- 1 -

8.3. CHARAKTERYSTYKI CZ

Ę

STOTLIWO

Ś

CIOWE

UKŁADÓW SLS

Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależnymi

od układu (jego struktury i wartości elementów) oraz od pulsacji (często-
tliwości) sygnału wymuszającego.

Dla układu liniowego, będącego w stanie ustalonym, badanego przy

przebiegach harmonicznych dla określonej pulsacji słuszna jest zależność:

F

R

j

j

m

m

e

F

e

R

F

R

K

ψ

ψ

2

2

=

=

(

)

F

R

j

e

F

R

ψ

ψ

−

=

(8.9)

Θ

j

e

K

=

Charakterystykami częstotliwościowymi układu SLS nazywamy

zależność transmitancji lub immitancji układu

od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

Θ

jQ

P

e

K

K

j

+

=

=

)

0

(

∞

÷

∈

ω

(8.10)

gdzie: K(

ω

) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(

ω

) - częstotliwościowa

charakterystyka amplitudowa

Θ

(

ω

) - częstotliwościowa

charakterystyka fazowa

P(

ω

) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej

transmitancji

Q(

ω

) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej

transmitancji

moduł transmitancji K

określony jest stosunkiem wartości
skutecznych odpowiedzi do wymu-
szenia

argument transmitancji

Θ

Θ

Θ

Θ

wyraża kąt przesunięcia fazowego od-
powiedzi w odniesieniu do wymuszenia

- 2 -

WYKRESY WYBRANYCH CHARAKTERYSTYK

na przykładzie układu RC (FD)

R

C

U

1

U

2

Zakładamy, że na WE układu podajemy napięcie

t

U

t

u

m

ω

sin

)

(

1

1

=

.

Wyznaczamy U

2

w stanie ustalonym, posługując się rach. symbolicznym:

1

2

1

1

U

C

j

R

C

j

U

ω

ω

+

=

Wobec tego transmitancja napięciowa dla rozpatrywanego układu wy-

niesie:

RC

j

C

j

R

C

j

U

U

C

j

R

C

j

U

U

K

u

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

+

=

+

=

=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

Czyli:

( )

RC

j

K

u

ω

ω

+

=

1

1

(8.11)

lub

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

C

R

RC

j

C

R

C

R

RC

j

RC

j

RC

j

RC

j

K

u

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

−

+

=

+

−

=

−

−

⋅

+

=

Zatem:

( )

( )

2

2

2

2

2

2

1

,

1

1

C

R

RC

Q

C

R

P

ω

ω

ω

ω

ω

+

−

=

+

=

(8.12)

- 3 -

Co oznacza, że:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

)

1

(

)

1

(

1

)

(

)

(

)

(

C

R

C

R

C

R

C

R

Q

P

K

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

+

+

+

=

+

=

zależność modułu transmitancji od pulsacji

opisuje równanie:

2

2

2

1

1

)

(

C

R

K

ω

ω

+

=

(8.13)

Natomiast













+

⋅

+

−

=

=

1

1

1

)

(

2

2

2

2

2

2

C

R

C

R

RC

arctg

P

Q

arctg

ω

ω

ω

ω

Θ

zależność argumentu transmitancji od pulsacji

opisuje równanie:

RC

arctg

ω

ω

Θ

−

=

)

(

(8.14)

ω

K( )

ω

1

0,707

ω

Θ ω

( )

−π

/2

−π

/4

ω

g

ω

g

ω

g

=1/RC

Im[ ( )]

K

ω

Re[

]

K( )

ω

ω=0

ω=

8

0,5

K

Θ

P

Q

- 4 -

WSPÓŁRZĘDNE WZGLĘDNE I LOGARYTMICZNE
CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH

Charakterystyki częstotliwościowe podaje się na ogół, z uwagi na ich:

czytelność, wygodę posługiwania się lub uwypuklenie pewnych cech - we
współrzędnych względnych i/lub we współrzędnych logarytmicznych.

Charakterystyki o współrzędnych logarytmicznych nazywamy charak-

terystykami logarytmicznymi.

Jako współrzędne względne dla modułu transmitancji (immitancji)

przyjmuje się na ogół stosunek wartości wymienionych wielkości do pew-
nej wartości charakterystycznej, np. maksymalnej. Mówimy wówczas o
charakterystyce względnej:

)

(

)

(

)

(

lub

)

(

)

(

0

max

ω

ω

ω

ω

ω

K

K

K

K

K

K

=

=

(8.15)

Jako współrzędne względne (unormowane) dla pulsacji

ω

(lub często-

tliwości f) przyjmuje się:

•

pulsację względną

ω

/

ω

0

•

odstrojenie bezwzględne

∆ω

=

ω

-

ω

0

•

odstrojenie względne

ξ

=(

ω

-

ω

0

)/

ω

0

gdzie:

ω

0

– jest charakterystyczną pulsacją dla układu.

Jako współrzędne logarytmiczne pulsacji (częstotliwości) przyjmuje

się najczęściej logarytm dziesiętny pulsacji lub pulsacji względnej:

ω

lg

=

d

x

(8.16a)













=

0

lg

ω

ω

d

x

(8.16b)

- 5 -

mówimy wówczas o dekadowej skali częstotliwości, której charaktery-
styczną cechą jest stała długość odcinka odpowiadającego zmianie o jedną
dekadę częstotliwości.

