- 1 -

9. CHARAKTERYSTYKI CZ

Ę

STOTLIWO

Ś

CIOWE

WYBRANYCH OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

9.1. CHARAKTERYSTYKI CZ

Ę

STOTLIWO

Ś

CIOWE

OBWODÓW REZONANSOWYCH

Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazy-

wane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi.

Rozpatrując bezźródłowy obwód elektryczny, przedstawiony schema-

tycznie na rys.9.1. jako dwójnik.

Rys. 9.1.

Rozpatrywany dwójnik

jX

R

Z

I

U

+

=

=

jB

G

Z

Y

+

=

=

/

1

Zjawisko rezonansu przedstawia taki stan pracy obwodu elektrycz-
nego, przy którym reaktancja wypadkowa X lub susceptancja wy-
padkowa B obwodu jest równa zeru

Warunkiem rezonansu jest

( )

0

Im

=

=

Z

X

(9.1)

lub

( )

0

Im

=

=

Y

B

(9.2)

Częstotliwość (pulsacja), przy której reaktancja wypadkowa lub su-

sceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru nazywana jest cz

ęstotliwo-

ścią (pulsacją) rezonansową.

Obwód elektryczny osiąga stan rezonansu, jeśli częstotliwość dopro-

wadzonego sygnału sinusoidalnego jest równa częstotliwości rezonanso-
wej obwodu.

- 2 -

Ponieważ kąt

ϕ

przesunięcia fazowego między napięciem U i prądem

I jest równy

•

argumentowi impedancji Z, przy czym

( )

R

X

arctg

Z

=

=

arg

ϕ

(9.3)

lub

•

argumentowi admitancji Y wziętemu ze znakiem przeciwnym, przy
czym

( )

G

B

arctg

Y

−

=

−

=

arg

ϕ

;

(9.4)

stąd

ϕϕϕϕ

= 0 dla X = 0 lub B = 0

Oznacza to, że

zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan pracy obwodu elektrycz-
nego, przy którym prąd i napięcie na jego zaciskach są ze sobą w fa-
zie (a argument impedancji lub admitancji obwodu jest równy zeru)

Impedancja Z obwodu w stanie rezonansu równa się rezystancji ob-

wodu

( )

R

Z

Z

=

=

Re

,

(9.5)

a jego admitancja Y , jest równa konduktancji G

( )

G

Y

Y

=

=

Re

.

(9.6)

Rezonans występujący w obwodzie, w którym elementy R, L, C połą-

czone są szeregowo, nazywamy

rezonansem napi

ęć

lub rezonansem sze-

regowym.

Rezonans występujący w obwodzie, w którym połączone są równole-

gle gałęzie R, L oraz R, C lub gałęzie R, L, C nazywamy

rezonansem pr

ą-

dów

lub rezonansem równoległym.

- 3 -

9.1.1. REZONANS NAPI

ĘĆ

PODSTAWOWE ZALE

Ż

NO

Ś

CI

Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych

szeregowo (rys.9.2) - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidalnie
zmienne o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji

ω

= 2

π

f.

R

L

C

Rys. 9.2

Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności











−

=

=

=

I

jX

U

I

jX

U

I

R

U

C

C

L

L

R

(9.7)

(

)

[

]

(

)

I

Z

I

jX

R

I

X

X

j

R

U

U

U

U

C

L

C

L

R

=

+

=

−

+

=

+

+

=

(9.8)

Impedancja obwodu wynosi

(

)













−

+

=

−

+

=

+

=

C

L

j

R

X

X

j

R

jX

R

Z

C

L

ω

ω

1

.

(9.9)

Warunkiem rezonansu (9.1) jest to, aby X=0, czyli X

L

=X

C

lub

C

L

ω

ω

1

=

.

