Obwody I rzędu
zasilane z
ródłami napięć stałych
Obwody I rzędu zasilane z
ródłami napięć stałych
Obwód RL
(rezystancyjno-indukcyjny)
U
R
L
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
i
1
2
W (0) = LÅ" I0
vR
vL
R
L
2
di
uL = LÅ"
uL + uR = 0 uR = RÅ"i
dt
di
i(0) = I0
L Å" + R Å" i = 0
(7.1)
dt
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
di
i(0) = I0
L Å" + R Å" i = 0
(7.1)
dt
di 1 di dt
L di dt
i(0) = I0
+ Å" i = 0
Ä =
Ä
Ä
Ä
= - + K
= -
+" +"
Ä
R dt Ä
Ä
Ä
i Ä i Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
1
K = ln D
ln i = - Å" t + K
Ä
Ä
Ä
Ä
t
-
i 1
Ä
Ä
Ä
Ä
ln = - Å" t
lub (7.2)
i = D Å" e
D Ä
Ä
Ä
Ä
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
i(0) = I0
Stała D ma spełniać warunki początkowe:
(7.3)
To prowadzi do równania
I0 = D
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
PodstawiajÄ…c (7.3) do (7.2)
i = D Å" e
t
-
(7.4)
Ä
Ä
Ä
Ä
znajdujemy
i = I0 Å" e
Zale\
ność (7.4) jest nazwana odpowiedzią
na zerowy sygnał wejściowy, poniewa\

nie występuje sygnał wejściowy w
obwodzie, a odpowiedz
i(t) wynikiem
prÄ…du poczÄ…tkowego I0. Wykres funkcji
(7.4) jest pokazany na rys. 7.2 Rys. 7.2
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
Taka sama krzywa jest otrzymana dla ka\
dego obwodu z poczÄ…tkowym
prÄ…dem I0 tak dÅ‚ugo jak Ä = L/R jest taka sama. JeÅ›li staÅ‚a czasowa Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
zostanie podwojona wtedy prąd pozostanie niezmieniony jeśli czas t
będzie równie\
podwojony.
2Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
To oznacza, \
e nowa krzywa zostanie otrzymana przez przesunięcie
(pomno\
enie) razy dwa ka\
dego punktu na krzywej pierwotnej . Więc prąd
potrzebuje dłu\
szego czasu do osiągnięcia tej samej danej wartości.
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
di 1
PoczÄ…tkowa szybkość zaniku prÄ…du i(t) wynosi: |t =0 = - Å" I0
dt Ä
Ä
Ä
Ä
Jest to nachylenie prostej stycznej
przechodzÄ…cej przez punkt (0, I0 )
To nachylenie jest równe:
I0
-
x
1 przyrównując mamy:
= - Å" I0
Ä
Ä
Ä
Ä
I0
1
- Å" I0 = -
Ä x
Ä
Ä
Ä
Ä = x
Ä
Ä
Ä
a to prowadzi do
Wyznaczenie graficzne staÅ‚ej czasowej Ä :
Ä
Ä
Ä
narysować prostą styczną do krzywej dla t = 0
i znalez
ć miejsce przecięcia się tej stycznej z osią czasu.
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
Dla t = Ä otrzymamy:
Ä
Ä
Ä
i(Ä ) = I0 Å" e-1 = 0.368 Å" I0
Ä
Ä
Ä
Więc w jednej stałej czasowej odpowiedz
zmniejsza
się do 36.8 procenta wartości początkowej
Dla t = 4 Ä mamy:
Ä
Ä
Ä
i(4Ä ) = I0 Å" e-4 = 0.0183 Å" I0
Ä
Ä
Ä
co oznacza \
e wartość
odpowiedzi jest mniejsza ni\

2% wartości początkowej
Natomiast dla t = 5Ä :
Ä
Ä
Ä
i(5Ä) = 0.0067Å" I0
Ä
Ä
Ä
jest pomijalną częścią wartości
poczÄ…tkowej. Dlatego zwykle przyjmuje
siÄ™, \
e po 5 stałych czasowych wartość
prÄ…du jest ustalona.
