- 1 -
8.3. CHARAKTERYSTYKI CZ
Ę
STOTLIWO
Ś
CIOWE
UKŁADÓW SLS
Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależnymi
od układu (jego struktury i wartości elementów) oraz od pulsacji (często-
tliwości) sygnału wymuszającego.
Dla układu liniowego, będącego w stanie ustalonym, badanego przy
przebiegach harmonicznych dla określonej pulsacji słuszna jest zależność:
F
R
j
j
m
m
e
F
e
R
F
R
K
ψ
ψ
2
2
=
=
(
)
F
R
j
e
F
R
ψ
ψ
−
=
(8.9)
Θ
j
e
K
=
Charakterystykami częstotliwościowymi układu SLS nazywamy
zależność transmitancji lub immitancji układu
od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
Θ
jQ
P
e
K
K
j
+
=
=
)
0
(
∞
÷
∈
ω
(8.10)
gdzie: K(
ω
) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
K(
ω
) - częstotliwościowa
charakterystyka amplitudowa
Θ
(
ω
) - częstotliwościowa
charakterystyka fazowa
P(
ω
) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej
transmitancji
Q(
ω
) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej
transmitancji
moduł transmitancji K
określony jest stosunkiem wartości
skutecznych odpowiedzi do wymu-
szenia
argument transmitancji
Θ
Θ
Θ
Θ
wyraża kąt przesunięcia fazowego od-
powiedzi w odniesieniu do wymuszenia
- 2 -
WYKRESY WYBRANYCH CHARAKTERYSTYK
na przykładzie układu RC (FD)
R
C
U
1
U
2
Zakładamy, że na WE układu podajemy napięcie
t
U
t
u
m
ω
sin
)
(
1
1
=
.
Wyznaczamy U
2
w stanie ustalonym, posługując się rach. symbolicznym:
1
2
1
1
U
C
j
R
C
j
U
ω
ω
+
=
Wobec tego transmitancja napięciowa dla rozpatrywanego układu wy-
niesie:
RC
j
C
j
R
C
j
U
U
C
j
R
C
j
U
U
K
u
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
=
+
=
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
Czyli:
( )
RC
j
K
u
ω
ω
+
=
1
1
(8.11)
lub
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
R
RC
j
C
R
C
R
RC
j
RC
j
RC
j
RC
j
K
u
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
+
=
+
−
=
−
−
⋅
+
=
Zatem:
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
,
1
1
C
R
RC
Q
C
R
P
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
=
(8.12)
- 3 -
Co oznacza, że:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
)
1
(
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
C
R
C
R
C
R
C
R
Q
P
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
+
+
=
+
=
zależność modułu transmitancji od pulsacji
opisuje równanie:
2
2
2
1
1
)
(
C
R
K
ω
ω
+
=
(8.13)
Natomiast
+
⋅
+
−
=
=
1
1
1
)
(
2
2
2
2
2
2
C
R
C
R
RC
arctg
P
Q
arctg
ω
ω
ω
ω
Θ
zależność argumentu transmitancji od pulsacji
opisuje równanie:
RC
arctg
ω
ω
Θ
−
=
)
(
(8.14)
ω
K( )
ω
1
0,707
ω
Θ ω
( )
−π
/2
−π
/4
ω
g
ω
g
ω
g
=1/RC
Im[ ( )]
K
ω
Re[
]
K( )
ω
ω=0
ω=
8
0,5
K
Θ
P
Q
- 4 -
WSPÓŁRZĘDNE WZGLĘDNE I LOGARYTMICZNE
CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH
Charakterystyki częstotliwościowe podaje się na ogół, z uwagi na ich:
czytelność, wygodę posługiwania się lub uwypuklenie pewnych cech - we
współrzędnych względnych i/lub we współrzędnych logarytmicznych.
Charakterystyki o współrzędnych logarytmicznych nazywamy charak-
terystykami logarytmicznymi.
Jako współrzędne względne dla modułu transmitancji (immitancji)
przyjmuje się na ogół stosunek wartości wymienionych wielkości do pew-
nej wartości charakterystycznej, np. maksymalnej. Mówimy wówczas o
charakterystyce względnej:
)
(
)
(
)
(
lub
)
(
)
(
0
max
ω
ω
ω
ω
ω
K
K
K
K
K
K
=
=
(8.15)
Jako współrzędne względne (unormowane) dla pulsacji
ω
(lub często-
tliwości f) przyjmuje się:
•
pulsację względną
ω
/
ω
0
•
odstrojenie bezwzględne
∆ω
=
ω
-
ω
0
•
odstrojenie względne
ξ
=(
ω
-
ω
0
)/
ω
0
gdzie:
ω
0
– jest charakterystyczną pulsacją dla układu.
Jako współrzędne logarytmiczne pulsacji (częstotliwości) przyjmuje
się najczęściej logarytm dziesiętny pulsacji lub pulsacji względnej:
ω
lg
=
d
x
(8.16a)
=
0
lg
ω
ω
d
x
(8.16b)
- 5 -
mówimy wówczas o dekadowej skali częstotliwości, której charaktery-
styczną cechą jest stała długość odcinka odpowiadającego zmianie o jedną
dekadę częstotliwości.
