marcinka all, 20030121


Zmodyfikowana metoda Eulera

Gdyby znany był punkt P o odciętej 0x01 graphic
to wystarczałoby obliczyć styczną w P i poprowadzić równoległą 0x01 graphic
(0x01 graphic
punkt przecięcia, równoległy z prostą 0x01 graphic
)

[0x01 graphic
- nowy punkt (a nie pochodna)]

Punkt P aproksymujemy P'

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Współrzędne punktu P': 0x01 graphic
0x01 graphic

pochodna w punkcie 0x01 graphic

Tangens kąta nachylenia stycznej w P' oraz (0x01 graphic
) odcinka 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x08 graphic
współrzędne punktu 0x01 graphic
: 0x01 graphic

Formuły te można zapisać:

0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic
- pochodna w 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

potem wyznacza się współrzędne 0x01 graphic
korzystając z 0x01 graphic
itd.

0x01 graphic

Metoda Rungego-Kutty

Algebraiczne uogólnienie opisanej konstrukcji geometrycznej.

Szukamy współczynników: 0x01 graphic
oraz liczb 0x01 graphic
takich by wartość y określona przez ciąg równań była możliwie bliska dokładnej wartości.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

To przybliżenie i przybliżenie wzorem Taylore'a powinno różnić się jak najmniej.

Wyprowadzenie 0x01 graphic

0x01 graphic
spełnia: 0x01 graphic

Zróżniczkujemy względem x

0x01 graphic

dokładne rozwiązanie 0x01 graphic
ma rozwinięcie:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

ma rozwinięcie:

0x01 graphic

0x01 graphic
- pochodna po x w punkcie 0x01 graphic

0x01 graphic
- pochodna po y w punkcie 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Porównując wyrazy przy h i 0x01 graphic
w obu rozwinięciach otrzymamy:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

skąd 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie a jest dowolne

Podstawmy 0x01 graphic
0x01 graphic

Błąd rzędu 0x01 graphic

Wzory R-K trzeciego rzędu:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
Powiększając ilość równań wzory R-K wyższego rzędu.

Metody wielokrokowe

Wykorzystujemy znajomość kilku wartości początkowych.

Równanie 0x01 graphic
po przecałkowaniu dla stron od 0x01 graphic
do 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
nieznana, bo nie znamy 0x01 graphic

Znając wartości y w punktach 0x01 graphic
możemy wyliczyć wartości liczbowe:

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
W metodach wielokrokowych interpoluje się funkcję 0x01 graphic
wielomianem 0x01 graphic
określonym za pomocą wartości 0x01 graphic
i zastępuje się 0x01 graphic
przez 0x01 graphic

zależy tylko od x

przepis nieznany dla x

funkcja zależna tylko od x - znana



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
marcinka all, 20030107
marcinka all, 20021203, Ciąg dalszy:
marcinka all, 20021119
marcinka all, 20021008
marcinka all, 20021015, SZUKANIE ZER W FUNKCJACH NIELINIOWYCH
marcinka all, 20021126, (RYSUNEK)
marcinka all, 20021112, INTERPOLACJA FUNKCJAMI SKLEJANYMI:
IO ALL
ZLL ALL
All Flesh Must Be Eaten Two Rotted Thumbs Up
Jim Hall at All About Jazz
all
PDH, Broadband ISDN, ATM and all that
marcinstolp pro
mo all
Twarde dyski, Informatyka -all, INFORMATYKA-all
farmacja 12czerwca2007, Receptura, Farma - pytania, testy egzaminacyjne-all
Opis programu komputerowego Twierdzenie Pitagorasa-dowód i z, wrzut na chomika listopad, Informatyka

więcej podobnych podstron