(9.10)

Pulsację rezonansową

ω

r

obwodu szeregowego RLC znajduje się z

powyższego równania, otrzymując

LC

r

1

=

ω

,

(9.11)

stąd częstotliwość rezonansowa f

r

wynosi

LC

f

r

π

2

1

=

.

(9.12)

- 4 -

Jeżeli częstotliwość źródła napięcia zasilającego jest równa częstotli-

wości rezonansowej obwodu (f = f

r

) to obwód jest w stanie rezonansu sze-

regowego i wówczas:

•

impedancja obwodu jest równa rezystancji (impedancja osiąga
wartość minimalną)

R

Z

=

;

(9.13)

•

napięcie na rezystancji obwodu jest równe napięciu przyłożone-
mu do obwodu

U

U

R

=

;

(9.14)

•

suma geometryczna napięć na indukcyjności i pojemności obwo-
du jest równa zeru

0

=

+

C

L

U

U

;

(9.15)

•

napięcie na indukcyjności jest co do modułu równe napięciu na
pojemności

C

L

U

U

=

;

(9.16)

•

wobec X=0, prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną

R

U

I

=

;

(9.17)

•

kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym napięciem a
prądem jest równy zeru

0

=

ϕ

.

(9.18)

Wykres wskazowy prądu i napięć dla obwodu szeregowego RLC w stanie
rezonansu - rys.9.3.

Rys. 9.3.

Ze względu na równość modułów na-
pięć na elementach reaktancyjnych i
fakt, że mogą być one wielokrotnie
większe od modułu napięcia przyło-
ż

onego - rezonans w rozpatrywanym

obwodzie nazywamy rezonansem
napięć.

- 5 -

Parametrem, który wskazuje ile razy napięcie na indukcyjności lub po-

jemności jest większe od napięcia na zaciskach obwodu w stanie rezonan-
su jest dobroć Q.

W rozpatrywanym obwodzie szeregowym, w stanie rezonansu dobroć

definiuje się jako stosunek modułu napięcia na elemencie reaktancyjnym
(kondensatorze lub cewce) do modułu napięcia na rezystancji, czyli

RC

R

L

U

U

U

U

Q

r

r

R

C

R

L

ω

ω

1

=

=

=

=

.

(9.19)

Uwzględniając wzór na pulsację rezonansową (9.11), dobroć przedstawia
się jako

R

R

C

L

Q

ρ

=

=

,

(9.20)

gdzie

ρρρρ

jest reaktancją charakterystyczną obwodu (reaktancją indukcyj-

ną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej)

C

L

C

L

r

r

=

=

=

ω

ω

ρ

1

.

(9.21)

Moduły napięć na elementach reaktancyjnych obwodu w stanie rezo-

nansu można opisać następującą zależnością

U

Q

U

R

U

R

C

L

R

U

C

U

R

U

L

U

r

C

r

L

=

=

=

=

=

=

ρ

ω

ω

1

,

(9.22)

Z powyższego równania wynika, iż dobroć jest miarą przepięcia występu-
jącego w obwodzie w stanie rezonansu (napięcie na indukcyjności lub po-
jemności jest Q razy większe od napięcia na zaciskach obwodu).

- 6 -

STROJENIE SZEREGOWEGO OBWODU RLC DO REZONANSU

Na podstawie równania (9.10) można stwierdzić, że rezonans w szere-

gowym obwodzie RLC uzyskuje się przez:

•

regulację pulsacji

ω

(częstotliwości) źródła napięcia zasilającego

(generatora)

•

regulację indukcyjności L bądź pojemności C.

W pierwszym przypadku mówi się o strojeniu generatorem. Dotyczy

on sytuacji, w której zmienia się wartość częstotliwości f napięcia zasilają-
cego, tak aby zrównała się ona z daną częstotliwością rezonansową obwo-
du f

r

- określoną przez wartości parametrów obwodu (L oraz C) zgodnie z

zależnością (9.12).

