1.Co to jest rząd dokładności metody numerycznej?
Dokładnośd metody numerycznej ocenia się porównując rozwiązanie uzyskane za pomocą danej metody z
rozwiązaniem uzyskanym za pomocą rozkładu w szereg Taylora. W związku z tym wprowadzono właśnie pojęcie rzędu
dokładności metody numerycznej.
Rząd dokładności metody numerycznej jest to potęga ostatniego wyrazu przy rozkładzie w szereg Taylora, któremu
odpowiada rozwiązanie uzyskane za pomocą danej metody.

2. W której metodzie rozwiązywania równao nieliniowych jest potrzebna funkcja i pochodna funkcji do obliczeo
W metodzie stycznych (Newtona).

𝑥

𝑘+1

= 𝑥

𝑘

−

𝑓(𝑥

𝑘

)

𝑓

′

(𝑥

𝑘

)

3.W wyniku jakiej OPERACJI powstaje NADMIAR?

Nadmiar może powstać w wyniku operacji, która ma zbyt dużą cechę. Np. w wyniku operacji f(a)*f(b)

4.Kiedy wielomian interpolacyjny jest równy wielomianowi aproksymującemu?
Wielomian aproksymacyjny jest równy interpolacyjnemu gdy jego stopieo jest równy liczbie węzłów minus jeden.

5.Oblicz iloraz różnicowy: punkty (1,2), (-1,2) (2,3)
Najpierw segregujemy punkty rosnąco wg X

x y

𝟐 − 𝟐

𝟏 − (−𝟏)

= 𝟎

𝟏 − 𝟎

𝟐 − (−𝟏)

=

𝟏
𝟑

-1 2

1 2

𝟑 − 𝟐
𝟐 − 𝟏

= 𝟏

2 3

6.Napisz macierz Vandermonde’a. Podane były punkty: (1,2),(2,3)(3,2)
x y

𝑽 =

𝟏 𝟏 𝟏

𝟏 𝟐 𝟒
𝟏 𝟑 𝟗

1 2
2 3
3 2

7. Czego dotyczy zagadnienie Cauchy’ego?
różniczkowania z określonymi warunkami początkowymi.

8.Metoda Gausa Seidela to
metoda przybliżona rozwiązywania równao liniowych.

9.Szereg Taylora dla cos(x), wypisad trzy pierwsze wyrazy
Wzór na szereg Taylora

𝒇

𝒊

𝒙

𝟎

𝒊!

∞

𝒊

(𝒙 − 𝒙

𝟎

)

𝒊

𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝟎

− 𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝟎

𝒙 − 𝒙

𝟎

−

𝟏
𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝟎

(𝒙 − 𝒙

𝟎

)

𝟐

10.QR – co jest Q a co R.
Q – macierz ortogonalna
R – nieosobliwa macierz górna trójkątna

11.Wykres, i jakie to zjawisko

Zjawisko Rungego – charakteryzujące się dużym błędem interpolacji przy koocach przedziału; jest typowe dla
interpolacji za pomocą wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów.

12. y=x

2

, h=1, przedział <-2,2> przedstawid graficznie metodę prostokątów

13.Jaką własnośd wykorzystujemy macierzy ortogonalnych by zrobid macierz odwrotną

Q

-1

= Q

T

14. Czy można uzyskad równanie ogólne metodami numerycznymi
nie można, ponieważ musza byd podstawione wartości, czyli będzie to równanie szczególne.

15. Norma euklidesowa

dodatnią 𝒙

𝟏

𝟐

+ ⋯ + 𝒙

𝒏

𝟐

16.Było równanie różniczkowe 2 rzędu i warunki początkowe y(1)=1 oraz y. (1)=1 Jak będzie wyglądał ukł. Równao dla
tego równania.

17.Warunek ortogonalności
Funkcje 𝜑 𝑥 i Ψ 𝑥 nazywa się ortogonalnymi na zbiorze punktów X = {x

0

,x

1

,…,x

n

} jeśli spełniony jest warunek:

𝝋 𝒙

𝒊

∗ 𝚿 𝒙

𝒊

= 𝟎

𝒏

𝒊=𝟎

Warunek ortogonalności macierzy:

𝑄

𝑇

∗ 𝑄 = 𝑄 ∗ 𝑄

𝑇

= 𝐼

𝑛

, gdzie I

n

oznacza macierz jednostkową wymiaru n.

Warunek ten mówi, że macierz jest ortogonalna gdy jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana.

18. Błąd bezwzględny
Różnica między wielkością rzeczywistą, a wielkością zmierzoną. Jeżeli mamy wielkośd mierzoną A, to błąd bezwzględny
pomiaru A wynosi:

∆ A = | A

zmierzone

– A

rzeczywiste

|

19. Jakie zagadnienie wykorzystasz, by uzyskad przybliżony wielomian o najmniejszym stopniu, którego wartości w
węzłach są takie same jak wartości przybliżanej funkcji?

Wykorzystam zagadnienie interpolacji gdyż wartości w węzłach muszą być takie same jak wartości przybliżanej
funkcji, w przypadku aproksymacji funkcja aproksymująca nie musi przechodzić przez węzły.

20. Jakie dane trzeba posiadad aby rozwiązad równanie różniczkowe drugiego rzędu ( było podane) :
a) zakres x
b) wartośd początkową dla 𝑦(0)
c) wartośd początkową dla 𝑦 (0)
d) krok

21. Metoda całkowania numerycznego Simpsona, to metoda wykorzystująca:
parabole.

22. Jak zmniejszy sie przedział poszukiwao w metodzie połowienia ?
połowicznie ;P

23. Metody rozwiązywania równao różniczkowych (podział):
1. Metody analityczne:
- rozwiązania ogólne
- rozwiązania szczególne
2. Metody numeryczne:
- rozwiązywania szczególne
3. Metody eksperymentalne
- rozwiązywania szczególne

24. Co jest wynikiem różniczkowania metodami numerycznymi?
zbiór punktów

25. Czy możliwy jest wykres aproksymacji 0 – rzędu?
Tak, wynikiem jest po prostu funkcja stała.