ĆW.NR 5 BADANIE ZDERZEŃ SPRĘŻYSTYCH KUL.

Wstęp teoretyczny:

WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ ORAZ RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ .

Porównując zachowanie się ciał pod wpływem przyłożonych do nich sił, widzimy istotne różnice pomiędzy ich właściwościami w różnych stanach skupienia . Gazu, ściskane z zewnątrz , zacznie zmniejszają swą objętość , ciecze i ciała stałe bardzo nieznacznie. Po ustąpieniu siły ściskającej objętość tych wszystkich ciał powraca do poprzedniej wartości. Można zatem stwierdzić , że

zarówno gazy jak ciecze, ciała stałe, posiadają SPRĘŻYSTOŚĆ OBJĘTOŚCI

Natomiast właściwości odzyskiwania po usunięciu siły odkształcającej swojej pierwotnej postaci, nazywamy SPRĘŻYSTOŚCIĄ POSTACI.

Gazy przyjmują zawsze kształt naczynia wypełniając je całkowicie. Ciecze również przyjmują kształt naczynia posiadają jednak w odróżnieniu od gazów powierzchnię swobodną. Ciała stałe posiadają własne kształty . W odróżnieniu od cieczy i gazów :

CIAŁA STAŁE POSIADAJĄ SPRĘŻYSTOŚĆ POSTACI

Pod względem właściwości sprężystych dzielimy ciała stałe na :

• sprężyste: jeśli nawet stosunkowo duże siły powodują jedynie odkształcenie sprężyste.

• plastyczne: jeśli pod wpływem stosunkowo niewielkich sił ciała ulegają trwałym odkształceniom , ale nie niszczą się.

• kruche : gdy stosunkowo łatwo ciała te ulegają zniszczeniu (skruszeniu) .

ZDERZENIA KUL

Właściwy przykład zastosowania zasad zachowania energii i pędu stanowią zderzenia sprężyste i zderzenia niesprężyste. Weźmy pod uwagę najpierw zderzenia sprężyste, tj. zderzenia w których zostaje zachowana energia mechaniczna zderzających się kul i nie następuje ich trwałe odkształcenie. Oczywiście, w chwili samego zderzenia kule się nieco odkształcają, przy czym ich energia kinetyczna zamieniona zostaje częściowo w energię sprężystą odkształcenia, następnie jednak przez działanie wytworzonych przez odkształcenie naprężeń, kule wracają do swojej postaci pierwotnej i energia sprężysta znów przetwarza się w kinetyczną.

Rozróżniamy dwa typy zderzeń sprężystych, zderzenia centralne i zderzenia niecentralne. Zderzenie centralne zachodzi wówczas, gdy prędkości zderzających się kul układają się wzdłuż prostej, łączącej ich środki. W dalszych rozważaniach zakładamy, że kule nie posiadają ruchów obrotowych, a więc poruszają się tylko ruchem postępowym (ślizgają się bez tarcia po podłożu) i że zastępujemy ruch kul - zgodnie z wynikami rozważań poprzednich - ruchem ich środków mas, czyli po prostu ich środków geometrycznych.

Weźmy pod uwagę dwie kule, jedną o masie m₁ poruszającą się z prędkością v₁ i drugą m₂ z prędkością v₂, przeciwnie skierowaną. Łączny pęd obu kul jest

p=mv₁+mv₂=p₁+p₂ (1)

ich zaś łączna energia kinetyczna

(2)

Z uwagi na obowiązywanie zasad zachowania pędu i zachowania energii mamy po zderzeniu:

(3)

oraz

(4)

Ponieważ wszystkie pędy leżą wzdłuż jednej prostej, możemy w równaniu (3) zastąpić wektory ich wartościami. Mamy zatem do czynienia z dwoma równaniami z dwoma niewiadomymi. Rozwiązując te równania, znajdujemy wartości pędów (a więc i prędkości) kul po zderzeniu. Prędkość v środka mas w układzie :

(m₁+m₂)v=m₁v₁+m₂v₂. (5)

Do układu S przejdziemy odejmując prędkość v od wszystkich prędkości. W układzie tym prędkość pierwszej kulki jest v₁-v, drugiej zaś v₂-v; pęd kul są w tym układzie jednakowe co do wartości i przeciwnie skierowane, gdyż wypadkowy pęd równy jest zeru:

p_1S+p_2S=0 (1.6)

Energia kinetyczna kul w układzie S jest:

