8.3. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

UKŁADÓW SLS

Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależnymi od układu (jego struktury i wartości elementów) oraz od pulsacji (częstotliwości) sygnału wymuszającego.

Dla układu liniowego, będącego w stanie ustalonym, badanego przy przebiegach harmonicznych dla określonej pulsacji słuszna jest zależność: jψ R

m

R

2 R e

R

j (ψ

ψ

−

R

F )

K =

=

=

e

(8.9)

jψ F

m

F

2 F e

F

j Θ

= K e

moduł transmitancji K

argument transmitancji Θ

określony jest stosunkiem wartości

wyraża kąt przesunięcia fazowego od-

skutecznych odpowiedzi do wymu-

powiedzi w odniesieniu do wymuszenia

szenia

Charakterystykami częstotliwościowymi układu SLS nazywamy zależność transmitancji lub immitancji układu od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.

Θ

j ( )

K (ω

ω

) = K (ω) e

= P(ω) + jQ(ω)

ω ∈ (0 ÷ ∞) (8.10)

gdzie: K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa

Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa

P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji

Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji

- 1 -

WYKRESY WYBRANYCH CHARAKTERYSTYK

na przykładzie układu RC (FD)

R

U

U

1

C

2

Zakładamy, że na WE układu podajemy napięcie u t ( ) = U

sin t

1

1

ω

m

.

Wyznaczamy U2 w stanie ustalonym, posługując się rach. symbolicznym: 1

jω C

U =

2

U 1

1

R + j C

ω

Wobec tego transmitancja napięciowa dla rozpatrywanego układu wy-niesie:

1

jω C

U

1

1

1

R +

U 2

jω C

jω C

1

K =

=

=

=

u

U

U

1

1

1

1

+ j R

ω C

R + jω C

1

Czyli:

K ω =

u (

)

(8.11)

1 + jω RC

lub

− ω

− ω

K ω =

⋅

=

u (

)

1

1

j RC

1

j RC

2

2

2

1 + jω RC 1 − jω RC

1 + ω R C

1

ω RC

=

− j

2

2

2

2

2

2

1 + ω R C

1 + ω R C

1

R

ω C

Zatem:

P(ω) =

,

Q(ω) = −

(8.12)

2

2

2

2

2

2

1 + ω R C

1 + ω R C

- 2 -

Co oznacza, że:

2

2

2

ω

2

2

1

R C

K (ω) = P(ω) + Q(ω) =

+

2

2

2 2

2

2

2 2

1

( + ω R C )

1

( + ω R C )

1

=

2

2

2

1 + ω R C

zależność modułu transmitancji od pulsacji opisuje równanie: 1

K (ω) =

(8.13)

2

2

2

1 + ω R C

Natomiast



2

2

2 

Q

− ω RC

1 + ω R C

Θ(ω) = arctg = arctg

⋅



P

1 + 2 2 2

ω R C

1



zależność argumentu transmitancji od pulsacji opisuje równanie: Θ ω

( ) = − arctg ω RC

(8.14)

K( )

ω

1

0,707

Im[ (

K ω)]

Re[ K(ω ]

)

ω

ω= 8

P ω=0

g

ω

ω

Θ

g=1/RC

Θ

K

(ω)

ωg

ω

Q

0,5

−π/4

−π/2

- 3 -

WSPÓŁRZĘDNE WZGLĘDNE I LOGARYTMICZNE

CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH

Charakterystyki częstotliwościowe podaje się na ogół, z uwagi na ich: czytelność, wygodę posługiwania się lub uwypuklenie pewnych cech - we współrzędnych względnych i/lub we współrzędnych logarytmicznych.

Charakterystyki o współrzędnych logarytmicznych nazywamy charakterystykami logarytmicznymi.

Jako współrzędne względne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się na ogół stosunek wartości wymienionych wielkości do pew-nej wartości charakterystycznej, np. maksymalnej. Mówimy wówczas o charakterystyce względnej:

K (ω)

K (ω)

K (ω ) =

lub

K (ω) =

(8.15)

K

K (ω )

max

0

Jako współrzędne względne (unormowane) dla pulsacji ω (lub częstotliwości f) przyjmuje się: • pulsację względną ω /ω 0

• odstrojenie bezwzględne ∆ω=ω-ω 0

• odstrojenie względne

ξ=(ω-ω 0)/ω 0

gdzie: ω0 – jest charakterystyczną pulsacją dla układu.

Jako współrzędne logarytmiczne pulsacji (częstotliwości) przyjmuje się najczęściej logarytm dziesiętny pulsacji lub pulsacji względnej: xd = lgω

(8.16a)





ω

d

x = lg



(8.16b)

 ω0 

- 4 -

mówimy wówczas o dekadowej skali częstotliwości, której charakterystyczną cechą jest stała długość odcinka odpowiadającego zmianie o jedną dekadę częstotliwości.

