Zmodyfikowana metoda Eulera
Gdyby znany był punkt P o odciętej
to wystarczałoby obliczyć styczną w P i poprowadzić równoległą
(
punkt przecięcia, równoległy z prostą
)
[
- nowy punkt (a nie pochodna)]
Punkt P aproksymujemy P'
Współrzędne punktu P':
pochodna w punkcie
Tangens kąta nachylenia stycznej w P' oraz (
) odcinka
:
współrzędne punktu
:
Formuły te można zapisać:
- pochodna w
potem wyznacza się współrzędne
korzystając z
itd.
Metoda Rungego-Kutty
Algebraiczne uogólnienie opisanej konstrukcji geometrycznej.
Szukamy współczynników:
oraz liczb
takich by wartość y określona przez ciąg równań była możliwie bliska dokładnej wartości.
To przybliżenie i przybliżenie wzorem Taylore'a powinno różnić się jak najmniej.
Wyprowadzenie
spełnia:
Zróżniczkujemy względem x
dokładne rozwiązanie
ma rozwinięcie:
ma rozwinięcie:
- pochodna po x w punkcie
- pochodna po y w punkcie
Porównując wyrazy przy h i
w obu rozwinięciach otrzymamy:
skąd
gdzie a jest dowolne
Podstawmy
Błąd rzędu
Wzory R-K trzeciego rzędu:
Powiększając ilość równań wzory R-K wyższego rzędu.
Metody wielokrokowe
Wykorzystujemy znajomość kilku wartości początkowych.
Równanie
po przecałkowaniu dla stron od
do
nieznana, bo nie znamy
Znając wartości y w punktach
możemy wyliczyć wartości liczbowe:
W metodach wielokrokowych interpoluje się funkcję
wielomianem
określonym za pomocą wartości
i zastępuje się
przez
zależy tylko od x
przepis nieznany dla x
funkcja zależna tylko od x - znana