczynników korelacji

Analiza współczynników korelacji- pozwala ocenić siłę zależności pomiędzy zmiennymi. Wielkość ta określa współzależność liniową zmiennych. Przyjmuje wartość z przedziału od -1 do 1. Wartości wskaźnika bliskie 0 wskazują na słabą korelację, natomiast bliskie 1 lub -1 na silną.

• Współczynnik korelacji wyraża się wzorem:

Należy dokonać wyboru zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą oraz odznaczają się słabą korelacją między sobą.

Jeżeli współczynnik korelacji dodatni to wraz ze wzrostem wartości pierwszej zmiennej rosną wartości drugiej zmiennej – są skorelowane dodatnio.

Jeżeli współczynnik korelacji ujemny to wraz ze wzrostem wartości jednej zmiennej maleją wartości drugiej – skorelowane ujemnie.

Tabela 3. Poniższa macierze ilustruje współczynniki korelacji zmiennych.

MACIERZE WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI

	0,92951		1	0,917668	0,847059	0,732579	-0,03879	0,427371
	0,8405			1	0,76075	0,592678	-0,06454	0,362061
R0=	0,83341				1	0,670892	0,017933	0,312288
	0,70915	R=				1	-0,13473	0,278914
	-0,1507						1	0,363597
	0,2864							1

Wartość krytyczną współczynnika korelacji wyznaczono ze statystyki t – Studenta na poziomie istotności = 0,05:

gdzie:

t_(1-α/2) - wartość statystyki t-Studenta dla zadanego poziomu istotności α

(N – 2) – stopnie swobody (30-2 = 28 )

r*=0,36

W naszym przypadku możemy powiedzieć, że silna korelacja jest w przedziałach .

• Najsłabiej skorelowanymi zmiennymi ze zmienna objaśnianą są x₅ i x₆.

• Do modelu wybrano zmienną x₁ najsilniej skorelowaną ze zmienną objaśnianą y.

• Eliminujemy zmienne x_2, x_3, x₄ jako silnie skorelowane ze zmienną objaśniającą x₁.

• Model zawiera zatem zmienne x₁.

Wykres 1. Zależność liczby przedsiębiorstw od liczby ludności ogółem.

Na wykresie nr 1 linia trendu pokazuje, że im więcej ludności ogółem tym więcej jest działalności gospodarczych. Wartość R² wynosi 0,864, wskazuje na dobre dopasowanie modelu do danych empirycznych. Natomiast postać liniowa zależności pomiędzy danymi wynosi y=-158,73+0,0688x. Interpretujemy, że wzrost liczby ludności ogółem, powoduje wzrost zmiennej objaśnianej o 0,0688.

Wykres 2. Zależność liczby przedsiębiorstw od liczby mieszkań ogółem.

Wykres nr 2 przedstawia postać liniowa zależności pomiędzy danymi wynosi y=-185,61+0,2411x. Interpretujemy, że wzrost liczby mieszkań ogółem, powoduje wzrost liczby działalności gospodarczych prowadzonych przez osoby fizyczne o 0,2411. Wartość R² wynosi 0,7064. Wskazuje to na dobre dopasowanie modelu do danych empirycznych.

Wykres 3. Zależność liczby przedsiębiorstw od liczby osób w wieku produkcyjnym.

Wykres nr 3 obrazuje postać liniową zależności pomiędzy liczbą osób w wieku produkcyjnym do liczby przedsiębiorstw prowadzonych przez osoby fizyczne y=-38,95+0,6946x. Interpretujemy, że wzrost zmiennej objaśniającej, powoduje wzrost zmiennej objaśnianej o 0,0688. Wartość R² wynosi 0,6946. Jest to dobre dopasowanie modelu do danych empirycznych. Linia trendu pokazuje, że im więcej ludności w wieku produkcyjnym tym więcej jest przedsiębiorstw.

Wykres 4. Zależność liczby przedsiębiorstw od gęstości zaludnienia

Na wykresie nr 4, linia trendu pokazuje, że im większa gęstość zaludnienia tym więcej jest działalności gospodarczych. Wartość R² jest na poziomie 0,5503, świadczy to o słabym dopasowaniu zmiennej objaśniającej do modelu. Postać liniowa zależności pomiędzy danymi wynosi y=38,37+5,1875x. Oznacza to, że im jest większa gęstość zaludnienia, tym więcej jest działalności gospodarczych o 5,1875.

