Zadania z matematyki dla Towaroznawstwa
Zestaw VII
A. Całki funkcji wymiernych
Zadanie 1
Podaj wzory na całki funkcji wymiernych:
dx
dx
a)
;
e)
, gdzie a 0 ;
x a
x b2 a
dx
b)
;
x
f)
dx ;
x 2
a
x a2
dx
c)
, gdzie a b ;
x
g)
dx , gdzie a b ;
x a x b
x a x b
dx
d)
;
x
2
h)
dx ,
gdzie a>0.
x 1
x 2 a
Zadanie 2
Korzystając ze wzorów b), c) oraz e) z zadania 1. oblicz całki: dx
dx
a)
;
e)
;
2
x x 2
2
x 4
dx
dx
b)
;
f)
2
x 2 x 1
2
x 4 x 3
dx
dx
c)
;
g)
;
2
x 2 x 3
2
x 4 x 4
dx
dx
d)
;
h)
.
2
x 4
2
x 4 x 5
Zadanie 3
Oblicz całki funkcji wymiernych:
3
x
a)
dx ;
d)
dx ;
x 3
x 2 5 x 6
dx
x
b)
;
e)
dx ;
2 2
x 4 x 2
x 2 3
x
x
c)
dx ;
f)
dx .
2 x 2
6
3 x 2 12
Zadanie 4
Oblicz całki funkcji wymiernych:
2 x 2 8 x 5
x 2 x 2
a)
dx ;
d)
dx ;
x 2 x 2
x 2 4 x 7
2 x 2 2 x 1
3 x 2 8 x 2
b)
dx ;
e)
dx ;
x 2 2 x 2
x 2 6 x 9
2
x 1
x 2
c)
f)
dx .
2
x 1
3 x 1
1
B. Długość, pole powierzchni i objętość
Zadanie 5
Dana jest funkcja y f x określona na odcinku a, b . Podaj wzory na: a) Długość wykresu tej funkcji;
b) Objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji wokół osi x; c) Pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót wykresu wokół osi x.
Zadanie 6
Oblicz długość łuku krzywej y x x dla x 0, 4 / 3 . Wykonaj rysunek.
Zadanie 7
Oblicz długość łuku paraboli y x 2 1 dla x 0;2 . Wykonaj rysunek.
1
1
(Wskazówka:
x 2 c dx x x 2 c
c
x
x 2 c
dla c 0
ln (
)
).
2
2
Zadanie 8
Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót paraboli y x 2 1 wokół odcinka 0;2 na osi x. Wykonaj rysunek.
Zadanie 9
Oblicz objętość oraz pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót prostej y x 1 wokół
odcinka 1;5 . Wykonaj rysunek. Co to za bryła?
Zadanie 10
Oblicz objętość oraz pole powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji y
x 2
wokół odcinka 0;4 . Wykonaj rysunek.
Zadanie 11
Wyznacz pole powierzchni bocznej oraz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y
4 x 1 wokół
położonego na osi x odcinka ,
1 5 . Wykonaj rysunek.
Zadanie 12
Policz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y ln x wokół odcinka , 1 e . Wykonaj rysunek.
Zadanie 13
3
Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y f ( x)
wokół odcinka ;
5 1
4 na
2
x 2 x 8
osi x-ów. Narysuj tę bryłę, jeśli wiadomo, że funkcja y f ( x) jest malejąca i wypukła na przedziale
;
5 1
4 ln 2 .
0 7 .
2
Zadanie 14
Koszt krańcowy przedsiębiorstwa dany jest wzorem K '( x) 10 4
x 42 , gdzie x oznacza wielkość
produkcji. Wyznacz funkcję kosztów przeciętnych, jeżeli wiadomo, że dla x 1 całkowity koszt wynosi K ( )
1 300 . Dla jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny będzie najmniejszy?
Zadanie 15
Koszt krańcowy przedsiębiorstwa dany jest wzorem K '( x) 20 4
x 16 , gdzie x oznacza wielkość
produkcji. Wyznacz funkcję kosztów przeciętnych, jeżeli wiadomo, że dla x 1 całkowity koszt wynosi K ( )
1 500 . Dla jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny będzie najmniejszy?
