- 17 -
6.3.3. KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW
Czwórnik pasywny i aktywny
Czwórnik nazywamy pasywnym, jeżeli przy początkowej energii
zgromadzonej w układzie równej zeru, całkowita energia dostarczona do
niego jest nieujemna:
∫
≥
+
t
d
i
u
i
u
0
2
2
1
1
0
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
τ
τ
τ
τ
τ
(6.30)
Niespełnienie tego warunku oznacza aktywność czwórnika.
W stanie ustalonym przy wymuszeniach harmonicznych:
•
czwórnik jest PASYWNY jeśli moc czynna pobierana przez wrota
czwórnika jest nieujemna
dla każdej pary napięć i prądów zaci-
skowych
( ) (
)
0
Re
Re
*
2
2
*
1
1
≥
+
I
U
I
U
(6.31)
•
czwórnik jest AKTYWNY, jeśli istnieją takie wartości napięć i
prądów zaciskowych, dla których pobierana przez wrota moc
czynna jest ujemna
( ) (
)
0
Re
Re
*
2
2
*
1
1
<
+
I
U
I
U
(6.32)
Czwórnik prawidłowy i nieprawidłowy
Czwórnik klasy SLS nazywamy czwórnikiem prawidłowym, jeśli po-
siada wszystkie macierze charakterystyczne.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym prawidłowości czwórnika
jest aby dowolna z jego macierzy charakterystycznych była nieosobliwa, a
wszystkie jej elementy były różne od zera. Macierze charakterystyczne Y ,
Z oraz H , G są parami macierzami odwrotnymi:
Z·= Y
-1
; G = H
-1
(6.33)
Czwórnik nazywamy zdegenerowanym (nieprawidłowym), jeśli po-
siada nie więcej niż pięć i nie mniej niż dwie macierze charakterystyczne.
Czwórnik, który posiada wyłącznie jedną macierz charakterystyczną
nazywamy zerowym.
- 18 -
Czwórnik bilateralny, unilateralny i nielateralny
Ze względu na zdolność do przesyłania sygnałów w obu lub jednym
kierunku, czwórnik nazywamy:
BILATERALNYM
– jeśli posiada obydwie macierze łańcucho-
we ( A i B ) - co oznacza możliwość przesy-
łania sygnałów w obie strony.
UNILATERALNYM – jeśli posiada tylko jedną macierz łańcu-
chową ( A lub B ):
•
gdy istnieje tylko macierz A – to
czwórnik ma zdolność przesyłania sy-
gnałów od zacisków pierwotnych do
wtórnych;
•
gdy istnieje tylko macierz B – to
czwórnik ma zdolność przesyłania sy-
gnałów od zacisków wtórnych do pier-
wotnych.
NIELATERALNYM – jeśli nie posiada żadnej macierze łańcu-
chowe - co oznacza niezdolność do przesyła-
nia sygnałów.
Czwórnik odwracalny i nieodwracalny
Czwórnik, który spełnia zasadę wzajemności nazywamy czwórnikiem
ODWRACALNYM lub inaczej ENERGETYCZNIE SYMETRYCZNYM.
Zgodnie z zasadą wzajemności warunki odwracalności czwórnika można
wyrazić za pomocą elementów macierzy charakterystycznych:
Macierz
Y
Z
A
B
H
G
Czwórnik
odwracalny
y
12
= y
21
z
12
= z
21
det
A=1 det
B=1 h
12
= - h
21
g
12
= - g
21
Czwórnik, który nie spełnia zasady wzajemności jest czwórnikiem
nieodwracalnym.
- 19 -
Czwórnik symetryczny i niesymetryczny
Czwórnik, który spełnia zasadę wzajemności, a ponadto zamiana
miejscami wrót wejściowych z wyjściowymi tego czwórnika nie powoduje
ż
adnych zmian wielkości elektrycznych zaciskowych, nazywamy
CZWÓRNIKIEM SYMETRYCZNYM lub inaczej IMPEDANCYJNIE
SYMETRYCZNYM.
Konsekwencją symetryczności czwórnika są szczególne własności je-
go
macierzy charakterystycznych:
Macierz
Y
Z
A
B
H
G
y
12
= y
21
z
12
= z
21
det
A=1 det
B=1 h
12
= - h
21
g
12
= - g
21
Czwórnik
symetryczny
y
11
= y
22
z
11
= z
22
a
11
= a
22
b
11
= b
22
det
H=1 det
G=1
UWAGA: nie każdy czwórnik odwracalny jest symetryczny - warunkiem
koniecznym symetryczności czwórnika jest jego odwracalność.
