Dr inż. Janusz Dębiński

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

2. Analiza stanów naprężenia i odkształcenia

2.1. Zadanie 1

Na rysunku 2.1 przedstawiono prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych. Siła normalna w

pręcie R wyznaczona metodą Rittera

N

R

=

49,16 kN .

(2.1)

W pręcie tym działa

σ

X

=

N

R

A

=

49,16

45,0

=

1,092

kN

cm

2

=

10,92 MPa .

(2.2)

Wydłużenie pręta

Δ L=

N

R

⋅

L

E⋅A

=

49,16⋅8,0

205⋅10

6

⋅

45,0⋅10

−

4

=

0,000426 m=0,426 mm .

(2.3)

2.2. Zadanie 2

Na rysunku 2.2a przedstawiono prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych działających w przekro-

ju

α−α

. Graficzną interpretację stanu naprężenia w punkcie A w układzie ZX przedstawiono na rysunku

2.2b.

1,0

[m]

Z=Z

gl

X

20,0 kN

32,0 kN

24,0 kN∙m

Z

X

32,79 MPa

12,08 MPa

12,08 MPa

32,79 MPa

a)

b)

Rys. 2.2. Odpowiedź do zadania 2. a) siły przekrojowe, b) naprężenia działające w punkcie A

2.3. Zadanie 3

Na rysunku 2.3a przedstawiono prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych działających w przekro-

ju

α−α

. Graficzną interpretację stanu naprężenia w punkcie A w układzie ZX przedstawiono na rysunku

2.3b.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

2

Z=Z

gl

X

19,0 kN

8,0 kN

22,0 kN∙m

1,0

[m]

Z

X

33,39 MPa

1,862 MPa

1,862 MPa

33,39 MPa

a)

b)

Rys. 2.3. Odpowiedź do zadania 3. a) siły przekrojowe, b) naprężenia działające w punkcie A

2.4. Zadanie 4

Na rysunku 2.4a przedstawiono prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych działających w przekro-

ju

α−α

. Graficzną interpretację stanu naprężenia w punkcie A w układzie ZX przedstawiono na rysunku

2.4b.

1,5

3,0

3,

0

19,0 kN/m

15,0 kN

[m]

Z=Z

gl

X

15,0 kN

57

,0

k

N

244,5 kN∙m

Y

X

305,2 MPa

2,022 MPa

2,022 MPa

305,2 MPa

a)

b)

Rys. 2.4. Odpowiedź do zadania 3. a) siły przekrojowe, b) naprężenia działające w punkcie A

2.5. Zadanie 5

Na rysunku 2.5a przedstawiono prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych działających w przekro-

ju

α−α

. Graficzną interpretację stanu naprężenia w punkcie A w układzie ZX przedstawiono na rysunku

2.5b.

2.6. Zadanie 6

W przekroju prostokątnym działają naprężenia

σ

X

=−

19,35 MPa ;

(2.4)

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

3

1,0

[m]

Z=Z

gl

X

32,0 kN

19,0 kN

70,0 kN∙m

128,1 MPa

0,7675 MPa

Y

X

0,7675 MPa

128,1 MPa

a)

b)

Rys. 2.5. Odpowiedź do zadania 5. a) siły przekrojowe, b) naprężenia działające w punkcie A

τ

XZ

=−

1,252 MPa .

(2.5)

Naprężenie zredukowane

σ

red

=

19,47 MPa .

(2.6)

2.7. Zadanie 7

Na rysunku 2.6 przedstawiono naprężenia normalne oraz styczne działające w punkcie A przekroju dwu-

teowego obciążonego siłą poprzeczną i momentem zginającym.

44,82 MPa

46,39 MPa

Z

X

46,39 MPa

44,82 MPa

Rys. 2.6. Naprężenia działające w punkcie A przekroju dwuteowego

2.8. Zadanie 8

Na rysunku 2.7 przedstawiono naprężenia normalne oraz styczne działające w punkcie A przekroju dwu-

teowego obciążonego siłą poprzeczną i momentem zginającym.