Zadanie 16
Dla pewnej cementowni funkcja kosztów krańcowych wyraża się wzorem K
x 0 03
,
2
x ,
0 2 x 1
(w milionach złotych na tysiąc ton cementu). Plan miesięczny zakłada wytworzenie x = 10 tys. ton cementu. O ile milionów złotych wzrośnie całkowity koszt produkcji, gdy przekroczy się plan o 0,1 tys.
ton cementu? Znajdź funkcję kosztów przeciętnych dla tej cementowni wiedząc, że koszty stałe (niezależne od wielkości produkcji) są równe 0.1 mln zł.
Zadanie 17
W pewnym przedsiębiorstwie rozważano możliwość przyjęcia jednego z dwóch programów inwestycyjnych. Przyjęcie programu pierwszego zapewnia po t latach zysk krańcowy z1’(t) = 50+t2 (tys.
zł rocznie), natomiast przyjęcie programu drugiego zapewnia po t latach zyska krańcowy z2’(t) = 200+5t (tys. zł rocznie).
a) Przez ile lat program drugi będzie korzystniejszy od programu pierwszego (z2’>z1’)?
b) Jaka będzie całkowita nadwyżka zysku z przyjęcia drugiego programu inwestycyjnego w okresie wyznaczonym w a) ?
c) Podaj geometryczną interpretację nadwyżki zysku określonego w b).
Zadanie 18
Funkcja o wartościach z’(x)=110 - 2x dla x5,30 określa zysk krańcowy przedsiębiorstwa przy produkcji x jednostek pewnego produktu. Jaką funkcją określa się wtedy zysk całkowity, jeżeli przy x =
10 zysk całkowity przedsiębiorstwa wyniósł 7000 zł. Przy jakiej wielkości produkcji dla x5,30 zysk całkowity będzie największy?
3
D. Wydajność, szybkość zmian itd.
Zadanie 19
Wydajność pracy (w jedn./godz.) robotnika jest następującą funkcją długości t (godzin) czasu jego pracy: wt 4 t t . Oblicz wielkość produkcji wykonanej przez niego w ciągu pierwszych czterech godzin pracy.
Zadanie 20
Dla pewnego miasta prognoza przewiduje, że w najbliższym dziesięcioleciu szybkość wzrostu liczby jego mieszkańców będzie się zmieniać i po t latach wyniesie vt
2
4 0.01t (tys. osób/rok). Oblicz
przewidywany przeciętny roczny przyrost liczby mieszkańców w tym mieście w najbliższym dziesięcioleciu. O ile przewidywany przyrost liczby mieszkańców w pierwszym pięcioleciu jest większy niż w drugim?
Zadanie 21
Cena zakupu nowego urządzenia produkcyjnego wznosi 60000 zł. Jego wartość maleje wraz z upływem czasu użytkowania. Miesięczna zmiana wartości po t miesiącach użytkowania kształtuje się na poziomie 300 (t-20) zł. Jaką wartość będzie to urządzenie przedstawiało po 10 miesiącach użytkowania?
Zadanie 22
Na podstawie badań ustalono, że w ciągu x miesięcy ludność pewnej miejscowości będzie wzrastać zgodnie ze wskaźnikiem zmienności (z szybkością) 2+6 x osób na miesiąc. O ile wzrośnie liczba ludności w tej miejscowości w ciągu najbliższych czterech miesięcy?
Zadanie 23
Natężenie D dostaw towaru do magazynu (mierzone ilością ton dostarczonego towaru na jednostkę czasu) jest zmienne w ciągu miesiąca (30 dni) i po t dniach (licząc od początku miesiąca) wyraża się wzorem D(t) = t4 –60 t3+900 t2. W którym momencie natężenie dostaw było największe? Ile ton towaru dostarczono do tego momentu?
Zadanie 24
Zapas z ton pewnego towaru w magazynie zmienia się w ciągu miesiąca (30 dni) i po upływie t dni (licząc od początku miesiąca) wyraża się wzorem z(t)=0.01 t 3+0.15 t 2-18 t + 300. W którym momencie zapas ten jest najmniejszy? Jakie jest średnie natężenie dostaw w ciągu miesiąca? Jaki jest średni zapas w ciągu miesiąca?
4