6.3.4. PARAMETRY ROBOCZE CZWÓRNIKA
Jeżeli do jednych wrót czwórnika dołączono źródło wymuszeń, nato-
miast drugie wrota obciążono dwójnikiem bezźródłowym, to czwórnik taki
pracuje w układzie przesyłowym i charakteryzują go
parametry robocze
.
Przyjmujemy założenie, że źródło wymuszeń o napięciu źródłowym
E
g
i impedancji wewnętrznej Z
g
dołączono do wrót pierwotnych, a wrota
wtórne czwórnika obciążono dwójnikiem o impedancji Z
obc
(rys.6.11)
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
1
Z
g
E
g
Z
obc
1’
2
2’
Rys.6.11.
Do parametrów roboczych czwórnika klasy SLS – nale
ży:
- 20 -
1. IMPEDANCYJA WEJ
ŚCIOWA PIERWOTNA
określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do
prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej
dwójnikiem o impedancji Z
obc
(
rys.6.12
)
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
1
Z
g
E
g
Z
obc
1’
2
2’
Z
we1
=
U
1
I
1
Rys.6.12.
Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z pierwsze-
go równania (6.20):
(
)
2
12
2
11
1
I
a
U
a
U
−
+
=
⇒
1
2
12
11
1
1
1
I
I
z
z
I
U
Z
we
+
=
=
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że
2
2
I
Z
U
obc
−
=
(
)
2
22
2
21
1
I
a
U
a
I
−
+
=
⇒
22
21
1
2
z
Z
z
I
I
obc
+
−
=
Stąd:
22
21
12
11
1
1
1
z
Z
z
z
z
I
U
Z
obc
we
+
−
=
=
(6.34)
W granicznym przypadku gdy strona wtórna jest:
•
rozwarta (Z
obc
=
∞
), impedancja ta staje się
impedancj
ą
wej
ś
ciow
ą
pierwotn
ą
rozwarciow
ą Z
1o
i wynosi
11
1
1
z
Z
Z
o
we
=
=
(6.35)
•
zwarta (Z
obc
= 0 ), impedancja ta staje się
impedancj
ą
wej
ś
ciow
ą
pierwotn
ą
zwarciow
ą Z
1z
i wynosi
22
1
1
det
z
Z
Z
z
we
Z
=
=
(6.36)
- 21 -
2. IMPEDANCYJA WEJ
ŚCIOWA WTÓRNA
jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika przy zwar-
tym źródle E
g
po stronie pierwotnej (tzn. E
g
= 0) i wyraża się stosun-
kiem napięcia do prądu wtórnego (
rys.6.13
)
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
1
Z
g
Z
obc
1’
2
2’
Z
we2
=
U
2
I
2
Rys.6.13.
Postępując analogicznie jak dla impedancji wejściowej pierwotnej i
pamiętając, że
1
1
I
Z
U
g
−
=
otrzymuje się:
11
21
12
22
2
2
2
z
Z
z
z
z
I
U
Z
g
we
+
−
=
=
(6.37)
W granicznym przypadku gdy strona pierwotna jest:
•
rozwarta (Z
g
=
∞
), impedancja ta staje się
impedancj
ą
wej
ś
ciow
ą
wtórn
ą
rozwarciow
ą Z
2o
i wynosi
22
2
2
z
Z
Z
o
we
=
=
(6.38)
•
zwarta (Z
g
= 0 ), impedancja ta staje się
impedancj
ą
wej
ś
ciow
ą
wtórn
ą
zwarciow
ą Z
2z
i wynosi
11
2
2
det
z
Z
Z
z
we
Z
=
=
(6.39)
UWAGA:
Tak określone impedancje zwarciowe i rozwarciowe, pierwotne i wtórne
związane są zależnością:
Z
det
1
2
2
1
=
=
z
o
z
o
Z
Z
Z
Z
- 22 -
3. WZMOCNIENIE NAPI
ĘCIOWE
(TRANSMITANCJA NAPIĘCIOWA)
obc
obc
u
Z
z
Z
z
U
U
K
11
21
1
2
det
+
=
=
Z
(6.40)
Gdy uwzględni się fakt zasilania z rzeczywistego źródła energii, mówimy
o
skutecznym wzmocnieniu napi
ę
ciowym:
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
we
g
u
we
g
g
g
sk
u
Z
Z
K
Z
U
Z
U
U
I
Z
U
U
E
U
K
+
=
+
=
+
=
=
(6.41)
4. WZMOCNIENIE PR
ĄDOWE
(TRANSMITANCJA PRĄDOWA)
obc
i
Z
z
z
I
I
K
+
−
=
=
22
21
1
2
(6.42)
Gdy uwzględni się fakt zasilania z rzeczywistego źródła energii, mówimy
o
skutecznym wzmocnieniu pr
ą
dowym:
g
we
i
sk
i
Z
Z
K
K
1
1
+
=
(6.43)
UWAGA:
Wszystkie określone powyżej transmitancje (wzmocnienia) mogą
być również wyrażone w mierze logarytmicznej, t.j. w neperach
lub decybelach:
[ ]
[ ]
dB
K
K
N
K
K
dB
N
lg
20
ln
=
=
- 23 -
6.3.5. PARAMETRY FALOWE CZWÓRNIKA
Parametry falowe czwórnika określane są dla szczególnych warunków
pracy czwórnika a mianowicie przy tzw. dopasowaniu falowym.