-1

0

1

2

3

lgf

10-1

1

101

102

103

f[Hz]

-1

0

1

2

3

lg(f/f)0

10-1

1

101

102

103

f/f0

Skale dekadowe

Jako współrzędne logarytmiczne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się moduł transmitancji wyrażony w decybelach zgodnie ze wzorem

K

(

=

dB ω )

20lg K (ω)

(8.17a)









ω

ω

lub

KdB

 = 20lg K



(8.17b)

 ω

ω

0 

 0 

Niektóre wartoś ci w decybelach

1

K (ω )

− N

10

0,1

1

2

10

N

10

2

20lg K (ω) [dB] − 20 N -20

-3

0

3

20

20 N

- 5 -

CHARAKTERYSTYK ASYMPTOTYCZNE

W wielu zagadnieniach praktycznych wygodnie jest posługiwać się przybliżoną postacią ch-styk częstotliwościowych układu. Istota tego przybliżenia polega na zastąpieniu dokładnego wykresu ch-styki częstotliwościowej jej przebiegiem przybliżonym w postaci odpowiednio dobranej linii łamanej. Tego typu przybliżenie stosuje się głównie do ch-styk ampli-tudowych.

Przybliżone charakterystyki o postaci linii łamanych są nazywane

charakterystykami asymptotycznymi lub charakterystykami Bodego.

Załóżmy, że rozpatrujemy układ o charakterystyce amplitudowo-fazowej postaci:

jΨ

Ψ

1

L

j L 2

L(ω)

L e

L e

K

1

2

K (ω) =

=

(8.18)

jΨ

Ψ

M 1

j M 2

M (ω)

M e

M e

K

1

2

gdzie czynniki L

M i ω

i (ω ) oraz

( ) są wielomianami o współczynnikach

rzeczywistych stopnia pierwszego lub drugiego.

j Θ ω

Pamiętając, że:

K (ω ) = K(ω )

( )

e

L L K

możemy zapisać:

1 2

K (ω) =

(8.19)

M M K

1

2

lub

lg K (ω) = ∑lg( i

L ) − ∑lg( Mi )

(8.20)

i

i

Zatem logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wyrażona w mierze decybelowej) opisana jest wyrażeniem:





K

ω

ω

dB (

) = 20lg K ( ) = 20∑ lg( i

L ) − ∑ lg( Mi )

(8.21)

 i

i



- 6 -

1

na przykładzie układu RC (FD)

K (ω ) =

1 + jω RC





 ω 

L







ω

ω g 

1

1

Zal. (8.18)





K

=

=





ω =

ω

gdzie









g

 g 

 ω 

 ω 

RC

M

1 +





j 



ω

ω

g 

 g 





ω

1

Zal. (8.19)





K

=





2

ω g 





ω

1 



+  

ω g 

2





ω

1





ω

Zal. (8.21)





KdB

= 20lg

= 2

− 0lg 1 



+





(8.22)

2





ω

ω

g 





 g 

ω

1 



+  

ω g 

Uwzględniając przy tym następujące, oczywiste przybliżenia: ω

2









<<

ω

ω

1 ,





+

≅





K

≅

ω

1

1 ,





ω

0





ω

(8.23a)

g

 g 

 g 

ω

2













>>

 ω 

ω

ω

ω

1 ,

+

≅









K

≅ −

ω

1

,







20l 

g

 (8.23b)

ω 

ω

ω

ω

g

g

g

 g 

 g 

Dla ω/ωg<<1 oraz dla ω/ωg>>1 rzeczywistą ch-stykę amplitudową można dobrze aproksymować, zastępując ją półprostymi określonymi wzorami (8.23a) i (8.23b). Doprowadzając te półproste do punktu ich przecięcia ω/ωg=1 otrzymamy ch-stykę aproksymującą tj. charakterystykę asymptotyczną odpowiadającą wyrażeniu (8.22).

- 7 -

K(ω/ω )

g

ω

[dB]

ωg

0,1

1

10

100

0

-3

-20

-40

PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW

Dla charakterystyk częstotliwościowych układu przyjmuje się na ogół

takie parametry jak:

• częstotliwość graniczna - częstotliwość przy której moduł transmitancji maleje o 3 dB od wartości no-

minalnej dla której umownie przyjęto

poziom 0dB.

• pasmo przenoszenia - zakres częstotliwości, w którym moduł

transmitancji maleje nie więcej niż o

3 dB od wartości nominalnej, a jest to

zakres częstotliwości zawarty między

częstotliwościami granicznymi. Miarą

pasma przenoszenia SP jest

S =

−

P

fg

fd

- 8 -

• selektywność układu - zdolność rozdziału częstotliwościowego przenoszonych sygnałów. Miarą selektywności jest współczynnik prostokąt-

ności

S

3

( dB)

p

P

=

S (20 dB)

P

• nachylenie charakterystyki - określa się liczbą decybeli wyraża-jącą zmianę modułu transmitancji

układu na dekadę w zadanym za-

kresie częstotliwości

K

(

−

dB ω

KdB ω

1)

( 2)

N

=

dB / dek

ω

1

lg ω2

KLASYFIKACJA UKŁADÓW

Ze względu na zdefiniowane pasma przepuszczania (zaporowe), moż-

na przedstawić następującą klasyfikację układów:

• wą skopasmowy

S <<

P

fs

• szerokopasmowy

S

>

P=fs lub SP fs

• dolnoprzepustowy

f

<

g1=0

fg2 ∞

• górnoprzepustowy

f >

g1 0

fg2 = ∞

• ś rodkowoprzepustowy

f >

<

g1 0

fg2 ∞

• ś rodkowozaporowy

f∉ (f

>

<

g1, fg2) ∧ fg1 0 ∧ fg2 ∞

- 9 -