(7)

Po zderzeniu pędy kul muszą być znów równe co do wartości i przeciwnie skierowane, gdyż całkowity pęd pozostaje równy zeru. Mamy więc:

p'_1S+p'_2S=0, (8)

ale i energia pozostaje taka sama, czyli

(9)

Z uwagi na (6) i (8) wzory (7) i (9) można przedstawić w postaci:

(10)

(11)

Z zestawienia (10) i (11) wynika, że

(12)

zaś ostatecznie mamy:

p'_1S=-p_1S , p'_2S=-p_2S (13)

WSPÓŁCZYNNIK POISSONA

Rozciąganiu próbek towarzyszy poprzeczne zwężanie. Stosunek poprzecznego zwężania do podłużnego wydłużania nazywamy współczynnikiem Poissona.

U = Δd / d : Δ l / l

PRAWO HOOKE'A

Najczęściej spotykane odkształcenia wywołane są rozciąganiem i ściskaniem. Hooke stwierdził iż, przyrost długości jest wprost proporcjonalny do przyłożonej siły „F” i do długości początkowej „L” danego ciała, a odwrotnie proporcjonalny do pola powierzchni poprzecznego przekroju „S” danego ciała.

ΔL = K FL / S,

w którym „K” jest współczynnikiem proporcjonalności charakterystycznym dla danego materiału.

Odkształcenia te są natomiast bezpośrednią przyczyną powstawania naprężeń wewnętrznych. Dlatego prawo to przedstawia się najczęściej w następującej postaci:

p = 1/K∗ ΔL / L

lub podstawiając E = 1 / K

p = E ΔL / L

„p” przedstawia wartość naprężenia wewnętrznego ,”E” jest :

współczynnikiem proporcjonalności zwanym MODUŁEM „YOUNGA''

Δ L / L to wydłużenie względne.

MODUŁ YOUNGA wyraża wartość naprężenia wewnętrznego odpowiadającego podwojeniu długości danego ciała .Wymiarem modułu Younga jest : [E] = Pa

Prawo Hooke^'a nie jest spełnione dla dowolnych naprężeń. Ale jedynie dla najmniejszych do pewnego naprężenia zwanego granicą proporcjonalności. Po jej przekroczeniu nie stosuje się już prawa Hooke`a . Granicą sprężystości nazywamy takie naprężenie po przekroczeniu którego ciało nie powraca do poprzedniego wymiaru, z dokładnością do 0,003 %

CZAS TRWANIA ZDERZENIA

Zasada zachowania pędu pozwala obliczyć prędkość kul po zderzeniu, lecz nie tłumaczy zjawisk zachodzących podczas zderzenia. Przekazywanie energii w czasie zderzenia zachodzi pośrednio poprzez energię sprężystą i odbywa się w czasie T. Czas trwania zderzenia można zmierzyć wykorzystując w tym celu zjawisko rozładowania kondensatora. Napięcie U na okładkach kondensatora zwartego opornikiem R maleje w sposób wykładniczy

Czas T obliczyć możemy ze wzoru

W czasie zderzenia kule deformują się. Deformacja polega na wgnieceniu do wnętrza kulki części objętości mają kształt czaszy o wysokości h i promieniu podstawy r. Promień r jest największym promieniem koła zetknięcia kul. Wysokość czaszy kulistej możemy obliczyć zakładając, że od chwili pierwszego zetknięcia, ruch kul jest ruchem jednostajnie opóźnionym i po czasie t=T/2 prędkość kul maleje do zera. Stąd droga w ruchu jednostajnie opóźnionym jest równa wysokości czaszy kulistej i wyraża się wzorem:

Przyspieszenie w ruchu jednostajnie opóźnionym, w którym prędkość końcowa jest równa zeru wynosi:

Z ostatnich dwóch równań otrzymamy

W oparciu o twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, wprowadzić możemy następujący związek, łączący promień podstawy czaszy kulistej z jej wysokością

gdzie R oznacza promień kuli. Ze względu na małą wartość czaszy kulistej, drugi wyraz w powyższym wzorze zaniedbujemy otrzymując

Zderzające się kule działają na siebie siłą F(l) rosnącą liniowo wraz z deformacją do wartości F_n dla l=h. Wykonują one wtedy pracę

która jest równa zgromadzonej w nich energii sprężystej E_s. Zgodnie z zasadą zachowania energii, energia E_s jest równa energii kinetycznej kul

skąd

Wzór powyższy pozwala określić maksymalną siłę nacisku kul, w chwili gdy prędkość jest równa zeru.