IMPEDANCJA FALOWA
Rozważmy czwórnik pracujący w układzie przesyłowym - źródło
wymuszeń o napięciu źródłowym E
g
i impedancji wewnętrznej Z
g
dołą-
czono do wrót pierwotnych, a wrota wtórne czwórnika obciążono dwójni-
kiem o impedancji Z
obc
(rys.6.14)
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
1
Z
obc
1’
2
2’
Z
we2
=
U
2
I
2
Rys.6.14.
Z
we1
=
U
1
I
1
Z
g
E
g
E
g
=0
W oparciu o równania łańcuchowe oraz uwzględniając, że
2
2
I
Z
U
obc
−
=
i
1
1
I
Z
U
g
−
=
można impedancje wejściowe określić związkami:
impedancja wejściowa pierwotna
22
21
12
11
1
1
1
a
a
Z
a
a
Z
I
U
Z
obc
obc
we
+
+
=
=
(6.44)
impedancja wejściowa wtórna
11
21
12
22
2
2
2
a
a
Z
a
a
Z
I
U
Z
g
g
we
+
+
=
=
(6.45)
Dopasowaniem falowym nazywamy tak dobrane impedancje Z
g
i Z
obc
,
że zachodzi:
2
1
we
obc
we
g
Z
Z
oraz
Z
Z
=
=
(6.46)
- 24 -
Oznacza to, że przyjmujemy istnienie takich dwóch impedancji
2
1
1
2
we
we
f
Z
Z
oraz
Z
Z
f
=
=
(6.47)
nazywanych
falowymi (charakterystycznymi)
odpowiednio strony pier-
wotnej i strony wtórnej.
Mówimy wówczas o dopasowaniu czwórnika do źródła lub do obciążenia.
•
Jeśli impedancja wewnętrzna generatora zasilającego czwórnik od
strony wrót wejściowych jest równa jego impedancji falowej pier-
wotnej (Z
g
=Z
f1
), to mówimy że czwórnik jest dopasowany falowo
na wej
ściu (wówczas impedancja wejściowa wtórna jest równa jego
impedancji falowej wtórnej).
CZWÓRNIK
1
1’
2
2’
Z
we2
=
Z
g
= Z
f1
Z
f2
•
Jeżeli natomiast impedancja obciążenia dołączona do wrót wyjścio-
wych czwórnika jest równa jego impedancji falowej wtórnej
(Z
obc
=Z
f2
), to mówimy, że czwórnik jest dopasowany falowo na
wyj
ściu ( wówczas impedancja wejściowa pierwotna jest równa jego
impedancji falowej pierwotnej).
CZWÓRNIK
1
1’
2
2’
Z
we1
=
Z
obc
= Z
f2
Z
f1
Czwórnik jest w stanie dopasowania falowego, jeśli jest dopaso-
wany na wejściu i na wyjściu.
- 25 -
Przyjmując zależności 6.47 i 6.46 oraz biorąc pod uwagę wzory 6.44 oraz
6.45, otrzymamy:
22
21
2
12
11
2
1
a
a
Z
a
a
Z
Z
f
f
f
+
+
=
11
21
1
12
22
1
2
a
a
Z
a
a
Z
Z
f
f
f
+
+
=
Rozwiązując otrzymany układ równań ze względu na Z
f1
i Z
f2
, dostaniemy:
impedancja falowa pierwotna
22
21
12
11
1
a
a
a
a
Z
f
=
(6.48)
impedancja falowa wtórna
11
21
12
22
2
a
a
a
a
Z
f
=
(6.49)
Impedancje falowe można uzależnić od impedancji wejściowych stanu
jałowego i stanu zwarcia.
