Matematyka 2 (3

282 IV. Równania róAniczkuw*zwyczujne

7. powyższych rozważań wynika, że dla znalezienia rozwii ogólnego równania liniowego jednorodnego II rzędu wystarczy znać d liniowo niezależne rozwiązania szczególne Okazuje się jednak, że znaczenie (czy odgadnięcie) takich rozwiązań jest na ogól trudne, a sem wręcz niemożliwe, gdyż rozwiązania te nic zawsze wyrażają się przez funkcje elementarne (por. przykład 6.2).

Jeśli znamy jedno rozwiązanie równania liniowego jedno:

(6.2), to dla znalezienia drugiego (liniowo niezależnego) rozwiąż okazać się może pomocne następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE 6.4. Jeżeli y = y,(x).x e(a,b), jest rozwii mcm szczególnym równania (6.2), przy czym y,(x)*0 dla x e(a,b). to funkcja określona wzorem

(6.7)

^y>(*^)=y'^(x)-fe^eP<"^dx' I

gdzie P(x) oznacza dowolną z funkcji pierwotnych funkcji p,(x) na przedziale (a.b), jest również rozwiązaniem równania (6.2). przy czyni y»(x) i y₂(x) są rozwiązaniami liniowo niezależnymi.

PRZYKŁAD 6.2.

a) Łatwo odgadnąć, że y,(x) = I, x e(0.+oc), jest rozwiązaniem szczególnym równania

(I)

y"+±.y' ₌ 0.    _X>0.

X ³

Korzystając z twierdzenia 6.4 wyznaczymy drugie rozwiązanie: y_;(x) = jc'^r,Mdx = -¹ P(x) = J|dx = 21nx = !nx^;j =

= fe‘^ta* dx = f4dx =    ]

J    J _x² c x

Rozwiązania y,(x)= 1 i y₂(x)=-— są liniowo niezależne na przedziale (0,-Ko), zatem

y = C,-C₂~. x > 0, Cj, C₂ € R,

jest rozwiązaniem ogólnym równania (1).

b) Łatwo widać, żc y,(x)= l, xeR. jesl rozwiązaniem szczególnym równania

^    y" + 2xy' ** 0

VV tym przypadku zastosowanie twierdzenia 6.4 nie prowadzi jednak do efektywnego wyznaczenia drugiego rozwiązania, gdyż

y_:(x) = je‘^PU,dx = { P(x) = J2xdx = x^: } = Je ' dx.

a otrzymana całka nie wyraża sit; przez funkcje elementarne.    ■

W dalszym ciągu podamy metodą rozwiązania równania liniowego jednorodnego II rządu w przypadku, gdy funkcje p, i p> w równaniu (6.2) są stałe

METODA UZMIENNIANIA STAŁYCH rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych Weźmy pod uwagą równanie liniowe niejednorodne (6.1): y** + p,(x)y' + p₂(x)y = q(x) i odpowiadające mu równanie jednorodne (6.2): y" + p,(x)y’ + p_:(x)y = 0. Wiemy już. ze rozwiązanie ogólne równania (6.2) określone jest wzorem

y = C,y,(x) + C₂y₂(x).

gdzie y, i y, są dwoma dowolnymi, liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (6.2) na przedziale (a.b), a C,,C₂ są dowolnymi stałymi.

Wykazuje sią, że z powyższego wzoru można uzyskać każde rozwiązanie równania (6.1) przez zastąpienie stałych C, i C₂ odpowiednio dobranymi funkcjami zmiennej x Co wiącej. na drodze takiego uzmiennicnia stałych można otrzymać (analogicznie jak dla równania liniowego I rządu) rozwiązanie ogólne równania (6.1) Załóżmy, że C,(x) i C\(x) są takimi funkcjami, że

(6.8)    y = C,(x)y_t(x) + C₂(x)y_:(x), x e(a.b),

jest rozwiązaniem równania (6.1). Z (6.8) otrzymujemy

y' =C;(x)y,(x) + C₂(x)y₂(x) + C,(x)y;(xH C₂(x)y^(x).

Ograniczymy sią do znalezienia takich funkcji C,(x) i C₂(x), dla których:

Ci(x)y,(x) + C;(x)y₂(x) = 0.