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
Moc i energia w obwodzie
i
t
-2
2
Ä
Ä
Ä
Ä
pR = R Å" i2 = R Å" I0 Å"e
vR
L vL
R
" " 2t
-
Ä 1
Ä
Ä
Ä
2 2 2
Ä
Ä
Ä
Ä
WR = pR Å"dt = I0 Å" RÅ"
+" +"e dt = I0 Å" RÅ" 2 = 2 Å" LÅ" I0
0 0
Obwód: rezystory  indukcyjność (RL)
Mo\
emy dość łatwo rozszerzyć wyniki uzyskane dla tego prostego obwodu
RL do obwodu zawierającego jakąś liczbę rezystorów i jedną indukcyjność
Rozwa\
my przykład przedstawiony na rys. 7.6.
R2
iL
R1 Å" (R2 + R3 )
RZ =
R3
R1 L
R1 + R2 + R3
i1
Obwód: rezystory  indukcyjność (RL)
R2
iL
R1 Å" (R2 + R3 )
RZ =
R3
R1 L
R1 + R2 + R3
i1
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
iL (t) = iL (0) Å" e
L
Ä =
Ä
Ä
Ä
gdzie
RZ
L
RZ
iL
Układ rezystorów ze z
ródłem prądowym
Analizując ten obwód otrzymamy:
R2
R1 Å"(R2 + R3)
uL = -iL(t)Å"
R1 + R2 + R3
vL iL(t) R3
R1
i1
uL R2 + R3
i1 = = -iL(t)Å"
R1 R1 + R2 + R3
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
wraz ze z
ródłem napięciowym V
Rozwa\
my obwód zawierający dodatkowo z
ródło napięciowe U prądu stałego.
Mamy więc rezystor R i indukcyjność L, z prądem początkowym i(0)=I0 i z
ródło napięciowe.
R
di
(7.5)
LÅ" + R Å" i = U
i (0 ) = I
0
dt
i
vR
L
di 1 U
Ä =
Ä
Ä
Ä
gdzie: (7.7)
(7.6)
+ Å" i =
vL
U
R
dt Ä L
Ä
Ä
Ä
U
di dt
- i
= -
di
U
Ä
Ä
Ä
Ä
R
(7.8)
= i -
R
dt Ä
Ä
Ä
Ä
t
di 1
-
U t
U
Ä (7.9)
Ä
Ä
Ä
= -
ln i - = - + ln A
i - = AÅ"e
+" +"dt + K
U
Ä
Ä
Ä
Ä
R Ä
Ä
Ä
Ä
R
i -
R
gdzie K jest stałą całkowania gdzie A jest stałą, która mo\
e być
dodatnia lub ujemna.
Obwód: rezystor, indukcyjność, z
ródło napięciowe
t
-
U
Ä (7.9)
Ä
Ä
Ä
i - = AÅ"e
R
U
Dla t = 0 oraz i(0) = I0
(7.10)
I0 - = A
równanie (7.9) przyjmuje postać:
R
t
podstawiajÄ…c (7.10) do (7.9) mamy:
U U
ëÅ‚ öÅ‚Å"e-Ä
Ä
Ä
Ä
(7.11)
i(t) = + I0 -
ìÅ‚ ÷Å‚
R R
íÅ‚ Å‚Å‚
Kiedy t " drugi człon prawej strony
"
"
"
U
i(")=
równania (7.11) zanika; zatem:
R
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
(7.12)
i(t) = i(") + (i(0) - i("))Å" e
Wtedy mo\
emy napisać:
L
U
Ä =
Ä
Ä
Ä
gdzie i(" " oraz
") jest wartością ustaloną i(t) dla t = " , równą
" "
" "
R
R
Obwód: rezystor, indukcyjność, z
ródło napięciowe
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
(7.12)
i(t) = i(") + (i(0) - i("))Å" e
Więc, odpowiedz
zawiera dwa człony:
- pierwszy człon iw = i(" jest odpowiedzią stałego z
ródła i jest nazywana
")
"
"
odpowiedziÄ… wymuszonÄ…,
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
in = A Å" e
- drugi człon nazywany jest odpowiedzią naturalną.
