- 1 -
Operatorowe zależności między napięciem a prądem idealnych
elementów obwodu i ich modele operatorowe.
REZYSTOR
Przebiegi elektryczne napięcia i prądu rezystora o rezystancji R podle-
gają prawu Ohma
)
(
)
(
t
i
R
t
u
=
Po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a i wykorzystaniu twierdzenia o
liniowości tego przekształcenia otrzymujemy
)
(
)
(
s
I
R
s
U
=
(10.24)
R
U(s)
I(s)
Wzór (10.24) wyraża
prawo Ohma w postaci operatorowej
. Wynika
z niego, że model operatorowy rezystora jest charakteryzowany jego rezy-
stancją R.
CEWKA
Opis w dziedzinie
czasu
Opis w dziedzinie
operatorowej
Model operatorowy
dt
t
i
d
L
t
u
)
(
)
(
=
)
0
(
)
(
)
(
+
−
=
Li
s
sLI
s
U
(10.25)
sL
U(s)
I(s)
Li(0 )
+
∫
=
dt
t
u
L
t
i
)
(
1
)
(
s
i
sL
s
U
s
I
)
0
(
)
(
)
(
+
+
=
(10.26)
i(0 )
+
s
sL
U(s)
I(s)
- 2 -
KONDENSATOR
Opis w dziedzinie
czasu
Opis w dziedzinie
operatorowej
Model operatorowy
dt
t
u
d
C
t
i
)
(
)
(
=
)
0
(
)
(
)
(
+
−
=
Cu
s
sCU
s
I
(10.27)
Cu(0 )
+
sC
U(s)
I(s)
∫
=
dt
t
i
C
t
u
)
(
1
)
(
s
u
sC
s
I
s
U
)
0
(
)
(
)
(
+
+
=
(10.28)
U(s)
I(s)
u(0 )
+
s
sC
1
IDEALNE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA I PRĄDU
Idealne źródła napięcia i prądu w obwodzie elektrycznym charaktery-
zują napięcie źródłowe u
0
(t) lub natężenie prądu źródłowego i
Z
(t) - wielko-
ści niezależne od warunków pracy odpowiednich źródeł. W schemacie
operatorowym obwodu, źródła te są charakteryzowane transformatami:
napięcia źródłowego
[
]
)
(
)
(
0
0
t
u
s
U
L
=
(10.29)
natężenia prądu źródłowego
[
]
)
(
)
(
t
i
s
I
Z
Z
L
=
(10.30)
U (s)
0
u (t)
0
L
I (s)
Z
i (t)
Z
L
- 3 -
PRZYKŁAD 2
Rozpatrzmy gałąź pasywną zawierającą elementy R, L, C.
R
U (s)
R
I(s)
sL
U(s)
sC
1
L
Li (0 )
L
+
s
u (0 )
C
+
U (s)
L
U (s)
C
R
i(t)
u(t)
u (t)
C
u (t)
R
u (t)
L
)
s
(
U
)
s
(
U
)
s
(
U
)
s
(
U
C
L
R
+
+
=
s
)
0
(
u
)
s
(
I
C
s
1
)
0
(
i
L
)
s
(
I
sL
)
s
(
I
R
)
s
(
U
C
L
+
+
+
+
−
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
+
C
s
1
sL
R
)
s
(
I
s
)
0
(
u
)
0
(
i
L
)
s
(
U
C
L
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
+
+
+
+
+
+
s
)
0
(
u
)
0
(
i
L
)
s
(
Y
)
s
(
U
)
s
(
Y
)
s
(
Z
s
)
0
(
u
)
0
(
i
L
)
s
(
U
C
s
1
sL
R
s
)
0
(
u
)
0
(
i
L
)
s
(
U
)
s
(
I
C
L
C
L
C
L
gdzie:
C
s
1
sL
R
)
s
(
Z
+
+
=
impedancja operatorowa
)
s
(
Z
1
)
s
(
Y
=
admitancja operatorowa
- 4 -
10.5.4. METODY WYZNACZANIA
ORYGINAŁU FUNKCJI OPERATOROWEJ
W celu wyznaczenia funkcji czasu na podstawie danej transformaty
najczęściej korzysta się z metod wynikających z własności przekształcenia
Laplace’a.