-1

0

1

2

3

10

-1

1

10

1

10

2

10

3

lgf

f[Hz]

-1

0

1

2

3

10

-1

1

10

1

10

2

10

3

lg(f/f)

0

f/f

0

Skale dekadowe

Jako współrzędne logarytmiczne dla modułu transmitancji (immitan-

cji) przyjmuje się moduł transmitancji wyrażony w decybelach zgodnie ze
wzorem

)

(

lg

20

)

(

ω

ω

K

K

dB

=

(8.17a)

lub













=













0

0

lg

20

ω

ω

ω

ω

K

K

dB

(8.17b)

Niektóre wartości w decybelach

)

(

ω

K

N

−

10

0,1

2

1

1

2

10

N

10

)

(

lg

20

ω

K

[dB]

N

20

−

-20

-3

0

3

20

N

20

- 6 -

CHARAKTERYSTYK ASYMPTOTYCZNE

W wielu zagadnieniach praktycznych wygodnie jest posługiwać się

przybliżoną postacią ch-styk częstotliwościowych układu. Istota tego
przybliżenia polega na zastąpieniu dokładnego wykresu ch-styki częstotli-
wościowej jej przebiegiem przybliżonym w postaci odpowiednio dobranej
linii łamanej. Tego typu przybliżenie stosuje się głównie do ch-styk ampli-
tudowych.

Przybliżone charakterystyki o postaci linii łamanych są nazywane

charakterystykami asymptotycznymi lub charakterystykami Bodego.

Załóżmy, że rozpatrujemy układ o charakterystyce amplitudowo-

fazowej postaci:

K

K

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

M

M

L

L

j

j

j

j

e

M

e

M

e

L

e

L

M

L

K

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

ω

ω

ω

=

=

(8.18)

gdzie czynniki

( )

ω

i

L

oraz

( )

ω

i

M

są wielomianami o współczynnikach

rzeczywistych stopnia pierwszego lub drugiego.

Pamiętając, że:

( )

( )

( )

ω

Θ

ω

ω

j

e

K

K

=

możemy zapisać:

K

K

2

1

2

1

)

(

M

M

L

L

K

=

ω

(8.19)

lub

( )

( )

∑

∑

−

=

i

i

i

i

M

L

K

lg

lg

)

(

lg

ω

(8.20)

Zatem logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wyrażona w mierze
decybelowej) opisana jest wyrażeniem:

( )

( )













−

=

=

∑

∑

i

i

i

i

dB

M

L

K

K

lg

lg

20

)

(

lg

20

)

(

ω

ω

(8.21)

- 7 -

na przykładzie układu RC (FD)

( )

RC

j

K

ω

ω

+

=

1

1

Zal. (8.18)















+

=





























=















g

g

g

g

j

M

L

K

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

1

1

gdzie

RC

g

1

=

ω

Zal. (8.19)

2

1

1















+

=















g

g

K

ω

ω

ω

ω

Zal. (8.21)

2

2

1

lg

20

1

1

lg

20















+

−

=















+

=















g

g

g

dB

K

ω

ω

ω

ω

ω

ω

(8.22)

Uwzględniając przy tym następujące, oczywiste przybliżenia:

,

1

<<

g

ω

ω

,

1

1

2

≅















+

g

ω

ω

0

≅















g

K

ω

ω

(8.23a)

,

1

>>

g

ω

ω

,

1

2

g

g

ω

ω

ω

ω

≅















+















−

≅















g

g

K

ω

ω

ω

ω

lg

20

(8.23b)

Dla

ω

/

ω

g

<<1 oraz dla

ω

/

ω

g

>>1 rzeczywistą ch-stykę amplitudową

można dobrze aproksymować, zastępując ją półprostymi określonymi
wzorami (8.23a) i (8.23b). Doprowadzając te półproste do punktu ich
przecięcia

ω

/

ω

g

=1 otrzymamy ch-stykę aproksymującą tj. charakterystykę

asymptotyczną odpowiadającą wyrażeniu (8.22).

- 8 -

ω

K(

)

ω/ω

g

ω

g

[dB]

-20

-40

0

0,1

1

10

100

-3

PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW

Dla charakterystyk częstotliwościowych układu przyjmuje się na ogół

takie parametry jak:

•

częstotliwość graniczna

- częstotliwość przy której moduł trans-

mitancji maleje o 3 dB od wartości no-
minalnej dla której umownie przyjęto
poziom 0dB.

•

pasmo przenoszenia

- zakres częstotliwości, w którym moduł

transmitancji maleje nie więcej niż o
3 dB od wartości nominalnej, a jest to
zakres częstotliwości zawarty między
częstotliwościami granicznymi. Miarą
pasma przenoszenia S

P

jest

d

g

P

f

f

S

−

=

- 9 -

•

selektywność układu

- zdolność rozdziału częstotliwościowego

przenoszonych sygnałów. Miarą selek-
tywności jest współczynnik prostokąt-
ności

)

20

(

)

3

(

dB

S

dB

S

p

P

P

=

•

nachylenie charakterystyki

- określa się liczbą decybeli wyraża-

jącą zmianę modułu transmitancji
układu na dekadę w zadanym za-
kresie częstotliwości

2

1

2

1

/

lg

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

dB

dB

dek

dB

K

K

N

−

=

KLASYFIKACJA UKŁADÓW

Ze względu na zdefiniowane pasma przepuszczania (zaporowe), moż-

na przedstawić następującą klasyfikację układów:

•

wąskopasmowy

S

P

<<

f

s

•

szerokopasmowy

S

P

=f

s

lub S

P

>

f

s

•

dolnoprzepustowy

f

g1

=0 f

g2

<

∞

•

górnoprzepustowy

f

g1

>

0

f

g2

=

∞

•

ś

rodkowoprzepustowy

f

g1

>

0

f

g2

<

∞

•

ś

rodkowozaporowy

f

∉

(f

g1

, f

g2

)

∧

f

g1

>

0

∧

f

g2

<

∞