W przypadku drugim, nazywanym strojeniem obwodu, zmienia się

wartość częstotliwości rezonansowej obwodu f

r

tak aby zrównała się z da-

ną częstotliwością f napięcia zasilającego. Zmianę częstotliwości rezonan-
sowej obwodu dokonuje się poprzez zmianę wartości indukcyjności L, a
stan rezonansu uzyskuje wówczas dla

2

2

4

1

f

C

L

π

=

(9.23)

lub pojemności C - stan rezonansu uzyska się gdy

2

2

4

1

f

L

C

π

=

.

(9.24)

- 7 -

CHARAKTERYSTYKI CZ

Ę

STOTLIWO

Ś

CIOWE I KRZYWE

REZONANSOWE SZEREGOWEGO OBWODU RLC

Charakterystyki częstotliwościowe określają zależność parame-

trów wtórnych obwodów (impedancji, reaktancji itd.) od częstotliwości
(lub pulsacji).

Wykresy zależności wartości skutecznych napięć i prądów obwo-

dów rezonansowych od częstotliwości (lub pulsacji) noszą nazwę krzy-
wych rezonansowych.

Dla szeregowego obwodu rezonansowego RLC można określić nastę-

pujące charakterystyki częstotliwościowe:

•

charakterystykę reaktancji indukcyjnej obwodu

( )

L

X

L

ω

ω

=

;

(9.25)

•

charakterystykę reaktancji pojemnościowej obwodu

( )

C

X

C

ω

ω

1

=

;

(9.26)

•

charakterystykę reaktancji wypadkowej obwodu

( )

C

L

X

ω

ω

ω

1

−

=

;

(9.27)

•

charakterystykę impedancji (modułu impedancji) obwodu

( )

2

2

1













−

+

=

C

L

R

Z

ω

ω

ω

;

(9.28)

•

charakterystykę kąta przesunięcia fazowego (argumentu impedancji)
obwodu

( )

R

C

L

arctg

ω

ω

ω

ϕ

1

−

=

.

(9.29)

- 8 -

Na rysunku 9.4 przedstawiono przykładowe przebiegi wymienionych wy-
ż

ej charakterystyk. Wynika z niego, że

R

ω

r

X( )

ω

X ( )

L

ω

X ( )

C

ω

ω

0

ω

r

ω

π/2

-

π/2

Z( )

ω

ϕ

a)

b)

Rys. 9.4.

Dla pulsacji mniejszych od

pulsacji rezonansowej, re-

aktancja wypadkowa i kąt

przesunięcia fazowego ob-

wodu są mniejsza od zera

W miarę zbliżania się do

pulsacji rezonansowej, mo-

duł impedancji obwodu

maleje do wartości mini-

malnej (do wartości rezy-

stancji R obwodu),

Dla pulsacji większych od

pulsacji rezonansowej, re-
aktancja wypadkowa i kąt

przesunięcia fazowego ob-

wodu są większe od zera

– obwód ma charakter

pojemno

ś

ciowy.

natomiast argument impe-

dancji (kąt przesunięcia

fazowego) obwodu zbliża

się do zera.

– obwód ma charakter

indukcyjny.

- 9 -

W przypadku obwodu szeregowego RLC rozważa się na ogół następu-

jące krzywe rezonansowe:

•

krzywą rezonansową prądu

( )

2

2

1













−

+

=

C

L

R

U

I

ω

ω

ω

;

(9.30)

•

krzywe rezonansowe napięć na elementach obwodu, jako:

( )

2

2

1













−

+

=

C

L

R

R

U

U

R

ω

ω

ω

,

(9.31)

( )

2

2

1













−

+

=

C

L

R

L

U

U

L

ω

ω

ω

ω

,

(9.32)

( )

2

2

1













−

+

=

C

L

R

C

U

U

C

ω

ω

ω

ω

.

(9.33)

U

ω

r

ω

U ( )

R

ω

ω

Cmax

QU

U

=U

Lmax

Cmax

U ( )

C

ω

U ( )

L

ω

ω

Lmax

Rys. 9.5.