56,89 MPa

6,624 MPa

Y

X

6,624 MPa

56,89 MPa

Rys. 2.7. Naprężenia działające w punkcie A przekroju dwuteowego

2.9. Zadanie 9

Na rysunku 2.8 przedstawiono naprężenia normalne oraz styczne działające w punkcie A przekroju dwu-

teowego obciążonego siłą poprzeczną i momentem zginającym.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

4

53,65 MPa

31,78 MPa

Z

X

31,78 MPa

53,65 MPa

Rys. 2.8. Naprężenia działające w punkcie A przekroju dwuteowego

2.10. Zadanie 10

Na rysunku 2.9 przedstawiono naprężenia normalne oraz styczne działające w punkcie A przekroju

skrzynkowego obciążonego siłą poprzeczną i momentem zginającym.

43,20 MPa

4,706 MPa

Y

X

4,706 MPa

43,20 MPa

Rys. 2.9. Naprężenia działające w punkcie A przekroju skrzynkowego

2.11. Zadanie 11

Na rysunku 2.10 przedstawiono naprężenia normalne oraz styczne działające w punkcie A przekroju teo -

wego obciążonego siłą poprzeczną i momentem zginającym.

96,61 MPa

37,78 MPa

Z

X

37,78 MPa

96,61 MPa

Rys. 2.10. Naprężenia działające w punkcie A przekroju teowego

2.12. Zadanie 12

Na rysunku 2.11 przedstawiono naprężenia normalne oraz styczne działające w punkcie A przekroju teo -

wego obciążonego siłą poprzeczną i momentem zginającym.

2.13. Zadanie 13

Na rysunku 2.12 przedstawiono kierunek i naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia.

2.14. Zadanie 14

Na rysunku 2.13 przedstawiono kierunek i naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

5

59,37 MPa

9,499 MPa

Y

X

9,499 MPa

59,37 MPa

Rys. 2.11. Naprężenia działające w punkcie A przekroju teowego

Z

X

Z

gl

X

gl

152

,5 M

Pa

152

,5 M

Pa

29

,0

0 M

P

a

29

,0

0 M

P

a

23,56

O

Rys. 2.12. Kierunek i naprężenia główne

Z

X

23,75

O

Z

gl

X

gl

225

,8 M

Pa

225

,8 M

Pa

43

,6

7 M

P

a

43

,6

7 M

P

a

Rys. 2.13. Kierunek i naprężenia główne

2.15. Zadanie 15

Na rysunku 2.14a przedstawiono kierunek i naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia. Odkształce -

nia główne

ε

Xgl

=−

491,9⋅10

−

6

;

(2.7)

ε

Ygl

=

126,6⋅10

−

6

;

(2.8)

ε

Zgl

=

196,5⋅10

−

6

.

(2.9)

Graficzną interpretację tych odkształceń przedstawiono na rysunku 2.14b.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

6

Z

X

18,59

O

Z

gl

X

gl

97,53 M

Pa

97,53 M

Pa

11

,0

3

M

P

a

11,03 M

Pa

a)

Z

X

18,59

O

Z

gl

X

gl

b)

Rys. 2.14. Naprężenia i odkształcenia główne. a) kierunek i naprężenia główne, b) kierunek i odkształcenia główne

2.16. Zadanie 16

Na rysunku 2.15a przedstawiono kierunek i naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia. Odkształce -

nia główne

ε

Xgl

=

311,6⋅10

−

6

;

(2.7)

ε

Ygl

=−

22,24⋅10

−

6

;

(2.8)

ε

Zgl

=−

259,7⋅10

−

6

.

(2.9)

Graficzną interpretację tych odkształceń przedstawiono na rysunku 2.15b.

Z

X

40,14

O

a)

b)

Z

gl

X

gl

52,6

5 M

Pa

52,6

5 M

Pa

37

,4

5

M

Pa

37

,4

5

M

Pa

Z

40,14

O

Z

gl

X

gl

X

Rys. 2.15. Naprężenia i odkształcenia główne. a) kierunek i naprężenia główne, b) kierunek i odkształcenia główne

2.17. Zadanie 17

Na rysunku 2.16 przedstawiono kierunek i naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia.