-1
0
1
2
3
10
-1
1
10
1
10
2
10
3
lgf
f[Hz]
-1
0
1
2
3
10
-1
1
10
1
10
2
10
3
lg(f/f)
0
f/f
0
Skale dekadowe
Jako współrzędne logarytmiczne dla modułu transmitancji (immitan-
cji) przyjmuje się moduł transmitancji wyrażony w decybelach zgodnie ze
wzorem
)
(
lg
20
)
(
ω
ω
K
K
dB
=
(8.17a)
lub
=
0
0
lg
20
ω
ω
ω
ω
K
K
dB
(8.17b)
Niektóre wartości w decybelach
)
(
ω
K
N
−
10
0,1
2
1
1
2
10
N
10
)
(
lg
20
ω
K
[dB]
N
20
−
-20
-3
0
3
20
N
20
- 6 -
CHARAKTERYSTYK ASYMPTOTYCZNE
W wielu zagadnieniach praktycznych wygodnie jest posługiwać się
przybliżoną postacią ch-styk częstotliwościowych układu. Istota tego
przybliżenia polega na zastąpieniu dokładnego wykresu ch-styki częstotli-
wościowej jej przebiegiem przybliżonym w postaci odpowiednio dobranej
linii łamanej. Tego typu przybliżenie stosuje się głównie do ch-styk ampli-
tudowych.
Przybliżone charakterystyki o postaci linii łamanych są nazywane
charakterystykami asymptotycznymi lub charakterystykami Bodego.
Załóżmy, że rozpatrujemy układ o charakterystyce amplitudowo-
fazowej postaci:
K
K
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
M
M
L
L
j
j
j
j
e
M
e
M
e
L
e
L
M
L
K
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
ω
ω
ω
=
=
(8.18)
gdzie czynniki
( )
ω
i
L
oraz
( )
ω
i
M
są wielomianami o współczynnikach
rzeczywistych stopnia pierwszego lub drugiego.
Pamiętając, że:
( )
( )
( )
ω
Θ
ω
ω
j
e
K
K
=
możemy zapisać:
K
K
2
1
2
1
)
(
M
M
L
L
K
=
ω
(8.19)
lub
( )
( )
∑
∑
−
=
i
i
i
i
M
L
K
lg
lg
)
(
lg
ω
(8.20)
Zatem logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wyrażona w mierze
decybelowej) opisana jest wyrażeniem:
( )
( )
−
=
=
∑
∑
i
i
i
i
dB
M
L
K
K
lg
lg
20
)
(
lg
20
)
(
ω
ω
(8.21)
- 7 -
na przykładzie układu RC (FD)
( )
RC
j
K
ω
ω
+
=
1
1
Zal. (8.18)
+
=
=
g
g
g
g
j
M
L
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
1
1
gdzie
RC
g
1
=
ω
Zal. (8.19)
2
1
1
+
=
g
g
K
ω
ω
ω
ω
Zal. (8.21)
2
2
1
lg
20
1
1
lg
20
+
−
=
+
=
g
g
g
dB
K
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(8.22)
Uwzględniając przy tym następujące, oczywiste przybliżenia:
,
1
<<
g
ω
ω
,
1
1
2
≅
+
g
ω
ω
0
≅
g
K
ω
ω
(8.23a)
,
1
>>
g
ω
ω
,
1
2
g
g
ω
ω
ω
ω
≅
+
−
≅
g
g
K
ω
ω
ω
ω
lg
20
(8.23b)
Dla
ω
/
ω
g
<<1 oraz dla
ω
/
ω
g
>>1 rzeczywistą ch-stykę amplitudową
można dobrze aproksymować, zastępując ją półprostymi określonymi
wzorami (8.23a) i (8.23b). Doprowadzając te półproste do punktu ich
przecięcia
ω
/
ω
g
=1 otrzymamy ch-stykę aproksymującą tj. charakterystykę
asymptotyczną odpowiadającą wyrażeniu (8.22).
- 8 -
ω
K(
)
ω/ω
g
ω
g
[dB]
-20
-40
0
0,1
1
10
100
-3
PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW
Dla charakterystyk częstotliwościowych układu przyjmuje się na ogół
takie parametry jak:
•
częstotliwość graniczna
- częstotliwość przy której moduł trans-
mitancji maleje o 3 dB od wartości no-
minalnej dla której umownie przyjęto
poziom 0dB.
•
pasmo przenoszenia
- zakres częstotliwości, w którym moduł
transmitancji maleje nie więcej niż o
3 dB od wartości nominalnej, a jest to
zakres częstotliwości zawarty między
częstotliwościami granicznymi. Miarą
pasma przenoszenia S
P
jest
d
g
P
f
f
S
−
=
- 9 -
•
selektywność układu
- zdolność rozdziału częstotliwościowego
przenoszonych sygnałów. Miarą selek-
tywności jest współczynnik prostokąt-
ności
)
20
(
)
3
(
dB
S
dB
S
p
P
P
=
•
nachylenie charakterystyki
- określa się liczbą decybeli wyraża-
jącą zmianę modułu transmitancji
układu na dekadę w zadanym za-
kresie częstotliwości
2
1
2
1
/
lg
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
dB
dB
dek
dB
K
K
N
−
=
KLASYFIKACJA UKŁADÓW
Ze względu na zdefiniowane pasma przepuszczania (zaporowe), moż-
na przedstawić następującą klasyfikację układów:
•
wąskopasmowy
S
P
<<
f
s
•
szerokopasmowy
S
P
=f
s
lub S
P
>
f
s
•
dolnoprzepustowy
f
g1
=0 f
g2
<
∞
•
górnoprzepustowy
f
g1
>
0
f
g2
=
∞
•
ś
rodkowoprzepustowy
f
g1
>
0
f
g2
<
∞
•
ś
rodkowozaporowy
f
∉
(f
g1
, f
g2
)
∧
f
g1
>
0
∧
f
g2
<
∞