7 B Wykład OiSE

background image

- 16 -

7.2. OPIS SYGNAŁU IMPULSOWEGO

Sygnał określony funkcją f(t) spełniający następujące warunki:

(

)

( )

,...

2

,

1

,

=

+

k

t

f

kT

t

f

(nieokresowy)

( )

<

+

dt

t

f

2

(o skończonej energii)

nazywamy sygnałem IMPULSOWYM.

PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA

Jeśli funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale t

(-

,

)

to istnieje wówczas jej transformata Fouriera (

F

- transformata) określona

wzorem

( )

( )

( )

[ ]

t

f

dt

e

t

f

j

F

t

j

F

=

=

+

ω

ω

,

(7.33)

będąca funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej

ω

określoną w przedziale

ω

(-

,+

).

Zatem, zależność (7.33) -
nazywana

PROSTYM

PRZEKSZTAŁCENIEM FOURIERA

- pozwala przyporządkować opisowi sygnału w dziedzinie czasu, opis

w dziedzinie częstotliwości.

Jeśli ponadto funkcja f(t) jest funkcją przedziałami regularną, to pra-

wie wszędzie w przedziale t

(-

,+

) :

( )

( )

[

]

ω

ω

ω

π

ω

j

F

d

e

j

F

t

f

t

j

1

2

1

)

(

+

=

=

F

,

(7.34)

Czyli, zależność (7.34) -
nazywana

ODWROTNYM

PRZEKSZTAŁCENIEM FOURIERA

- umożliwia wyznaczenie funkcji f(t) na podstawie

F

- transformaty.

background image

- 17 -

WIDMO SYGNAŁU IMPULSOWEGO

Funkcja

F(j

ω

ωω

ω

) nazywana jest funkcją

g

ę

sto

ś

ci widmowej sygnału

f(t). W ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona, którą można przed-
stawić w postaci:

( )

( )

( )

( )

( )

ω

ω

ω

ω

ω

Ψ

X

R

j

F

j

F

e

F

j

F

+

=

=

(7.35)





gdzie:

( )

( )

ω

ω

j

F

F

=

( )

( )

ω

ω

2

2

X

R

F

F

+

=

( )

( )

ω

ω

Ψ

j

F

arg

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ω

ω

ω

ω

ω

ω

F

F

arc

F

F

arc

F

F

tg

arc

R

X

R

X

cos

sin

=

=

=

( )

( )

dt

t

t

f

F

R

ω

ω

cos

+

=

( )

( )

dt

t

t

f

F

X

ω

ω

sin

+

=

Ww. widma są funkcjami ciągłymi zmiennej rzeczywistej

ω

ωω

ω

.

Funkcje typu F(j

ω

) nazywamy również obrazem, a f(t) oryginałem. Zatem

prosta transformata Fouriera przyporządkowuje jednoznacznie oryginałowi
jego obraz.

UWAGA:

( )

( )

(

)

ω

ω

ω

j

F

j

F

F

=

=

-

funkcja parzysta

( )

( )

ω

Ψ

ω

Ψ

=

-

funkcja nieparzysta

gęstość widmowa

widmo gęstości fazy

widmo gęstości amplitud

background image

- 18 -

WIDMO G

Ę

STO

Ś

CI ENERGII

Dla sygnałów nieokresowych energia sygnału rozpatrywanego w nie-

ograniczonym przedziale czasu (-

, +

) ma na ogół wartość skończoną,

zaś średnia wartość mocy takiego sygnału (tj. średnia energia na jednostkę
czasu) jest równa zeru. Dlatego dla sygnałów impulsowych stosuje się po-
jęcie widma gęstości energii.


Energię sygnału

( )

dt

t

f

W

+

=

2

(7.36)

można także określić w dziedzinie częstotliwości (kątowej) na podstawie
równości Parsevala-Rayleigha:

( )

( )

ω

ω

π

d

F

dt

t

f

+

+

=

2

2

2

1

(7.37)

czyli

( )

ω

ω

π

d

F

W

+

=

0

2

1

(7.38)

Wielkość

( )

( )

ω

π

ω

2

1

F

S

df

=

(7.39)

nazywamy

widmem gęstości energii

sygnału f(t).

Zatem energia sygnału

( )

( )

+

+

=

=

0

2

ω

ω

d

S

dt

t

f

W

(7.40)

Z powyższego wyrażenia wynika, że sygnał f(t) zajmuje nieograniczone
pasmo częstotliwości -

ω

[0,

].

background image

- 19 -

KRYTERIUM ENERGETYCZNE

Często przyjmuje się pewien przybliżony opis częstotliwościowy sy-

gnałów polegający na ograniczeniu pasma zajmowanego przez sygnał.


Przyjmuje się zatem, że sygnał zajmuje pasmo np.

(0-

ω

g

)

bądź (

ω

d

-

ω

g

)

jeśli w tym paśmie zawarta jest k

W

-ta część energii sygnału.