Zatem odpowiedz
i(t) jest sumÄ… odpowiedzi wymuszonej iw
oraz odpowiedzi naturalnej in
i = iw + in
(7.13)
Obwód: rezystor, indukcyjność, z
ródło napięciowe
di 1
Początkowa szybkość zaniku:
(7.14)
|t =0 = - Å"(i(0) - i("))
dt Ä
Ä
Ä
Ä
(i(0) - i("))
(7.15)
-
x
przyrównując (7.14) i (7.15) mamy zale\
ność:
1 1
- (i(0) - i(")) = - (i(0) - i("))
Ä x
Ä
Ä
Ä
V
i(") =
R
Ä = x
Ä
Ä
Ä
Wyznaczenie graficzne staÅ‚ej czasowej Ä :
Ä
Ä
Ä
narysować prostą styczną do krzywej dla t = 0 i znalez
ć miejsce przecięcia
siÄ™ tej stycznej z poziomÄ… linia przechodzÄ…cÄ… przez punkt (0, i("
"))
"
"
Przykład obwodu:
rezystory, indukcyjność, z
ródło napięciowe
Wyłącznik jest otwarty a\
stan ustalony prądu w obwodzie będzie
dominował i następnie zostaje zamknięty; zakładając, \
e
zamknięcie wyłącznika wystąpi w t = 0 szukamy jak zmienia się i(t)
t = 0
t
(7.12)
-
Ä
Ä
Ä
Ä
i(t) = i(") + (i(0) - i("))Å" e
(7.16)
L
Ä =
Ä
Ä
Ä
i
R2
(7.17) R1
R2
W obwodzie płynie ustalony stały
V
vL
prąd, zatem spadek napięcia na
indukcyjności wynosi zero, bo:
di
uL = LÅ"
dt
u
iL(0- ) =
Dla t = 0, oznaczonego 0- wyłącznik jest jeszcze otwarty, zatem:
R1 + R2
Dla t = 0, wyłącznik zostaje zamknięty,
U
z właściwości prawa ciągłości zapiszemy:
iL(0) = iL(0- ) =
(7.18)
R1 + R2
Dla t = "
", stan ustalony,
"
"
U
(7.19)
i(") =
uL = 0 płynący prąd:
R
2
Przykład obwodu:
rezystory, indukcyjność, z
ródło napięciowe
PodstawiajÄ…c (7.18) i (7.19) do 7.16) otrzymamy rozwiÄ…zanie na prÄ…d:
t
-
ëÅ‚ öÅ‚
U U U
Ä
Ä
Ä
Ä
ìÅ‚
iL(t) = + - ÷Å‚ (7.20)
R2 ìÅ‚ R1 + R2 R2 ÷Å‚Å"e
íÅ‚ Å‚Å‚
V
R2
V
R1 + R2
Obwody I rzędu zasilane z
ródłami napięć stałych
Obwód: rezystor  indukcyjność (RL)
Obwód: rezystor  pojemność (RC)
Obwód rezystor  pojemność (RC)
bez z
ródła zasilania
Q
q = C Å"U
C =
i
U
dU
dq
i = C Å"
vC
vR
R
C
= i
dt
dt
dq = C Å"dU
dW = Udq
u
1
2
1
2
WC =
WC = Å"C Å"U
+"C Å"Udu
W (0) = C Å"U0
2
0
2
Obwody I rzędu zasilane z
ródłami napięć stałych
Obwód RC
(rezystancyjno-pojemnościowy)
U
C R
Obwód rezystor  pojemność (RC)
uC + uR = 0
(8.1)
i
vC
vR
R
C
uR = RÅ"i
du
i = C Å"
dt
(8.2)
duC
uC (0) = U0
uc + RC Å" = 0
dt
Obwód rezystor  pojemność (RC)
(8.2)
duC
vC (0) = V0
uc + RC Å" = 0
dt
duC 1
+ Å" uC = 0
(8.3) di 1
dt Ä + Å" i = 0
Ä
Ä
Ä
dt Ä
Ä
Ä
Ä
Ä = R Å" C
Ä
Ä
Ä
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
uC (0) = U0 (8.4)
uC (t) = U0 Å"e
Obwód rezystor  pojemność (RC)
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
uC (0) = U0 (8.4)
uC (t) = U0 Å"e
Dla czasu t = 0 mamy warunek poczÄ…tkowy
Dla t " napięcie uC osiąga zero
Napięcie na okładkach kondensatora
powoduje przepływ energii z pojemności
do rezystora, na którym jest tracona w
postaci ciepła