- 10 -

Wartość skuteczna napięcia na indukcyjności osiąga maksimum po re-

zonansie, zaś napięcie na pojemności osiąga maksimum przed rezonansem
(rys.9.5).

Napięcie na indukcyjności osiąga wartość maksymalną przy pulsacji

ω

Lmax

równej

r

r

L

Q

ω

ω

ω

>

−

=

2

max

2

1

1

1

,

(9.34)

natomiast napięcie na pojemności dla pulsacji

ω

Cmax

wynoszącej

r

r

C

Q

ω

ω

ω

<

−

=

2

max

2

1

1

.

(9.35)

Obie wartości maksymalne napięć są sobie równe

QU

U

Q

Q

U

U

C

L

>

−

=

=

2

max

max

4

1

1

(9.36)

i są większe od wartości QU w stanie rezonansu.

PASMO PRZEPUSTOWE SZEREGOWEGO OBWODU
REZONANSOWEGO

W przypadku obwodów rezonansowych za pasmo przepustowe (pa-

smo przenoszenia) przyjmuje się z reguły tzw. trzydecybelowe (3-dB) pa-
smo przepustowe.

Pasmem przepustowym 3-dB szeregowego obwodu rezonansowego

nazywa się przedział pulsacji, dla których wartość skuteczna I prądu w
obwodzie (przy założonej stałej wartości skutecznej napięcia przyłożonego
do obwodu) maleje nie więcej niż

2

-krotnie w stosunku do wartości sku-

tecznej I

r

prądu w rezonansie, tzn. dla których spełniona jest nierówność

- 11 -

( )

2

1

≥

r

I

I

ω

.

(9.37)

Dla pulsacji granicznych (dolnej

ω

d

i górnej

ω

g

) spełniona jest równość

( )

( )

2

=

=

g

r

d

r

I

I

I

I

ω

ω

.

(9.38)

Bardzo ważnym parametrem obwodu rezonansowego charakteryzują-

cym jego właściwości selektywne jest szerokość pasma przepustowego,
zdefiniowana jako

d

g

dB

S

ω

ω

−

=

)

3

(

.

(9.39)

Parametr ten zależy od pulsacji rezonansowej i dobroci obwodu w na-

stępujący sposób

Q

S

r

dB

ω

=

)

3

(

.

(9.40)

Podobnie wygląda zależność pasma przepustowego wyrażonego w hercach

Q

f

S

r

dB

p

=

)

3

(

.

(9.41)

Wpływ dobroci na kształt krzywej rezonansowej prądu ilustrują wy-

kresy przedstawione na rysunku 9.6. Wykreślono je przyjmując, że dobroć
obwodu jest zmieniana tylko przez dobór indukcyjności L i pojemności C
przy zachowaniu stałej pulsacji rezonansowej

ω

r

.

Q

1

ω

Q

Q

Q

1

2

3

<

<

I

r

I

ω

r

Q

2

Q

3

Rys. 9.6.

Dobroć Q

jest pod-

stawowym parame-
trem obwodu rezo-
nansowego decydu-
jącym o jego jakości
jako obwodu selek-
tywnego.

- 12 -

9.1.2. REZONANS PR

Ą

DÓW

PODSTAWOWE ZALE

Ż

NO

Ś

CI

Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych

równolegle (rys.9.7) - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidal-
nie zmienne o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji

ω

= 2

π

f

.

R

L

C

Rys. 9.7

Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności











=

−

=

=

U

jB

I

U

jB

I

U

G

I

C

C

L

L

R

(9.42)

(

)

[

]

(

)

U

Y

U

jB

G

U

B

B

j

G

I

I

I

I

L

C

C

L

R

=

+

=

−

+

=

+

+

=

(9.43)

Admitancja obwodu wynosi

(

)













−

+

=

−

+

=

+

=

L

C

j

G

B

B

j

G

jB

G

Y

L

C

ω

ω

1

.

