- 17 -

6.3.3. KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW

Czwórnik pasywny i aktywny

Czwórnik nazywamy pasywnym, jeżeli przy początkowej energii

zgromadzonej w układzie równej zeru, całkowita energia dostarczona do
niego jest nieujemna:

∫

≥

+

t

d

i

u

i

u

0

2

2

1

1

0

)]

(

)

(

)

(

)

(

[

τ

τ

τ

τ

τ

(6.30)

Niespełnienie tego warunku oznacza aktywność czwórnika.

W stanie ustalonym przy wymuszeniach harmonicznych:

•

czwórnik jest PASYWNY jeśli moc czynna pobierana przez wrota
czwórnika jest nieujemna

dla każdej pary napięć i prądów zaci-

skowych

( ) (

)

0

Re

Re

*

2

2

*

1

1

≥

+

I

U

I

U

(6.31)

•

czwórnik jest AKTYWNY, jeśli istnieją takie wartości napięć i
prądów zaciskowych, dla których pobierana przez wrota moc
czynna jest ujemna

( ) (

)

0

Re

Re

*

2

2

*

1

1

<

+

I

U

I

U

(6.32)

Czwórnik prawidłowy i nieprawidłowy

Czwórnik klasy SLS nazywamy czwórnikiem prawidłowym, jeśli po-

siada wszystkie macierze charakterystyczne.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym prawidłowości czwórnika

jest aby dowolna z jego macierzy charakterystycznych była nieosobliwa, a
wszystkie jej elementy były różne od zera. Macierze charakterystyczne Y ,
Z oraz H , G są parami macierzami odwrotnymi:

Z·= Y

-1

; G = H

-1

(6.33)

Czwórnik nazywamy zdegenerowanym (nieprawidłowym), jeśli po-

siada nie więcej niż pięć i nie mniej niż dwie macierze charakterystyczne.

Czwórnik, który posiada wyłącznie jedną macierz charakterystyczną

nazywamy zerowym.

- 18 -

Czwórnik bilateralny, unilateralny i nielateralny

Ze względu na zdolność do przesyłania sygnałów w obu lub jednym

kierunku, czwórnik nazywamy:

BILATERALNYM

– jeśli posiada obydwie macierze łańcucho-
we ( A i B ) - co oznacza możliwość przesy-
łania sygnałów w obie strony.

UNILATERALNYM – jeśli posiada tylko jedną macierz łańcu-

chową ( A lub B ):

•

gdy istnieje tylko macierz A – to
czwórnik ma zdolność przesyłania sy-
gnałów od zacisków pierwotnych do
wtórnych;

•

gdy istnieje tylko macierz B – to
czwórnik ma zdolność przesyłania sy-
gnałów od zacisków wtórnych do pier-
wotnych.

NIELATERALNYM – jeśli nie posiada żadnej macierze łańcu-

chowe - co oznacza niezdolność do przesyła-
nia sygnałów.

Czwórnik odwracalny i nieodwracalny

Czwórnik, który spełnia zasadę wzajemności nazywamy czwórnikiem

ODWRACALNYM lub inaczej ENERGETYCZNIE SYMETRYCZNYM.

Zgodnie z zasadą wzajemności warunki odwracalności czwórnika można
wyrazić za pomocą elementów macierzy charakterystycznych:

Macierz

Y

Z

A

B

H

G

Czwórnik

odwracalny

y

12

= y

21

z

12

= z

21

det

A=1 det

B=1 h

12

= - h

21

g

12

= - g

21

Czwórnik, który nie spełnia zasady wzajemności jest czwórnikiem

nieodwracalnym.

- 19 -

Czwórnik symetryczny i niesymetryczny

Czwórnik, który spełnia zasadę wzajemności, a ponadto zamiana

miejscami wrót wejściowych z wyjściowymi tego czwórnika nie powoduje
ż

adnych zmian wielkości elektrycznych zaciskowych, nazywamy

CZWÓRNIKIEM SYMETRYCZNYM lub inaczej IMPEDANCYJNIE
SYMETRYCZNYM.

Konsekwencją symetryczności czwórnika są szczególne własności je-

go

macierzy charakterystycznych:

Macierz

Y

Z

A

B

H

G

y

12

= y

21

z

12

= z

21

det

A=1 det

B=1 h

12

= - h

21

g

12

= - g

21

Czwórnik

symetryczny

y

11

= y

22

z

11

= z

22

a

11

= a

22

b

11

= b

22

det

H=1 det

G=1

UWAGA: nie każdy czwórnik odwracalny jest symetryczny - warunkiem

koniecznym symetryczności czwórnika jest jego odwracalność.