2.18. Zadanie 18

Na rysunku 2.17 przedstawiono kierunek i naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

7

Z

X

26,00

O

Z

gl

X

gl

65,

61

MP

a

65,

61

MP

a

15

,6

1 M

P

a

15

,6

1 M

P

a

Rys. 2.16. Kierunek i naprężenia główne

Z

X

26,56

O

Z

gl

X

gl

72,00

MPa

72,00

MPa

18

,0

0

M

P

a

18

,0

0

M

P

a

Rys. 2.17. Kierunek i naprężenia główne

2.19. Zadanie 19

Na początek zakłada się, że przekrój jest pojedynczo zbrojony. Użyteczna wysokość przekroju żelbe-

towego

d =70,0−5,0=65,0 cm .

(2.10)

Maksymalny wymiar strefy ściskanej w betonie

x

lim

=

0,4935⋅d =0,4935⋅65,0=32,08 cm .

(2.11)

Równanie sumy momentów wszystkich sił działających w przekroju żelbetowym względem zbrojenia
dolnego (rozciąganego) ma postać

Σ

M=35000−x

eff

⋅

40,0⋅2,143⋅

(

65,0−

x

eff

2

)

=

0.

(2.12)

Równanie kwadratowe ma postać

42,86⋅x

eff

2

−

5572⋅x

eff

+

35000=0.

(2.13)

Wymiar strefy ściskanej w betonie

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

8

x

eff

=

6,618 cm .

(2.14)

Przekrój jest więc rzeczywiście pojedynczo zbrojony. Pola powierzchni zbrojenia

A

S 1

=

13,05 cm

2

;

(2.15)

A

S 2

=

0,0cm

2

.

(2.16)

2.20. Zadanie 20

Na początek zakłada się, że przekrój jest pojedynczo zbrojony. Użyteczna wysokość przekroju żelbe-

towego

d =80,0−5,0=75,0 cm .

(2.17)

Maksymalny wymiar strefy ściskanej w betonie

x

lim

=

0,4935⋅d =0,4935⋅75,0=37,01 cm .

(2.18)

Równanie sumy momentów wszystkich sił działających w przekroju żelbetowym względem zbrojenia dol-
nego (rozciąganego) ma postać

Σ

M=155000−x

eff

⋅

40,0⋅1,786⋅

(

75,0−

x

eff

2

)

=

0.

(2.19)

Równanie kwadratowe ma postać

35,72⋅x

eff

2

−

5358⋅x

eff

+

155000=0.

(2.20)

Wymiar strefy ściskanej w betonie

x

eff

=

39,14 cm .

(2.21)

Przekrój jest w rzeczywistości podwójnie zbrojony. Moment zginający, który odpowiada pełnemu wyko-
rzystaniu strefy ściskanej w betonie wyznacza się z równania sumy momentów względem zbrojenia dolnego
(rozciąganego), które ma postać

Σ

M=M

1,1

−

37,01⋅40,0⋅1,786⋅

(

75,0−

37,01

2

)

=

0.

M

1,1

=

149400 kN⋅cm .

(2.22)

Pole powierzchni zbrojenia rozciąganego dla momentu zginającego M

1,1

wyznacza się z równania równowa-

gi

Σ

X=43,48⋅A

S 1,1

−

37,01⋅40,0⋅1,786=0.

A

S 1,1

=

60,81 cm

2

.

(2.23)

Moment zginający przypadający na zbrojenie ściskane

M

1,2

=

M

1

−

M

1,1

=

155000−149400=5600 kN⋅cm.

(2.24)

Pole powierzchni zbrojenia ściskanego wyznacza się z równania równowagi

Σ

M

A

=

5600−43,48⋅A

S 2

⋅

70,0=0

A

S 2

=

1,840cm

2

.

(2.25)

Pole powierzchni dodatkowego zbrojenia rozciąganego

A

S 1,2

=

1,840 cm

2

.

(2.26)

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

odpowiedzi

9

Ostatecznie pole powierzchni zbrojenia rozciąganego

A

S 1

=

A

S 1,1

+

A

S 1,2

=

60,81+1,840=62,65cm

2

.

2.21. Zadanie 21

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I