Zmodyfikowana metoda Eulera

Gdyby znany był punkt P o odciętej
to wystarczałoby obliczyć styczną w P i poprowadzić równoległą
(
punkt przecięcia, równoległy z prostą
)

[
- nowy punkt (a nie pochodna)]

Punkt P aproksymujemy P'

Współrzędne punktu P':

pochodna w punkcie

Tangens kąta nachylenia stycznej w P' oraz (
) odcinka
:

współrzędne punktu
:

Formuły te można zapisać:

- pochodna w

potem wyznacza się współrzędne
korzystając z
itd.

Metoda Rungego-Kutty

Algebraiczne uogólnienie opisanej konstrukcji geometrycznej.

Szukamy współczynników:
oraz liczb
takich by wartość y określona przez ciąg równań była możliwie bliska dokładnej wartości.

To przybliżenie i przybliżenie wzorem Taylore'a powinno różnić się jak najmniej.

Wyprowadzenie

spełnia:

Zróżniczkujemy względem x

dokładne rozwiązanie
ma rozwinięcie:

ma rozwinięcie:

- pochodna po x w punkcie

- pochodna po y w punkcie

Porównując wyrazy przy h i
w obu rozwinięciach otrzymamy:

skąd

gdzie a jest dowolne

Podstawmy

Błąd rzędu

Wzory R-K trzeciego rzędu:

Powiększając ilość równań wzory R-K wyższego rzędu.

Metody wielokrokowe

Wykorzystujemy znajomość kilku wartości początkowych.

Równanie
po przecałkowaniu dla stron od
do

nieznana, bo nie znamy

Znając wartości y w punktach
możemy wyliczyć wartości liczbowe:

W metodach wielokrokowych interpoluje się funkcję
wielomianem
określonym za pomocą wartości
i zastępuje się
przez

zależy tylko od x

przepis nieznany dla x

funkcja zależna tylko od x - znana