METODA
RESIDUÓW
Funkcja operatorowa poszukiwanej odpowiedzi
R(s) jest, dla obwo-
dów klasy SLS, kombinacją liniową operatorowej funkcji wymuszającej
X(s) oraz parametrów obwodu, wyrażonych w konwencji operatorowej (R,
sL, 1/sC) a ponadto członów opisujących warunki początkowe {Li
L
(0
+
),
u
C
(0
+
)/
s}. Jeśli funkcja operatorowa wymuszenia jest funkcją wymierną
(dającą się wyrazić jako iloraz wielomianów zmiennej
s), to i funkcja ope-
ratorowa odpowiedzi jest funkcją wymierną.
Powyższe rozumowanie prowadzi do stwierdzenia, że w ogólnym
przypadku funkcję operatorową możemy wyrazić jako iloraz dwóch wie-
lomianów zmiennej
s
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
s
M
s
L
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
s
R
m
m
m
m
n
n
n
n
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
K
K
(10.31)
Równanie algebraiczne:
L(s)=0 posiada pierwiastki: s
1
0
,
s
2
0
...
s
n
0
, które nazywamy zerami
R(s)
M(s)=0 posiada pierwiastki: s
1
,
s
2
...
s
m
, które nazywamy biegunami
R(s)
R(s)
r(t)
Metoda residuów
Metoda tablicowa
- 5 -
Jeśli znamy zera i bieguny funkcji
R(s), to równanie (10.31) możemy
przedstawić w postaci
∏
∏
=
=
−
−
⋅
=
m
k
k
n
i
i
m
n
s
s
s
s
b
a
s
R
1
1
0
)
(
)
(
)
(
(10.32)
Z zapisu (10.32) wynika jednoznacznie, że zera i bieguny funkcji
R(s)
nie mogą się pokrywać. Przyjmujemy ponadto, że
n<m (stopień licznika
jest mniejszy niż mianownika).
Przy spełnieniu ww. warunków odwrotne przekształcenie Laplace’a
możemy przedstawić w postaci
[
]
[
]
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
1
t
e
s
R
res
s
R
t
r
t
s
m
k
s
s
k
⋅
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∑
=
=
−
L
(10.33)
to znaczy, że oryginał poszukiwanej funkcji
r(t) jest równy sumie residu-
ów funkcji podcałkowej (10.14) we wszystkich biegunach
s
k
operatorowej
funkcji odpowiedzi
R(s).
UWAGA:
Jeśli w wyrażeniu (10.32), w jego mianowniku wystąpią ele-
menty postaci
s
p
lub (
s-s
k
)
p
- oznacza to, że w punkcie 0 lub s
k
występuje biegun
p-krotny.
- 6 -
W przypadku biegunów wielokrotnych
(niech w punkcie
s=s
k
wy-
stępuje biegun
p-krotny) funkcji R(s) residuum funkcji R(s)e
st
obliczyć na-
leży z następującego wzoru
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
−
−
→
=
t
s
p
k
p
p
s
s
t
s
s
s
e
s
R
s
s
ds
d
p
e
s
R
res
k
k
)
(
)
(
lim
!
1
1
)
(
1
1
(10.34)
Przykład :
Rozpatrzymy wyznaczenie
L
-1
transformaty funkcji
)
5
(
)
3
(
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
R
Zadana funkcja ma jeden biegun 2-krotny s
1
=-3 i jeden pojedynczy s
2
=-5
Wykorzystując wzór (10.33), otrzymujemy
[
]
[
]
t
s
s
s
t
s
s
s
e
s
R
res
e
s
R
res
t
r
)
(
)
(
)
(
2
1
=
=
+
=
Następnie wykorzystujemy zależność (10.34) i uzyskujemy
(
)
[
]
[
]
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
1
4
1
4
1
2
1
3
5
1
5
3
1
5
3
1
3
1
lim
5
1
5
1
lim
3
1
lim
5
1
lim
5
3
1
5
lim
5
3
1
3
lim
)
(
)
5
(
lim
)
(
)
3
(
lim
!