Rys. 8.2
Obwód rezystor  pojemność (RC)
Zale\
ność pomiędzy mocą i energią elektryczną w obwodzie
2t
-
2 2
Ä
Ä
Ä
Ä
uR uC e
2
PR = = = U0 Å"
R R R
"
2 2
U0 " - 2t U0 Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
WR = PR Å"dt = Å"
(8.5)
+" +"e dt = R Å" 2
R
0 0
1
2
(8.6)
Ä = R Å" C WR = Å"C Å"U0
Ä
Ä
Ä
2
Widzimy, \
e całkowita energia początkowa zgromadzona na
pojemności jest rozpraszana na rezystorze w postaci ciepła
Obwód rezystor  pojemność (RC) wraz
ze z
ródłem napięciowym U
R
duC
R Å"C Å" + uC = U
(8.7)
dt
iC
vR
Podstawmy za RC Ä
Ä
Ä
Ä
V
vC
i podzielmy to równanie przez Ä
Ä
Ä
Ä
C
duC 1 1
(8.8)
+ Å" uC = Å"U
dt Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Równanie (8.8) jest podobne do
di 1 U
(7.6)
+ Å" i =
równania (7.6) opisującego obwód RL
dt Ä L
Ä
Ä
Ä
Obwód rezystor  pojemność (RC) wraz
ze z
ródłem napięciowym U
Całkowite rozwiązanie jest sumą dwóch odpowiedzi: naturalnej i wymuszonej
t
Zale\
ność wykładnicza (8.9)
-
- naturalnej:
Ä
Ä
Ä
Ä
(8.9) jest rozwiązaniem równania
(uC ) = AÅ"e
n
(8.3)
duC 1
(8.3)
+ Å" uC = 0
dt Ä
Ä
Ä
Ä
- wymuszonej:
(uC ) = u(") = U
(8.10)
w
Ä = R Å" C
Ä
Ä
Ä
Stąd, ogólnym rozwiązaniem jest :
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
(8.11)
uC (t ) = uC (" ) + A Å" e
Obwód rezystor  pojemność (RC) wraz
ze z
ródłem napięciowym U
Do wyznaczenia stałej A napiszemy równanie (8.11) dla czasu t = 0
uC (0) = uC (" ) + A
a stÄ…d:
A = uC (0) - uC (" )
OstatniÄ… zale\
ność podstawimy do równania (8.11):
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
(8.12)
uC (t ) = uC (" ) + (uC (0) - uC (" ))Å" e
Obwód rezystor  pojemność (RC) wraz
ze z
ródłem napięciowym U
t
-
Ä
Ä
Ä
Ä
(8.12)
uC (t ) = uC (" ) + (uC (0) - vC (" ))Å" e
Podstawiając za uC(0)=U0 i za uC(")=U równanie (8.12) przyjmuje postać:
t
-
(8.13)
Ä
Ä
Ä
Ä
uC (t ) = U + (U - U )Å" e
0
Obwód rezystor  pojemność (RC) wraz
ze z
ródłem napięciowym U
vc("
")=v
"
"
Wykres zale\
ności (8.13) dla przypadku U>U0
Obwód rezystor  pojemność (RC) wraz
ze z
ródłem napięciowym U
Wykres zale\
ności (8.13) dla przypadku UPrąd iC(t) mo\
e być obliczony
u\
ywajÄ…c wyra\
enia:
duC (t)
(8.14)
iC (t) = C Å"
dt
vc("
")=v
"
"
PodstawiajÄ…c za uC(t) wyra\
enie (8.13) a za Ä=RC mamy :
t t
- -
1 U - U
0
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
(8.15)
iC (t ) = C (U - U )(- ) Å" e = Å" e
0
Ä R
Ä
Ä
Ä
Obwód rezystor  pojemność (RC) wraz
ze z
ródłem napięciowym U
StosujÄ…c II prawo Kirchhoffa mo\
emy zapisać:
t t
- -
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
(8.16)
uR = u- uC = U -(U + (U0 -U)Å"e = (U -U0)Å"e
A stosujÄ…c prawa Ohma mamy:
t
uR U -U0 -Ä (8.17)
Ä
Ä
Ä
iC = = Å"e
R R