(9.44)

Warunkiem rezonansu (9.1) jest to, aby B=0, czyli B

C

=B

L

lub

L

C

ω

ω

1

=

.

(9.45)

Pulsację rezonansową

ω

r

obwodu równoległego RLC znajduje się z

powyższego równania, otrzymując

LC

r

1

=

ω

,

(9.46/9.11)

stąd częstotliwość rezonansowa f

r

wynosi

LC

f

r

π

2

1

=

. (9.47/9.12)

- 13 -

Jeżeli częstotliwość źródła napięcia zasilającego jest równa częstotli-

wości rezonansowej obwodu (f = f

r

) to obwód jest w stanie rezonansu

równoległego i wówczas:

•

admitancja obwodu jest równa konduktancji (admitancja osiąga
wartość minimalną)

G

Y

=

;

(9.48)

•

prąd w gałęzi rezystancyjnej jest równy prądowi obwodu

I

I

R

=

;

(9.49)

•

suma geometryczna prądów w gałęzi indukcyjności i pojemno-
ściowej

obwodu jest równa zeru

0

=

+

C

L

I

I

;

(9.50)

•

prąd w gałęzi indukcyjnej jest co do modułu równy prądowi w
gałęzi pojemnościowej

C

L

I

I

=

;

(9.51)

•

wobec B=0, prąd w obwodzie osiąga wartość minimalną

G

U

I

=

;

(9.52)

•

kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym napięciem a
prądem jest równy zeru

0

=

ϕ

.

(9.53)

Wykres wskazowy napięcia i prądów dla obwodu równoległego

RLC

w stanie rezonansu - rys.9.8.

Rys. 9.8.

Ze względu na równość modułów
prądów w gałęziach reaktancyjnych i
fakt, że mogą być one wielokrotnie
większe od modułu prądu dopływa-
jącego do obwodu - rezonans w roz-
patrywanym obwodzie nazywamy
rezonansem prądów

- 14 -

Parametrem, który wskazuje ile prąd w gałęzi z indukcyjnością lub

pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu w stanie
rezonansu

jest dobroć Q.

W rozpatrywanym obwodzie równoległym, w stanie rezonansu dobroć

definiuje się jako stosunek modułów prądu w elemencie reaktancyjnym
(kondensatorze lub cewce) do prądu w gałęzi z rezystorem, czyli

G

C

LG

I

I

I

I

Q

r

r

R

C

R

L

ω

ω

=

=

=

=

1

.

(9.54)

Uwzględniając wzór na pulsację rezonansową (9.46), dobroć przedstawia
się jako

ρ

R

C

L

R

Q

=

=

,

(9.55)

gdzie

ρρρρ

jest reaktancją charakterystyczną obwodu równoległego (reak-

tancją indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezo-
nansowej), zdefiniowaną identycznie jak dla obwodu szeregowego (9.21).

Moduły prądów w elementach reaktancyjnych w stanie rezonansu

opi-

sać następującą zależnością

I

Q

I

R

I

C

L

R

R

I

C

I

L

R

I

I

r

C

r

L

=

=

=

=

=

=

ρ

ω

ω

,

(9.56)

Z powyższego równania wynika, iż dobroć jest miarą przetężenia występu-
jącego w obwodzie w stanie rezonansu (prąd w gałęzi indukcyjnej lub po-
jemnościowej jest Q razy większy od prądu dopływającego do obwodu).

- 15 -

STROJENIE OBWODU RÓWNOLEGŁEGO DO REZONANSU

Na podstawie równania (9.46) - identycznie jak to miało miejsce w

przypadku obwodu szeregowego - można stwierdzić, że w celu uzyskania
rezonansu w obwodzie równoległym RLC należy dokonać strojenia gene-
ratora (zmiana f) bądź strojenia obwodu (zmiana L lub C).