Wykres 5. Zależność liczby przedsiębiorstw od odległości do dużego miasta.

Wykres nr 5, pokazuje linię trendu z której wynika, że im większa odległość do dużego miasta tym mniej jest działalności gospodarczych. Wartość R² wynosi 0,0227, wskazuje na bardzo słabe dopasowanie modelu do danych empirycznych. Postać liniowa zależności pomiędzy danymi wynosi y=557,71-4,9177x. Interpretujemy, że wraz ze wzrostem zmiennej objaśniającej, spada zmienna objaśniana o 4,9177.

Wykres 6. Zależność liczby przedsiębiorstw od bezrobocia ogółem

Wykres nr 6, obrazuje postać liniową zależności pomiędzy bezrobociem ogółem, a liczbą działalności gospodarczych prowadzonych przez osoby fizyczne y=220,58+25,075x. Interpretujemy, że wzrost zmiennej objaśniającej, powoduje wzrost zmiennej objaśnianej o 25,075. Wartość R² wynosi 0,082. Jest to bardzo słabe dopasowanie modelu do danych empirycznych. Linia trendu pokazuje, że im większe jest bezrobocie ogółem tym więcej jest działalności gospodarczych.

1. Wybór postaci funkcji

Do projektu modelowania ekonometrycznego wybrany został model liniowy funkcji.

Poszukujemy zależności w postaci:

gdzie:

Y- zmienna objaśniana

X₁,X₂,….,X_k – zmienne objaśniające

K – liczba zmiennych objaśnianych

e -składnik losowy

Rozpisując powyższą zależność dla poszczególnych obserwacji otrzymujemy:

…

gdzie:

- N-ta obserwacja zmiennej objaśnianej,

- N-ta obserwacja K-tej zmiennej objaśniającej,

- nieznane losowe składniki (zakłócenia) uwzględniające wpływ nie uwzględnionych w modelu czynników.

Przyjmiemy następujące oznaczenia macierzy:

2. Estymacja modelu – określenie parametrów funkcji

Zakładamy model postaci:

,

Obliczamy macierz :

Macierz odwrotna:

Obliczamy macierz :

Obliczamy macierz β:

Powyższe dane zostały obliczone za pomocą programu Excel.

Nasz model ma postać : Y= -158,7273+0,0688388*X₁

Jednostkowy wzrost liczby ludności ogółem może spowodować wzrost osób fizycznych prowadzących działalność gospodarczą o około 0,069.

3. Weryfikacja modelu

Współczynnik determinacji oblicza się ze wzoru:

Wartość R² jest liczbą należącą do przedziału [0:1]. Bliskie jedności R² wskazują na dobre dopasowanie, natomiast bliskie zera na słabe dopasowanie modelu do danych empirycznych. W praktyce przyjmuje się że model jest dobrze dopasowany, gdy R² > 0,6.

Współczynnik determinacji mówi, jaka część całkowitej zmienności zmiennej Y jest wyjaśniona przez model.

R² = 0,86399

Oznacza to, że współczynnik determinacji jest większy od wartości 0,6. Stwierdzamy zatem, że model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych. Wybrany przez nas model tłumaczy w 86% zmienność zmiennej Y.

Współczynnik zbieżności oblicza się ze wzoru: Φ ²= 1-R² i wynosi Φ=0,136. Z obliczeń wnioskujemy, że 0,136 części całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona przez model.

4.2 Weryfikacja statystyczna modelu

Estymator wariancji składnika losowego:

10536,64

Estymator odchylenia standardowego:

102,6481

Współczynnik zmienności losowej:

V = 0,2229 = 22,29%

Z obliczeń wynika, iż błędy sięgają 22,29 % średniego poziomu Y. Z związku z czym można stwierdzić, że są to małe błędy.

Macierz wariancji oraz kowariancji estymatorów parametrów:

Średnie błędy szacunku parametrów (błędy bezwzględne):

Błąd oszacowania parametru wynosi 50,067, błąd oszacowania parametru wynosi 0,0052.