Jeżeli w wyrażeniu (7.40) za górną granicę całkowania w miejsce +

wstawimy

ω

g

to

( )

W

d

S

k

g

W

=

ω

ω

ω

0

(7.41)

Zatem przyjęcie określonej wartości liczbowej dla k

W

- np. k

W

= 0,95

determinuje wartość

ω

g

(częstotliwość graniczną) i tym samym pomijamy

widmo leżące poza pasmem tzn. przyjmujemy F(

ω

) = 0 dla

ω

ω

g.

Szerokość pasma zajmowanego przez sygnał impulsowy określamy w
oparciu o kryterium energetyczne gdzie k

W

stanowi wartość liczbową

tego kryterium, przy czym przyjęcie konkretnej wartości k

W

wynika z

ustalonego a priori przybliżenia rzeczywistości.


background image

- 20 -

PRZYKŁAD:

Dany jest sygnał f(t) będący impulsem prostokątnym
(tzw. funkcja bramkowa) przedstawiony na rysunku.

t

f(t)

τ

A

τ

2

τ

2

1) Opisujemy sygnał f(t) analitycznie

( )



>

<

<

<

=

2

0

2

2

2

0

τ

τ

τ

τ

t

dla

t

dla

A

t

dla

t

f

2) Wyznaczamy funkcj

ę

g

ę

sto

ś

ci widmowej

(

F

- transformatę)

( )

( )

dt

e

t

f

j

F

t

j

ω

ω

+

=

( )

ω

j

F

=

=

=

=

+

+

+

2

2

2

2

2

2

1

τ

τ

ω

τ

τ

ω

τ

τ

ω

ω

t

j

t

j

t

j

e

j

A

dt

e

A

dt

Ae

=

=

=

=

+

2

2

2

2

2

2

τ

ω

τ

ω

τ

ω

τ

ω

τ

τ

ω

ω

ω

ω

j

j

j

j

t

j

e

e

j

A

e

e

j

A

e

j

A

j

e

e

że

wiemy

j

j

2

sin

,

α

α

α

=

background image

- 21 -

=

=





=

2

sin

2

2

2

2

2

τ

ω

ω

ω

τ

ω

τ

ω

A

j

e

e

j

j

A

j

j

2

2

sin

2

2

τ

ω

τ

ω

ω

τ

ω

=

A

Zatem

( )

=

2

τ

ω

τ

ω

Sa

A

j

F

Czyli funkcja gęstości widmowej F(j

ω

) funkcji bramkowej jest funkcją

rzeczywistą a zatem F

X

(

ω

) = 0.


3) Wyznaczamy widmo g

ę

sto

ś

ci amplitud

( )

( )

=

=

2

ωτ

τ

ω

ω

Sa

A

j

F

F


Uwaga:

( )

τ

A

F

=

0

( )

0

=

ω

F

gdy

n

π

ωτ

=

2

czyli dla

τ

π

ω

n

2

=

background image

- 22 -


4) Wyznaczamy widmo g

ę

sto

ś

ci fazy

( )

( )

ω

ω

Ψ

j

F

arg

=

Ponieważ funkcja gęstości widmowej rozpatrywanego sygnału jest
wielkością rzeczywistą, zatem widmo gęstości fazy jest przedziałami
stałe i przybiera wartości 0 lub

±π

ω

0

2

π

τ

τ

τ

-2

π

τ

-4

π

τ

-6

π

τ

Ψ ω

( )

180

o

-180

o

background image

- 23 -

5) Wyznaczamy widmo g

ę

sto

ś

ci energii

( )

( )

ω

π

ω

2

1

F

S

=

( )

( )

=





=

2

2

1

2

2

2

ωτ

π

τ

ωτ

τ

π

ω

Sa

A

Sa

A

S

S( )

ω

2

π

τ

τ

τ

ω

(A

τ)

2

π

0


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

W

2

π

τ

τ

τ

ω


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 Wyklad OiSE id 33284 Nieznany
8 B Wykład OiSE
8.A Wykład OiSE
10.A Wykład OiSE
9 Wykład OiSE
6 B Wykład OiSE
8.B Wykład OiSE
6.A Wykład OiSE CZWÓRNIK, Wojskowa Akademia Techniczna (WAT), Obwody i Sygnały, Materiały 2013
7 A Wyklad OiSE id 45099 Nieznany (2)
5 A Wykład OiSE
10 B Wykład OiSE
5 B Wyklad OiSE id 40059 Nieznany (2)
6 A Wyklad OiSE id 43560 Nieznany (2)
4 Wyklad OiSE id 37360 Nieznany (2)
3 Wyklad OiSE id 33284 Nieznany
Wykłady Paw OiSE cz. 3, Wojskowa Akademia Techniczna (WAT), Obwody i Sygnały
Napęd Elektryczny wykład
wykład5

więcej podobnych podstron