Przy strojeniu (zarówno obwodu szeregowego jak i równoległego)

znamienne jest to, iż częstotliwość rezonansowa jest odwrotnie proporcjo-
nalna do pierwiastka kwadratowego z indukcyjności lub pojemności:

L

k

f

r

1

=

(9.57)

lub

C

k

f

r

2

=

(9.58)

gdzie k

1

i k

2

są wielkościami stałymi.

CHARAKTERYSTYKI CZ

Ę

STOTLIWO

Ś

CIOWE I KRZYWE

REZONANSOWE RÓWNOLEGŁEGO OBWODU RLC

Charakterystyki częstotliwościowe:

•

charakterystykę susceptancji

indukcyjnej obwodu

( )

L

B

L

ω

ω

1

=

;

(9.59)

•

charakterystykę susceptancji

pojemnościowej obwodu

( )

C

B

C

ω

ω

=

;

(9.60)

•

charakterystykę susceptancji

wypadkowej obwodu

( )

L

C

B

ω

ω

ω

1

−

=

;

(9.61)

•

charakterystykę admitancji (modułu admitancji) obwodu

( )

2

2

1













−

+

=

L

C

G

Y

ω

ω

ω

;

(9.62)

- 16 -

•

charakterystykę kąta przesunięcia fazowego (argumentu admitancji
wziętego ze znakiem przeciwnym) obwodu

( )

G

L

C

arctg

ω

ω

ω

ϕ

1

−

−

=

.

(9.63)

Na rysunku 9.10 przedstawiono przykładowe przebiegi wymienionych
wyżej charakterystyk. Wynika z niego, że

G

ω

r

B( )

ω

B ( )

L

ω

B ( )

C

ω

ω

0

ω

r

ω

π/2

-

π/2

Y( )

ω

ϕ

a)

b)

Rys. 9.10.

Dla pulsacji mniejszych od

pulsacji rezonansowej: su-

sceptancja wypadkowa jest

mniejsza od zera a kąt

przesunięcia fazowego ob-

wodu jest większy od zera

w miarę zbliżania się do

pulsacji rezonansowej, mo-

duł admitancji obwodu ma-

leje do wartości minimalnej

(do wartości konduktancji

G obwodu),

Dla pulsacji większych od

pulsacji rezonansowej, re-

aktancja wypadkowa jest

większa od zera a kąt prze-
sunięcia fazowego obwodu

jest mniejszy od zera

– obwód ma charakter

indukcyjny.

natomiast kąt przesunięcia

fazowego obwodu zbliża

się do zera.

– obwód ma charakter

pojemno

ś

ciowy.

- 17 -

W przypadku obwodu równoległego RLC, krzywe rezonansowe

przedstawiają wartości skuteczneh prądów występujących w obwodzie w
funkcji pulsacji (lub częstotliwości). Jest to zatem

•

zależność prądu obwodu od pulsacji

( )

2

2

1













−

+

=

=

L

C

G

U

Y

U

I

ω

ω

ω

;

(9.64)

•

zależność prądu w gałęzi indukcyjnej od pulsacji

( )

L

U

I

L

ω

ω

=

,

(9.65)

•

zależność prądu w gałęzi pojemnościowej od pulsacji

( )

CU

I

C

ω

ω

=

.

(9.66)

ω

r

ω

I =GU

R

I ( )

C

ω

I ( )

L

ω

I( )

ω

QI =QGU

R

Rys. 9.11.

Przy rezonansie prąd I dopływający do obwodu osiąga wartość mini-

malną (rys.9.11), równą wartości prądu występującego w gałęzi rezystan-
cyjnej (I = I

R

= GU). Oznacza to, że w przypadku bardzo małej konduk-

tancji jest prawie równy zeru. Natomiast prądy w gałęziach reaktancyjnych
są sobie równe i Q-krotnie większe od prądu dopływającego do obwodu.