6.3.4. PARAMETRY ROBOCZE CZWÓRNIKA

Jeżeli do jednych wrót czwórnika dołączono źródło wymuszeń, nato-

miast drugie wrota obciążono dwójnikiem bezźródłowym, to czwórnik taki
pracuje w układzie przesyłowym i charakteryzują go

parametry robocze

.

Przyjmujemy założenie, że źródło wymuszeń o napięciu źródłowym

E

g

i impedancji wewnętrznej Z

g

dołączono do wrót pierwotnych, a wrota

wtórne czwórnika obciążono dwójnikiem o impedancji Z

obc

(rys.6.11)

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

Z

g

E

g

Z

obc

1’

2

2’

Rys.6.11.

Do parametrów roboczych czwórnika klasy SLS – nale

ży:

- 20 -

1. IMPEDANCYJA WEJ

ŚCIOWA PIERWOTNA

określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do
prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej
dwójnikiem o impedancji Z

obc

(

rys.6.12

)

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

Z

g

E

g

Z

obc

1’

2

2’

Z

we1

=

U

1

I

1

Rys.6.12.

Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z pierwsze-

go równania (6.20):

(

)

2

12

2

11

1

I

a

U

a

U

−

+

=

⇒

1

2

12

11

1

1

1

I

I

z

z

I

U

Z

we

+

=

=

Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że

2

2

I

Z

U

obc

−

=

(

)

2

22

2

21

1

I

a

U

a

I

−

+

=

⇒

22

21

1

2

z

Z

z

I

I

obc

+

−

=

Stąd:

22

21

12

11

1

1

1

z

Z

z

z

z

I

U

Z

obc

we

+

−

=

=

(6.34)

W granicznym przypadku gdy strona wtórna jest:

•

rozwarta (Z

obc

=

∞

), impedancja ta staje się

impedancj

ą

wej

ś

ciow

ą

pierwotn

ą

rozwarciow

ą Z

1o

i wynosi

11

1

1

z

Z

Z

o

we

=

=

(6.35)

•

zwarta (Z

obc

= 0 ), impedancja ta staje się

impedancj

ą

wej

ś

ciow

ą

pierwotn

ą

zwarciow

ą Z

1z

i wynosi

22

1

1

det

z

Z

Z

z

we

Z

=

=

(6.36)

- 21 -

2. IMPEDANCYJA WEJ

ŚCIOWA WTÓRNA

jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika przy zwar-
tym źródle E

g

po stronie pierwotnej (tzn. E

g

= 0) i wyraża się stosun-

kiem napięcia do prądu wtórnego (

rys.6.13

)

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

Z

g

Z

obc

1’

2

2’

Z

we2

=

U

2

I

2

Rys.6.13.

Postępując analogicznie jak dla impedancji wejściowej pierwotnej i

pamiętając, że

1

1

I

Z

U

g

−

=

otrzymuje się:

11

21

12

22

2

2

2

z

Z

z

z

z

I

U

Z

g

we

+

−

=

=

(6.37)

W granicznym przypadku gdy strona pierwotna jest:

•

rozwarta (Z

g

=

∞

), impedancja ta staje się

impedancj

ą

wej

ś

ciow

ą

wtórn

ą

rozwarciow

ą Z

2o

i wynosi

22

2

2

z

Z

Z

o

we

=

=

(6.38)

•

zwarta (Z

g

= 0 ), impedancja ta staje się

impedancj

ą

wej

ś

ciow

ą

wtórn

ą

zwarciow

ą Z

2z

i wynosi

11

2

2

det

z

Z

Z

z

we

Z

=

=

(6.39)

UWAGA:
Tak określone impedancje zwarciowe i rozwarciowe, pierwotne i wtórne
związane są zależnością:

Z

det

1

2

2

1

=

=

z

o

z

o

Z

Z

Z

Z

- 22 -

3. WZMOCNIENIE NAPI

ĘCIOWE

(TRANSMITANCJA NAPIĘCIOWA)

obc

obc

u

Z

z

Z

z

U

U

K

11

21

1

2

det

+

=

=

Z

(6.40)

Gdy uwzględni się fakt zasilania z rzeczywistego źródła energii, mówimy
o

skutecznym wzmocnieniu napi

ę

ciowym:

1

1

1

1

2

1

1

2

2

1

we

g

u

we

g

g

g

sk

u

Z

Z

K

Z

U

Z

U

U

I

Z

U

U

E

U

K

+

=

+

=

+

=

=

(6.41)

4. WZMOCNIENIE PR

ĄDOWE

(TRANSMITANCJA PRĄDOWA)

obc

i

Z

z

z

I

I

K

+

−

=

=

22

21

1

2

(6.42)

Gdy uwzględni się fakt zasilania z rzeczywistego źródła energii, mówimy
o

skutecznym wzmocnieniu pr

ą

dowym:

g

we

i

sk

i

Z

Z

K

K

1

1

+

=

(6.43)

UWAGA:

Wszystkie określone powyżej transmitancje (wzmocnienia) mogą
być również wyrażone w mierze logarytmicznej, t.j. w neperach
lub decybelach:

[ ]

[ ]

dB

K

K

N

K

K

dB

N

lg

20

ln

=

=

- 23 -

6.3.5. PARAMETRY FALOWE CZWÓRNIKA

Parametry falowe czwórnika określane są dla szczególnych warunków

pracy czwórnika a mianowicie przy tzw. dopasowaniu falowym.

IMPEDANCJA FALOWA

Rozważmy czwórnik pracujący w układzie przesyłowym - źródło

wymuszeń o napięciu źródłowym E

g

i impedancji wewnętrznej Z

g

dołą-

czono do wrót pierwotnych, a wrota wtórne czwórnika obciążono dwójni-
kiem o impedancji Z

obc

(rys.6.14)

I

1

U

1

I

2

CZWÓRNIK

U

2

1

Z

obc

1’

2

2’

Z

we2

=

U

2

I

2

Rys.6.14.

Z

we1

=

U

1

I

1

Z

g

E

g

E

g

=0

W oparciu o równania łańcuchowe oraz uwzględniając, że

2

2

I

Z

U

obc

−

=

i

1

1

I

Z

U

g

−

=

można impedancje wejściowe określić związkami:

impedancja wejściowa pierwotna

22

21

12

11

1

1

1

a

a

Z

a

a

Z

I

U

Z

obc

obc

we

+

+

=

=

(6.44)

impedancja wejściowa wtórna

11

21

12

22

2

2

2

a

a

Z

a

a

Z

I

U

Z

g

g

we

+

+

=

=

(6.45)

Dopasowaniem falowym nazywamy tak dobrane impedancje Z

g

i Z

obc

,

że zachodzi:

2

1

we

obc

we

g

Z

Z

oraz

Z

Z

=

=

(6.46)

- 24 -

Oznacza to, że przyjmujemy istnienie takich dwóch impedancji

2

1

1

2

we

we

f

Z

Z

oraz

Z

Z

f

=

=

(6.47)

nazywanych

falowymi (charakterystycznymi)

odpowiednio strony pier-

wotnej i strony wtórnej.

Mówimy wówczas o dopasowaniu czwórnika do źródła lub do obciążenia.

•

Jeśli impedancja wewnętrzna generatora zasilającego czwórnik od

strony wrót wejściowych jest równa jego impedancji falowej pier-
wotnej (Z

g

=Z

f1

), to mówimy że czwórnik jest dopasowany falowo

na wej

ściu (wówczas impedancja wejściowa wtórna jest równa jego

impedancji falowej wtórnej).

CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

Z

we2

=

Z

g

= Z

f1

Z

f2

•

Jeżeli natomiast impedancja obciążenia dołączona do wrót wyjścio-
wych czwórnika jest równa jego impedancji falowej wtórnej
(Z

obc

=Z

f2

), to mówimy, że czwórnik jest dopasowany falowo na

wyj

ściu ( wówczas impedancja wejściowa pierwotna jest równa jego

impedancji falowej pierwotnej).

CZWÓRNIK

1

1’

2

2’

Z

we1

=

Z

obc

= Z

f2

Z

f1

Czwórnik jest w stanie dopasowania falowego, jeśli jest dopaso-
wany na wejściu i na wyjściu.

- 25 -

Przyjmując zależności 6.47 i 6.46 oraz biorąc pod uwagę wzory 6.44 oraz
6.45, otrzymamy:

22

21

2

12

11

2

1

a

a

Z

a

a

Z

Z

f

f

f

+

+

=

11

21

1

12

22

1

2

a

a

Z

a

a

Z

Z

f

f

f

+

+

=

Rozwiązując otrzymany układ równań ze względu na Z

f1

i Z

f2

, dostaniemy:

impedancja falowa pierwotna

22

21

12

11

1

a

a

a

a

Z

f

=

(6.48)

impedancja falowa wtórna

11

21

12

22

2

a

a

a

a

Z

f

=

(6.49)

Impedancje falowe można uzależnić od impedancji wejściowych stanu

jałowego i stanu zwarcia.