Możemy ponadto wyznaczyć moduł Younga, korzystając z wzoru określającego zbliżenie środków zderzających się kul

gdzie E jest modułem Younga , a μ-współczynnikiem Poissona, który dla żelaza lanego wynosi 0.26. Zatem moduł Younga wyrazi się wzorem:

BADANIE ZDERZEŃ SPRĘŻYSTYCH KUL.

Średnica kuli (d):

d_śr =3,8*10^-2 m

Δd =2,45*10^-5 m

Odległość między nabiegunnikami elektromagnesów (a):

a_śr =2,26*10^-1 m

Δa=2,89*10^-4

b = (266,7 ± 0,2) mm

l = b + ½ *d

l = 0,2667 + ½ *0,038 ≈ 2,86*10^-1 m

Δ=2,12*10^-4 m

Masa kuli (m):

m = p*V_k ,

V_k = 1/6*П*d³ , gdzie

p = 7850 kg/m³

V_k = 1/6*3,14*(0,038)³ = 3*10^-5m/s

,stąd

m = 7850* 3*10^-5 ≈ 2,36*10^-1 kg

Δm=4,18*10^-4kg

Prędkość kuli przed zderzeniem (v₀):

v₀ =0,441m/s

Δv =1,16*10^-3m/s

Czas zderzenia (t):

,gdzie

U₀ -napięcie na kondensatorze przed zderzeniem,

U - napięcie na kondensatorze po zderzeniu,

R = ...460 ± 1Ω

C = ...1,4 ± 1μF

10^-6

Pomiar I

Nr.	t1 [s]
1	170,66*10^-6
2	96,6*10^-6
3	94,668*10^-6
4	75,992*10^-6
5	90,804*10^-6
6	72,128*10^-6
7	94,024*10^-6
8	72,772*10^-6
9	82,432*10^-6
10	59,248*10^-6
	90,933*10^-6

Pomiar II

Nr.	t2 [s]
1	97,244*10^-6
2	120,428*10^-6
3	79,856*10^-6
4	90,804*10^-6
5	92,736*10^-6
6	77,28*10^-6
7	111,412*10^-6
8	84,364*10^-6
9	72,772*10^-6
10	91,448*10^-6
	81,83*10^-6

Pomiar III

Nr.	t3 [s]
1	154,56*10^-6
2	94,024*10^-6
3	99,176*10^-6
4	82,432*10^-6
5	79,856*10^-6
6	85.652*10^-6
7	86.94*10^-6
8	78,568*10^-6
9	82,432*10^-6
10	66,332*10^-6
	90,997*10^-6

Pomiar IV

Nr.	t4[s]
1	193,844*10^-6
2	93,38*10^-6
3	86,296*10^-6
4	86,296*10^-6
5	84,364*10^-6
6	85,652*10^-6
7	78,568*10^-6
8	82,432*10^-6
9	77,28*10^-6
10	69,552*10^-6
	93,766*10^-6

Pomiar V

Nr.	t5[s]
1	114,632*10^-6
2	85,508*10^-6
3	86,94*10^-6
4	86.296*10^-6
5	66,332*10^-6
6	84,364*10^-6
7	74,704*10^-6
8	77,924*10^-6
9	81,788*10^-6
10	110,124*10^-6
	76,861*10^-6

Wartość średnia t ze wszystkich serii pomiarowych:

t = 86,877 10^-6 s

Δt =2,68*10^-6 s

Maksymalna siła oddziaływania kul (F₀):

ΔF₀ =3,12*10² N

Wielkość ugięcia się czaszy kulistej (h):

h = 50,805*10^-6 m

Δh =16,64*10^-7 m

Promień koła zetknięcia się kul (r):

Δr =1,83*10^-5 m

Moduł Younga dla kuli(E):

ΔE =6,863*10⁸ N/m²

Wnioski:

Otrzymane wyniki odbiegają od wartości katalogowych. Miały na to wpływ takie czynniki jak niedokładność odczytów pomiarów średnicy kul czy odległości pomiędzy nabiegunnikami elektromagnesów. Innym czynnikiem powodującym błędy mógł być fakt, iż po zderzeniu kule nie zawsze były schwycone ponownie przez elektromagnesy w związku z czym trzeba było je odchylić „ręcznie”.

10

---