1
2
1
)
(
5
3
3
5
2
3
2
3
2
5
2
3
2
5
3
2
5
2
2
3
5
2
3
t
e
e
e
t
e
e
e
t
e
s
e
s
e
s
t
e
s
e
s
s
d
d
e
s
s
s
e
s
s
s
s
d
d
e
s
R
s
e
s
R
s
s
d
d
t
r
t
t
t
t
t
t
t
s
s
t
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
=
+
−
+
+
−
−
+
−
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
=
+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
=
−
−
−
−
−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
- 7 -
W przypadku biegunów pojedynczych
(jednokrotnych) funkcji R(s)
residuum funkcji R(s)e
st
w biegunie s=s
k
możemy wyznaczyć z następują-
cego wzoru
[
]
[
]
t
s
k
s
s
t
s
s
s
e
s
R
s
s
e
s
R
res
k
k
)
(
)
(
lim
)
(
−
=
→
=
(10.35)
Przykład :
Rozpatrzymy wyznaczenie
L
-1
transformaty funkcji
)
2
)(
1
(
10
)
(
+
+
=
s
s
s
s
R
Zadana funkcja ma dwa bieguny s
1
=-1 i s
2
=-2
Wykorzystując wzór (10.33) otrzymujemy
[
]
[
]
t
s
s
s
t
s
s
s
e
s
R
res
e
s
R
res
t
r
)
(
)
(
)
(
2
1
=
=
+
=
Na podstawie wzoru (10.35) uzyskujemy
[
]
[
]
)
(
1
)
20
10
(
)
1
2
(
)
2
(
10
)
2
1
(
)
1
(
10
)
1
(
10
lim
)
2
(
10
lim
)
2
)(
1
(
10
)
2
(
lim
)
2
)(
1
(
10
)
1
(
lim
)
(
)
2
(
lim
)
(
)
1
(
lim
)
(
2
2
1
2
1
2
1
2
1
t
e
e
e
e
e
s
s
e
s
s
e
s
s
s
s
e
s
s
s
s
e
s
R
s
e
s
R
s
t
r
t
t
t
t
t
s
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
t
s
s
−
−
−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
+
−
=
=
+
−
−
⋅
+
+
−
−
⋅
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
=
+
+
+
=
- 8 -
UWAGA:
Jeśli funkcja R(s) ma wyłącznie bieguny proste i nie posiada bie-
guna w zerze
, bardzo wygodnym w stosowaniu przy obliczaniu oryginału
jest tzw. wzór Heaviside’a, który nosi nazwę
I-go twierdzenia o rozkładzie
)
(
1
)
(
'
)
(
)
(
1
t
e
s
M
s
L
t
r
t
s
m
k
k
k
k
⋅
=
∑
=
(10.36)
gdzie: L(s
k
) – wartość wielomianu L(s) dla s=s
k
M’(s
k
) – wartość pochodnej wielomianu M(s) dla s=s
k
Przykład :
Rozpatrzymy wyznaczenie
L
-1
transformaty funkcji
32
18
108
5
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
R
Zadana funkcja posiada bieguny s
1
=-2 oraz s
2
=-16
Pochodna wielomianu mianownika M’(s) = 2s+18
Po podstawieniu otrzymanych wartości do wzoru (10.36), wyznaczamy
)
(
1
)
2
7
(
18
)
16
(
2
108
)
16
(
5
18
)
2
(
2
108
)
2
(
5
)
(
16
2
16
2
t
e
e
e
e
t
r
t
t
t
t
−
−
−
−
−
=
=
+
−
+
−
+
+
−
+
−
=
- 9 -
Jeśli funkcja R(s) ma wyłącznie bieguny proste i posiada biegun
w zerze
, to można ją przedstawić w postaci
s
)
s
(
M
)
s
(
V
gdzie
)
s
(
V
)
s
(
L
)
s
(
R
=
=
(10.37)
przy czym stopień wielomianu V(s) wynosi m-1
Wówczas
)
(
1
)
(
'
)
(
)
(
1
)
0
(
)
0
(
)
(
1
t
e
s
V
s
s
L
t
V
L
t
r
t
s
m
k
k
k
k
k
⋅
+
⋅
=
∑
=
(10.38)
jest to tzw. II twierdzenie o rozkładzie
gdzie: L(0) – wartość wielomianu L(s) dla s=0
V(0) – wartość wielomianu V(s) dla s=0
V’(s
k
) – wartość pochodnej wielomianu V(s) dla s=s
k
s
k
(k=1,2, ... m-1) – niezerowe bieguny transformaty
Przykład :
Rozpatrzymy wyznaczenie
L
-1
transformaty funkcji
(
)
200
45
2100
)
(
2
+
+
=
s
s
s
s