Średni błąd względny szacunku k-tego parametru:

Dla$\left| \frac{0,336}{1,157} \right|$ $\left| \frac{S(\hat{\beta_{k}})}{\hat{\beta_{k}}} \right|$$\left| \frac{50,06698}{- 158,7273}\ \right|$$\frac{Y^{T}Y - \hat{\beta^{T}}X^{T}Y}{N - K - 1}$*100%= 31,54%

Dla $\left| \frac{0,00516}{0,06884} \right|$*100%= 7,5%

Model ma postać:

Parametry wyznaczone są z następującymi błędami:

• z błędem 0,3154

• z błędem 0,075

Najdokładniej wyznaczony jest parametr , ponieważ jego błąd względny jest najmniejszy i wynosi 7,5%. Błąd względny parametru wynosi 31,54%.

1. Stawianie hipotez dla parametrów

β₀ β₁

H₀ : β₀ = 0 H₀ : β₁ = 0

H₁ : β₀0 H₁ : β₁0                                  

α =0,05

t_{1 − ∝} = t_0, 95 =   1,701

Obszar krytyczny:

K=(-∞; -1,701) K=(1,701; +∞)

Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne:

Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne dla parametru β₀:

T= $\frac{- 158,7273}{50,06698}$ =-3,1703

Wartość statystyki testowej oraz obszary krytyczne dla parametru :

T=$\frac{0,06884}{0,00516}$ = 13,3369

Dla parametrów β₀ i β₁ wartość statystyki testowej należy do obszaru krytycznego, dlatego w obu przypadkach odrzucamy hipotezy zerowe, uznając za prawdziwe hipotezy alternatywne. Interpretujemy, że liczba ludności ogółem wpływa pozytywnie na osoby fizyczne prowadzące działalność gospodarczą.

1. Przedziały ufności dla parametrów modelu

Przedziały ufności :

t_1-α/2= t_0,975=2,048

Dla parametru β₀:

[-158,727-2,048*50,067; -158,727+2,048*50,067] = [-261,264; -56,1901]

Dla parametru β1:

[0,0688-2,048*0,0052; 0,0688+2,048*0,0052] = [0,0583; 0,0794]

Z prawdopodobieństwem 95% , . Na podstawie 30-elementowej próby uzyskane przedziały obejmują nieznane wartości β₀ i β₁ w populacji. W szczególności przedział dla β₁ interpretujemy w ten sposób, że jednostkowy wzrost liczby ludności ogółem może spowodować wzrost osób fizycznych prowadzących działalność gospodarczą w granicach 0,06 do 0,08.

6. Prognozowanie

Celem modelowania jest budowanie prognozy czyli przewidywanie jak badane zjawisko będzie kształtowało się w następnych latach. W naszym modelu będzie to prognozowanie osób fizycznych prowadzących działalność gospodarczą przy założeniu konkretnych zmiennych objaśniających.

Gdy :

Wartość zmiennej objaśniającej X₁ wynosi 11 658 to Y= 643,796

Wartość zmiennej objaśniającej X₂= 4 485 to Y=150,0149

Wartość zmiennej objaśniającej X₃=16 759 to Y=994,9428

PODSUMOWANIE – WYJŚCIE

Statystyki regresji
Wielokrotność R
R kwadrat
Dopasowany R kwadrat
Błąd standardowy
Obserwacje

ANALIZA WARIANCJI
Regresja
Resztkowy
Razem

	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%	Górne 95%	Dolne 95,0%	Górne 95,0%
Przecięcie	-39,03329752	83,71890046	-0,4662424	0,645427708	-212,21904	134,152443	-212,21904	134,152443
x1	0,067895036	0,018354661	3,69906234	0,001184026	0,02992553	0,10586455	0,02992553	0,10586455

6. Wnioski

Celem projektu było zbadanie jaki wpływ na liczbę osób fizycznych prowadzących działalność gospodarczą mają czynniki zewnętrzne. W pierwszym etapie konstruowania modelu ekonometrycznego było sześć parametrów, które miały wpływ na liczbę prowadzonych przedsiębiorstw. Z przeprowadzonych obserwacji, analizy ekonometrycznej wynika, iż liczba ta zależy od liczby ludności ogółem w danej gminie. Na podstawie zebranych danych i po przeprowadzeniu obliczeń utworzyłyśmy model w postaci: , który opisuje w 86% liczbę przedsiębiorstw prowadzonych przez osoby fizyczne od liczby ludności ogółem.