- 1 -

5. OBWODY PR

Ą

DU HARMONICZNEGO

5.1. SYGNAŁY HARMONICZNE

W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały

harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak

(

)

t

t

ω

π

ω

cos

2

sin

=

+

,

nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).

Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg

jest sinusoidalną funkcją czasu

Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:

( )

(

)

u

m

t

U

t

u

Ψ

ω

+

=

sin

(5.1)

0

u

Ψ

u t

( )

U

m

T/2

T

π

2π

t

ω

t

W czasie odpowia-
dającym

jednemu

okresowi faza na-
pięcia zmienia się o
2

π

, tzn.

π

ω

2

=

T

.

Na rys. na osi od-
ciętych oznaczono
skalę czasu i skalę
kątową.

gdzie: u(t)

- wartość chwilowa napięcia;

U

m

- wartość maksymalna napięcia (nazywana amplitudą);

u

Ψ

- początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w

chwili t = 0;

u

t

Ψ

ω

+

- kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;

ω

=2

π

f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;

f =1/T

- częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością

okresu.

- 2 -

Wartość średnia (półokresowa) napięcia sinusoidalnego wynosi

( )

m

m

T

m

T

ś

r

U

U

dt

t

U

T

dt

t

u

T

U

637

,

0

2

sin

2

2

2

/

0

2

/

0

≈

=

=

=

∫

∫

π

ω

(5.2)

Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego jest równa

( )

m

m

T

m

T

U

U

dt

t

U

T

dt

t

u

T

U

707

,

0

2

sin

1

1

0

2

2

0

2

≈

=

=

=

∫

∫

ω

(5.3)

Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy przed-
stawić jako

( )

(

)

(

)

u

u

m

t

U

t

U

t

u

Ψ

ω

Ψ

ω

+

=

+

=

sin

2

sin

(5.4)

- 3 -

5.2. SYGNAŁ WYKŁADNICZY

Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ

•

każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażony

w postaci sumy funkcji wykładniczych;

•

w przypadku obwodów liniowych odpowiedź obwodu na wymu-
szenie wykładnicze jest także wykładnicza.

Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:

(

)

+∞

∞

−

∈

=

,

)

(

t

e

A

t

x

t

s

dla

(5.5)

Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony

ω

σ

j

s

+

=

(5.6)

a zatem

(

)

t

j

t

t

j

e

e

A

e

A

t

x

ω

σ

ω

σ

=

=

+

)

(

(5.7)

Rozpatrzmy szczególne przypadki w zależności od wartości s.

1.

Jeżeli s jest liczbą rzeczywistą (tzn.

ω

= 0) wtedy

t

e

A

t

x

σ

=

)

(

i ma charakter zależny od wartości

σ

a)

gdy

σ

< 0, sygnał x(t) ma charakter

monotonicznie malejącej funkcji
czasu;

b)

gdy

σ

= 0, sygnał x(t) jest sygnałem

stałym o wartości A;

c)

gdy

σ

> 0, sygnał x(t) ma charakter

monotonicznie

rosnącej

funkcji

czasu.

0

x t

( )

t

A

σ

0

>

σ

0

<

σ

= 0

- 4 -

2. Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn.

σ

=0) wtedy

t

j

e

A

t

x

ω

=

)

(

sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyźnie zmiennej ze-
spolonej za pomocą tzw.

wektora wirującego

obracającego się z prędkością kątową

ω

w kierunku przeciwnym do ruchu wska-
zówek zegara. Położenie tego wektora na
płaszczyźnie w danej chwili t określone
jest za pomocą kąta

ω

t.

Czynnik

t

j

e

ω

spełnia rolę

operatora

obrotu,

natomiast

A

jest

modułem wektora.