R
Pierwiastki wielomianu V(s): s
1
=-5 oraz s
2
=-40
Pochodna wielomianu V’(s) = 2s+45
Ponieważ jednocześnie: L(0)=2100 , V(0)=200
to po podstawieniu obliczonych wartości do wzoru (10.38) wyznaczamy
( ) ( )
[
]
(
) (
)
[
]
)
(
1
)
5
,
1
12
5
,
10
(
45
40
2
40
2100
45
5
2
5
2100
200
2100
)
(
40
5
40
5
t
e
e
e
e
t
r
t
t
t
t
−
−
−
−
+
−
=
=
+
−
−
+
+
−
−
+
=
- 10 -
10.6. ANALIZA STANÓW NIEUSTALONYCH
W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH KLASY SLS
ZAŁOŻENIA
Przyjmijmy, że:
- dany jest obwód elektryczny w dziedzinie czasu, tzn. znana jest
jego struktura (schemat obwodu) oraz wartości parametrów;
- dane są funkcje wymuszające, np.: u
0K
(t), i
ZK
(t), tzn. dany jest
ich opis funkcyjny bądź wykres zmienności w czasie;
- dany
jest
jednoznacznie czas komutacji t
K
, np.: t
K
=0;
- opisany jest jednoznacznie stan energetyczny obwodu dla t
< t
K
10.6.1. ALGORYTM ANALIZY
Jeśli spełnione są wszystkie przedstawione powyżej założenia, wów-
czas metodyka postępowania w procesie analizy stanu nieustalonego z
wykorzystaniem rachunku operatorowego jest ciągiem uporządkowanych
następujących działań:
{
Ustalamy warunki początkowe (W.P.) w oparciu o znajomość stanu
obwodu dla t
< t
K
oraz praw komutacji;
|
Wyznaczamy na podstawie znajomości funkcji wymuszających
[u
0K
(t), i
ZK
(t)] ich postać operatorową [U
0K
(s), I
ZK
(s)];
}
Sporządzamy schemat operatorowy obwodu uwzględniając W.P.;
~
Dokonujemy analizy obwodu operatorowego (dowolną z poznanych
metod analizy) i wyznaczamy postać operatorową poszukiwanej bądź
poszukiwanych wielkości [R(s)];
Znajdujemy oryginał
poszukiwanej bądź poszukiwanych wielkości
[r(t)] i ewentualnie sporządzamy wykres zmienności tej wielkości.
- 11 -
10.6.2. OBWODY PIERWSZEGO RZĘDU
Rozpatrzymy stan nieustalo-
ny w obwodzie szeregowym RC.
W chwili t=0 otwarto wyłącznik
W. Wyznaczyć przebieg prądu,
jeżeli u(t)=U
0
=10V, R=100
Ω,
C=2mF.
C
w
R
U
0
t=0
u
C
(t)
i
(t)
{
Ustalamy warunki początkowe (W.P.) w oparciu o znajomość stanu
obwodu dla t
< t
K
oraz praw komutacji :
0
)
0
(
u
)
0
(
u
C
C
=
=
−
+
|
Wyznaczamy na podstawie znajomości funkcji wymuszającej jej postać
operatorową :
[
]
[ ]
s
U
U
)
t
(
u
)
s
(
U
0
0
=
=
=
L
L
}
Sporządzamy schemat opera-
torowy obwodu uwzględniając
W.P.
R
U (s)
R
I(s)
U(s)
sC
1
U (s)
C
~
Dokonujemy analizy obwodu operatorowego i wyznaczamy postać
operatorową poszukiwanej wielkości.
Zgodnie z prawem Ohma:
5
s
1
,
0
C
R
1
s
R
U
C
s
1
R
s
U
)
s
(
I
0
0
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
Znajdujemy oryginał
poszukiwanej wielkości.
Na podstawie tabeli (lp.5):
)
t
(
1
e
1
,
0
)
t
(
i
t
5
−
=
- 12 -
10.6.3. OBWODY DRUGIEGO RZĘDU
Najprostszym reprezentantem takich obwodów jest obwód szeregowy
RLC.
Załóżmy, że napięcie działa-
jące na zaciskach takiego obwodu
jest wymuszeniem napięciowym
opisanym funkcją stałą i przyczy-
nową u(t)=U1(t). Przyjmijmy, że
poszukujemy funkcji prądu i(t).