Ponieważ impedancja wej
ściowa pierwotna:
•
rozwarciowa
21
11
1
a
a
Z
o
=
(6.50)
•
zwarciowa
22
12
1
a
a
Z
z
=
(6.51)
natomiast impedancja wej
ściowa wtórna:
•
rozwarciowa
21
22
2
a
a
Z
o
=
(6.52)
•
zwarciowa
11
12
2
a
a
Z
z
=
(6.53)
zatem
- 26 -
impedancja falowa pierwotna
z
o
f
Z
Z
Z
1
1
1
=
(6.54)
impedancja falowa wtórna
z
o
f
Z
Z
Z
2
2
2
=
(6.55)
IMPEDANCJ
Ę FALOWĄ CZWÓRNIKA
określamy jako średnią
geometryczną impedancji falowej pierwotnej i wtórnej
2
1
f
f
f
Z
Z
Z
=
(6.56)
Jeśli czwórnik jest symetryczny (a
11
=a
22
) to posiada tylko jedną impe-
dancję falową
z
o
f
f
f
Z
Z
a
a
Z
Z
Z
=
=
=
=
21
12
2
1
(6.57)
Dla czwórnika niesymetrycznego możemy również posługiwać się po-
jęciem
przekładni impedancyjnej
czwórnika określonej następująco:
1
2
f
f
Z
Z
p
=
(6.58)
Łatwo wówczas wykazać, że
f
f
f
f
Z
p
Z
p
Z
Z
=
=
2
1
,
(6.59)
i co jest oczywiste p = 1 dla czwórnika symetrycznego.
- 27 -
TAMOWNO
ŚĆ FALOWA (
współczynnik przenoszenia falowego
)
Drugim istotnym parametrem falowym czwórnika jest tamowność fa-
lowa „g”. Określa się ją dla czwórnika dopasowanego falowo na
•
wyj
ściu jak tamowność falową pierwotną
(
)
2
2
1
1
1
ln
2
1
I
U
I
U
g
−
=
(6.60)
•
wej
ściu jak tamowność falową wtórną
(
)
1
1
2
2
2
ln
2
1
I
U
I
U
g
−
=
(6.61)
Dla czwórnika odwracalnego oba współczynniki przenoszenia są so-
bie równe i wyraża się je za pomocą parametrów macierzy łańcuchowej
jako:
(
)
21
12
22
11
2
1
ln
a
a
a
a
g
g
g
+
=
=
=
(6.62)
oraz w postaci hiperbolicznej
21
12
22
11
a
a
g
a
a
g
=
=
sh
ch
(6.63)
W przypadku czwórnika symetrycznego - pamiętając, że
2
2
1
1
I
U
I
U
Z
f
=
=
(6.64)
(
)
2
1
2
1
ln
ln
I
I
U
U
g
−
=
=
(6.65)
(
)
=
−
+
=
+
=
1
ln
ln
2
11
11
21
12
11
a
a
a
a
a
g
(6.66)
oraz w postaci hiperbolicznej
11
a
g
=
ch
(6.67)
- 28 -
Istnieje również możliwość wyznaczenia tamowności falowej czwórnika
symetrycznego w oparciu o pomiar jego impedancji w stanie zwarcia i w
stanie jałowym.
o
z
Z
Z
g
=
ch
(6.68)
Ogólnie tamowność jest liczbą zespoloną o postaci
jb
a
g
+
=
gdzie:
a=Re(g)-współczynnik tłumienia (tłumienność),
b=Im(g)-współczynnik przesunięcia fazowego (przesuwność).
Zależność (6.65) przedstawia liczbę zespoloną:
(
)
(
)
jb
a
jb
a
g
j
j
j
e
e
e
e
e
U
U
e
U
e
U
U
U
=
=
=
=
=
+
−
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
(6.69)
której
moduł informuje nas o tym: ile razy sygnał wejściowy przewyższa
sygnał wyjściowy - jest zatem miarą tłumienia sygnału przy przej-
ś
ciu przez czwórnik;
argument podaje wartość kąta zawartego pomiędzy sygnałem wej-
ś
ciowym i wyjściowym - jest zatem miarą zmiany fazy sygnału
przy przejściu przez czwórnik.