algebra1 2

Algebra z geometrią analityczną

Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2010/11

BI

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu i egzaminu, a ponadto swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabel Ponadto należy ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy.

1	2	3	4	5	Suma

Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej stronie pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 90 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.

ZADANIA

1.    Wyznaczyć rzut prostopadły punktu B = (1, —3,1) na prostą

, f£ + 2/ + 3z —1 = 0

\x — y — z — 3 = 0

2.    Rozwiązać równanie kwadratowe z² + 6z + 9 + Si = 0.

3.    Wektory V\ — (1,-1) oraz t>2 = (2,3) są wektorami własnymi przekształcenia liniowego B : R²—»R². Wyznaczyć wartości własne odpowiadające tym wektorom, jeżeli U(l, 1) = (3,5).

4.    Wiadomo, że liczba z\ —■ SHL + Si jest pierwiastkiem wielomianu B(z) = z⁴ + bz² + pz 4- 30. Wyznaczyć liczby 6,p 6 1 oraz pozostałe pierwiastki wielomianu B.

5.    Zbadać dla jakich p € R układ

x -j- 2y + z — 2 2x + py + 3z = 3 px + 4y + 5z = 1

ma jednoznaczne rozwiązanie spełniające warunek y > 0. Odpowiedź zaznaczyć na osi liczbowej.

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu i egzaminu, a ponadto swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabel

Ponadto należy ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy.

Al

1	2	3	4	5	Suma

Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej stronie pracy. Na rozwiązanie zadań

przeznaczono 90 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.

ZADANIA

1.    Zbadać dla jakich p GM układ

x lOy + 7z = 2 | Sx + 4y + pz = 1 2x + py + 2z = l

ma jednoznaczne rozwiązanie spełniające warunek y < 0. Odpowiedź zaznaczyć na osi liczbowej.

2.    Rozwiązać równanie kwadratowe z² — 2z + 1 + 50ż = 0.

3.    Wektory Vi — (1, —1) oraz t?2 = (6, —1) są wektorami własnymi przekształcenia liniowego A : R²—>R². Wyznaczyć wartości własne odpowiadające tym wektorom, jeżeli A(l, 1) = (—9,5).

4.    Wyznaczyć miarę kąta między płaszczyzną a : £+22/+32+11 = 0 i prostą

£. |^x+y — 2-1 = 0

| £ — y — 2z — 3 = 0

5.    Liczba z\ Hp — i jest pierwiastkiem wielomianu

A(z) = 2⁴ + az² + pz + 30.

"Wyznaczyć liczby a, p GM oraz pozostałe pierwiastki wielomianu A.

Stanisław Roguski