R
i(t)
u(t)=U1(t)
u (t)
C
u (t)
R
u (t)
L
{
Ustalamy warunki początkowe (W.P.) w oparciu o znajomość stanu
obwodu dla t
< t
K
oraz praw komutacji :
Warunki początkowe z uwagi na fakt, że dla t<0 U=0 możemy zgod-
nie z I i II prawem komutacji napisać
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
=
=
+
−
+
−
0
)
0
(
u
)
0
(
u
0
)
0
(
i
)
0
(
i
C
C
L
L
|
Wyznaczamy na podstawie znajomości funkcji wymuszającej jej postać
operatorową :
[
]
[ ]
s
U
U
)
t
(
u
)
s
(
U
0
0
=
=
=
L
L
}
Sporządzamy schemat operato-
rowy obwodu uwzględniając
W.P.
R
U (s)
R
I(s)
sL
U(s)
sC
1
U (s)
L
U (s)
C
- 13 -
~
Dokonujemy analizy obwodu operatorowego i wyznaczamy postać
operatorową poszukiwanej wielkości.
Prąd w obwodzie możemy wyznaczyć zgodnie z prawem Ohma
C
L
s
L
R
s
L
U
C
s
sL
R
s
U
s
Z
s
U
s
I
1
1
1
)
(
)
(
)
(
2
+
+
⋅
=
+
+
=
=
Znajdujemy oryginał
poszukiwanej wielkości.
Równanie opisujące prąd w obwodzie jest funkcją wymierną
)
(
)
(
)
(
s
M
s
L
L
U
s
I
⋅
=
W celu wyznaczenia transformaty odwrotnej należy obliczyć pier-
wiastki mianownika I(s), czyli
0
1
)
(
2
=
+
+
=
C
L
s
L
R
s
s
M
W wyniku rozwiązania powyższego równania otrzymujemy bieguny
operatorowej funkcji prądu
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
−
−
=
+
−
=
2
2
2
1
Δ
Δ
L
R
s
L
R
s
gdzie
LC
L
R
4
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Δ
(*)
jest wyróżnikiem M(s)
- 14 -
Możliwe są
trzy przypadki rozwiązania
:
A)
Δ
> 0
– dwa pierwiastki rzeczywiste M(s)
→ oznacza
dwa bieguny pojedyncze
I(s)
B)
Δ
= 0
– jeden pierwiastek podwójny M(s)
→ oznacza
jeden biegun dwukrotny
I(s)
C)
Δ
< 0
– dwa pierwiastki zespolone-sprzężone M(s)
→ oznacza
dwa bieguny zespolone-sprzężone
I(s)
Z zależności (*) wynika, że:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
<
<
=
=
>
>
C
L
2
R
gdy
0
C
L
2
R
gdy
0
C
L
2
R
gdy
0
Δ
Δ
Δ
Rozważymy teraz możliwe przypadki rozwiązania
- 15 -
Przypadek A
- APERIODYCZNY
Oba bieguny są rzeczywiste:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
LC
1
L
2
R
L
2
R
s
LC
1
L
2
R
L
2
R
s
2
2
2
1
przebieg czasowy prądu:
[
]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
LC
1
L
2
R
sh
e
LC
1
L
2
R
L
U
e
e
LC
1
L
2
R
L
2
U
)
t
(
i
2
t
L
2
R
2
t
s
t
s
2
A
2
1
Przypadek B
– APERIODYCZNY-KRYTYCZNY
Jeden biegun dwukrotny:
L
2
R
s
s
2
1
−
=
=
Przebieg czasowy prądu:
t
L
2
R
B
e
t
L
U
)
t
(
i
−
=
Przypadek C
– OCYLACYJNY
Dwa bieguny zespolone-sprzężone:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
2
2
2
1
L
2
R
LC
1
j
L
2
R
s
L
2
R
LC
1
j
L
2
R
s
Przebieg czasowy prądu:
2
2
2
1
)
sin(
)
(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
=
−
L
R
LC
gdzie
t
e
L
U
t
i
t
L
R
C
ω
ω
ω
- 16 -
i(t)
t
Oscylacyjny
Aperiodyczny-krytyczny
Aperiodyczny
Przebiegi czasowe wyznaczonych prądów
- 17 -
10.6.4. WNIOSKI
Na podstawie dotychczas omówionych przykładów jesteśmy w stanie
sformułować wnioski dotyczące zależności pomiędzy położeniem biegu-
na s
K
operatorowej funkcji odpowiedzi R(s) a jej funkcją czasu r(t).