Ponieważ impedancja wej

ściowa pierwotna:

•

rozwarciowa

21

11

1

a

a

Z

o

=

(6.50)

•

zwarciowa

22

12

1

a

a

Z

z

=

(6.51)

natomiast impedancja wej

ściowa wtórna:

•

rozwarciowa

21

22

2

a

a

Z

o

=

(6.52)

•

zwarciowa

11

12

2

a

a

Z

z

=

(6.53)

zatem

- 26 -

impedancja falowa pierwotna

z

o

f

Z

Z

Z

1

1

1

=

(6.54)

impedancja falowa wtórna

z

o

f

Z

Z

Z

2

2

2

=

(6.55)

IMPEDANCJ

Ę FALOWĄ CZWÓRNIKA

określamy jako średnią

geometryczną impedancji falowej pierwotnej i wtórnej

2

1

f

f

f

Z

Z

Z

=

(6.56)

Jeśli czwórnik jest symetryczny (a

11

=a

22

) to posiada tylko jedną impe-

dancję falową

z

o

f

f

f

Z

Z

a

a

Z

Z

Z

=

=

=

=

21

12

2

1

(6.57)

Dla czwórnika niesymetrycznego możemy również posługiwać się po-

jęciem

przekładni impedancyjnej

czwórnika określonej następująco:

1

2

f

f

Z

Z

p

=

(6.58)

Łatwo wówczas wykazać, że

f

f

f

f

Z

p

Z

p

Z

Z

=

=

2

1

,

(6.59)

i co jest oczywiste p = 1 dla czwórnika symetrycznego.

- 27 -

TAMOWNO

ŚĆ FALOWA (

współczynnik przenoszenia falowego

)

Drugim istotnym parametrem falowym czwórnika jest tamowność fa-

lowa „g”. Określa się ją dla czwórnika dopasowanego falowo na

•

wyj

ściu jak tamowność falową pierwotną

(

)

2

2

1

1

1

ln

2

1

I

U

I

U

g

−

=

(6.60)

•

wej

ściu jak tamowność falową wtórną

(

)

1

1

2

2

2

ln

2

1

I

U

I

U

g

−

=

(6.61)

Dla czwórnika odwracalnego oba współczynniki przenoszenia są so-

bie równe i wyraża się je za pomocą parametrów macierzy łańcuchowej
jako:

(

)

21

12

22

11

2

1

ln

a

a

a

a

g

g

g

+

=

=

=

(6.62)

oraz w postaci hiperbolicznej

21

12

22

11

a

a

g

a

a

g

=

=

sh

ch

(6.63)

W przypadku czwórnika symetrycznego - pamiętając, że

2

2

1

1

I

U

I

U

Z

f

=

=

(6.64)

(

)

2

1

2

1

ln

ln

I

I

U

U

g

−

=

=

(6.65)

(

)

=













−

+

=

+

=

1

ln

ln

2

11

11

21

12

11

a

a

a

a

a

g

(6.66)

oraz w postaci hiperbolicznej

11

a

g

=

ch

(6.67)

- 28 -

Istnieje również możliwość wyznaczenia tamowności falowej czwórnika
symetrycznego w oparciu o pomiar jego impedancji w stanie zwarcia i w
stanie jałowym.

o

z

Z

Z

g

=

ch

(6.68)

Ogólnie tamowność jest liczbą zespoloną o postaci

jb

a

g

+

=

gdzie:

a=Re(g)-współczynnik tłumienia (tłumienność),
b=Im(g)-współczynnik przesunięcia fazowego (przesuwność).

Zależność (6.65) przedstawia liczbę zespoloną:

(

)

(

)

jb

a

jb

a

g

j

j

j

e

e

e

e

e

U

U

e

U

e

U

U

U

=

=

=

=

=

+

−

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

(6.69)

której

moduł informuje nas o tym: ile razy sygnał wejściowy przewyższa
sygnał wyjściowy - jest zatem miarą tłumienia sygnału przy przej-
ś

ciu przez czwórnik;

argument podaje wartość kąta zawartego pomiędzy sygnałem wej-
ś

ciowym i wyjściowym - jest zatem miarą zmiany fazy sygnału

przy przejściu przez czwórnik.