0

t

= 0

A

ω

t

ω

A

e

j

t

ω

Re

Im

Uwzględniając wzór Eulera

t

j

t

e

j

ω

ω

ω

sin

cos

+

=

(5.8)

można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych

( )

t

A

j

t

A

e

A

t

x

j

ω

ω

ω

sin

cos

+

=

=

(5.9)

Część rzeczywista wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze
cosinusoidalnym

[

]

t

A

e

A

t

j

ω

ω

cos

Re

=

(5.10)

Część urojona wektora wirującego przedstawia sygnał o charakterze sinu-
soidalnym

[

]

t

A

e

A

t

j

ω

ω

sin

Im

=

(5.11)

Wynika stąd, że najczęściej spotykane przebiegi wielkości elektrycznych
stanowią szczególne przypadki sygnału o charakterze wykładniczym.

- 5 -

5.3. OPIS SYMBOLICZNY SYGNAŁU HARMONICZNEGO

Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia (5.1):

( )

(

)

u

m

t

U

t

u

Ψ

ω

+

=

sin

Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyźnie zmiennej

zespolonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym przedstawia rys.

0

ω

Re

Im

0

u

Ψ

u t

( )

U

m

T

t

ω

t

U

m

u

Ψ

u(0)

u(0)

Wartość chwilowa napięcia w chwili t = 0 wynosi

( )

u

m

U

u

Ψ

sin

0

=

(5.12)

W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie U

m

jest nachylony względem

osi liczb rzeczywistych pod kątem

u

Ψ

. Rzut tego wektora na oś liczb uro-

jonych wynosi u(0), czyli

warto

ść chwilowa sygnału sinusoidalnego jest

równa rzutowi wektora wiruj

ącego na oś liczb urojonych.

Analitycznie można to ująć, zgodnie z zależnością (5.11), następująco:
dla każdej chwili t

( )

(

)

(

)

[

]

( )

[ ]

t

u

e

U

t

U

t

u

u

t

j

m

u

m

Im

Im

sin

=

=

+

=

+

Ψ

ω

Ψ

ω

(5.13)

- 6 -

Sygnał sinusoidalny:

( )

(

)

(

)

u

u

m

t

U

t

U

t

u

Ψ

ω

Ψ

ω

+

=

+

=

sin

2

sin

posiada nast

ępującą

POSTA

Ć SYMBOLICZNĄ (symboliczną wartość chwilową):

(

)

t

j

j

t

j

j

m

t

j

m

e

e

U

e

e

U

e

U

t

u

u

u

u

ω

Ψ

ω

Ψ

Ψ

ω

3

2

1

4

3

4

2

1

2

)

(

=

=

=

+

(5.14)

Czyli:

(

)

t

j

t

j

m

t

j

m

e

U

e

U

e

U

t

u

u

ω

ω

Ψ

ω

2

)

(

=

=

=

+

(5.15)

UWAGI:

•

( ) ( )

( ) ( )

t

u

t

u

t

u

t

u

=

≠

ˆ

ć

o

ś

odpowiedni

tylko

ć

równo

ś

zachodzi

nie

•

natomiast:

( ) ( )

( )

( )

[ ]

t

u

j

t

u

t

u

t

u

Im

2

*

=

−

=

(5.16)

•

Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala
traktowa

ć je jako przebiegi wykładnicze.

(rzeczywista)

wartość chwilowa

amplituda

(wartość max.)

wartość skuteczna

U

m

U

symboliczna amplituda

/postać zespolona amplitudy/

/wskaz amplitudy/

symboliczna wartość skuteczna

/wskaz wartości skutecznej/

- 7 -

LICZBY ZESPOLONE

Postać algebraiczna:

jb

a

r

+

=

Postać trygonometryczna:

)

sin

(cos

ϕ

ϕ

j

r

r

+

=

Postać wykładnicza:

ϕ

j

e

r

r

=

Moduł:

2

2

b

a

r

+

=

Argument:













=

r

a

arc cos

ϕ

,













=

r

b

arcsin

ϕ

lub, gdy

































−

=

=<

=

=













=

>

a

b

tg

arc

b

sign

to

a

b

sign

to

a

a

b

tg

arc

to

a

π

ϕ

π

ϕ

ϕ

0

2

0

0