Załóżmy, że wielomian mianownika M(s) funkcji operatorowej R(s)
nie posiada pierwiastków wielokrotnych a jedynie pojedyncze, np.:
BIEGUN
FUNKCJA CZASU
PRZYPORZĄDKOWANA
BIEGUNOWI
0
s
1
=
→
)
t
(
1
A
)
0
a
(
a
s
2
>
=
→
)
t
(
1
e
A
t
a
)
0
a
(
a
s
3
<
=
→
)
t
(
1
e
A
t
a
−
(
)
(
)
)
0
a
(
,
j
a
s
,
j
a
s
*
4
4
>
−
=
+
=
ω
ω
→
)
t
(
1
t
sin
e
A
t
a
ω
−
(
)
(
)
)
0
a
(
,
j
a
s
,
j
a
s
*
5
5
<
−
=
+
=
ω
ω
→
)
t
(
1
t
sin
e
A
t
a
ω
−
ω
ω
j
s
,
j
s
*
6
6
−
=
+
=
→
)
t
(
1
t
sin
A
ω
f(t)
t
f(t)
t
f(t)
t
f(t)
t
A
f(t)
A
t
f(t)
A
t
j
ω
σ
s
3
s
5
*
s
5
s
6
*
s
6
s
1
s
4
*
s
4
s
2
Zależność r(t) od biegunów R(s) na płaszczyźnie s
- 18 -
Tablica 1. Transformaty Laplace’a wybranych funkcji
lp.
f(t) F(s)
lp.
f(t) F(s)
1
1
s
1
13
(
)
t
a
e
t
a
1
−
−
(
)
2
a
s
s
+
2
a
s
a
14
t
sin
ω
2
2
s
ω
ω
+
3
t
2
s
1
15
t
cos
ω
2
2
s
s
ω
+
4
n
t
n
∈
N
1
n
s
!
n
+
16
t
sin
e
t
a
ω
−
2
2
2
)
s
(
ω
ω
ω
+
+
5
t
a
e
−
a
s
1
+
17
t
cos
e
t
a
ω
−
2
2
2
)
s
(
a
s
ω
ω
+
+
+
6
t
a
e
t
−
(
)
2
a
s
1
+
18
t
sin
t
ω
(
)
2
2
2
s
s
2
ω
ω
+
7
t
a
n
e
t
−
n
∈
N
(
)
1
n
a
s
!
n
+
+
19
t
cos
t
ω
(
)
2
2
2
2
2
s
s
ω
ω
+
−
8
τ
τ
t
e
1
−
τ
s
1
1
+
20
t
sh
β
2
2
s
β
β
−
9
(
)
t
a
e
1
a
1
−
−
(
)
a
s
s
1
+
21
t
ch
β
2
2
s
s
β
−
10
τ
t
e
1
−
−
(
)
τ
s
1
s
1
+
22
t
sh
e
t
a
β
−
(
)
2
2
a
s
β
β
−
+
11
a
b
e
e
t
b
t
a
−
−
−
−
(
)(
)
b
s
a
s
1
+
+
23
t
ch
e
t
a
β
−
(
)
2
2
a
s
a
s
β
−
+
+
12
b
a
e
b
e
a
t
b
t
a
−
−
−
−
(
)(
)
b
s
a
s
s
+
+
24
( )
t
δ
1
- 19 -
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
10.A Wykład OiSE
10 Wykład (15 12 2010)
3 Wyklad OiSE id 33284 Nieznany
10. Wykład z językoznawstwa ogólnego - 20.01.2015, Językoznawstwo ogólne
9 10 wykład
10 wykład XV
19 10 wykład etologia II
Wykład 10 2, Wykład 10
socjologiczneaaspekty problemow spolecznych, SAPS 10, WYKŁAD 11 (29
10 wyklad 05 2013
Wyklad 10, Wykład 10
Wyklad 10, Wykład 10
8 B Wykład OiSE
10 wyklad
8.A Wykład OiSE
10 wyklad inflacja WIGE dzienne Nieznany (2)
10 A Wykład OiSEid 10783
więcej podobnych podstron