Reprezentacja układu równań liniowych za pomocą
macierzy i wektorów
2u
+
v
+
w
=
5
4u
− 6v
=
−2
−2u
+
7v
+
2w
=
9
niewiadome:x =
u
v
w
, rozwiązanie:x =
1
1
2
Reprezentacja układu równań liniowych za pomocą
macierzy i wektorów
2u
+
v
+
w
=
5
4u
− 6v
=
−2
−2u
+
7v
+
2w
=
9
Macierz współczynników:
A =
2
1
1
4
−6 0
−2
7
2
Stopień macierzy, macierze kwadratowe i prostokątne.
Dodawanie macierzy
Macierze mogą być dodawane jedynie wtedy, kiedy mają taki sam
wymiar. Wektor to szczególny przypadek macierzy zawierający
jedną kolumnę.
2
1
3
0
0
4
+
1
2
−3 1
1
2
=
3
3
0
1
1
6
Mnożenie macierzy przez wektor
Układ równań może być zapisany w następujący sposób:
Ax = b
2
1
1
4
−6 0
−2
7
2
u
v
w
=
5
−2
9
Mnożenie macierzy przez wektor
h
2
1
1
i
u
v
w
=
h
2u
+
v
+
w
i
Iloczyn skalarny
Zadanie 1
Oblicz następujące iloczyny:
4
0
1
0
1
0
4
0
1
3
4
5
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
−2
3
"
2
0
1
3
# "
1
1
#
Zadanie 2
Wyznacz następujące iloczyny działając kolumnami:
4
1
5
1
6
1
"
1
3
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
0
4
3
6
6
8
9
"
1
2
1
3
#
Zadanie 3
Znajdź iloczyny skalarne i iloczyn macierzowy:
h
1
−2 7
i
1
−2
7
h
1
−2 7
i
3
5
1
3
5
1
h
1
−2 7
i
Zadanie 4
Jeśli mnożymy macierz A o wymiarach m × n przez wektor
n-wymiarowy, to ile oddzielnych mnożeń trzeba wykonać? Co jeśli
A mnożymy przez macierz B o wymiarach n × p?
Zadanie 5
Elementy macierzy A zapisujemy a
ij
. Użyj tej notacji i zapisz:
pierwszą oś,
mnożnik l
i 1
pierwszego wiersza, który ma być odjęty od i -tego
wiesza,
nową wartość elementu a
ij
po wykonaniu wspomnianego
odejmowania,
drugą oś.
Zadanie 6
Prawda czy fałsz? Jeśli fałsz podaj przykład dla którego
twierdzenie nie zachodzi:
1
Jeśli pierwsza i trzecia kolumna macierzy A są takie same, to
piersza i trzecia kolumna macierzy AB są również takie same.
2
Jeśli pierwszy i trzeci wiersz macierzy B są takie same, to
pierwszy i trzeci wiersz macierz AB są również takie same.
3
Jeśli pierwszy i trzeci wiersz macierzy A są takie same, to
pierwszy i trzeci wiersz macierz AB są również takie same.
4
(AB)
2
= A
2
B
2
Eliminacja Gaussa z wykorzystaniem macierzy
Ax = b
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
u
v
w
=
2
8
19
W pierwszym kroku eliminacji pierwszy element wektora b jest
pomnożony przez 2 i odjęty od drugiego elementu:
b =
2
8
19
b
n
=
2
4
19
Eliminacja Gaussa z wykorzystaniem macierzy
Macierz, która wykonuje taką operację na wektorze to:
E =
1
0
0
−2 1 0
0
0
1
b
n
= Eb
Mnożenie macierzy
EA =
1
0
0
−2 1 0
0
0
1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
EAx = Eb
E [Ab]
Zadanie 7
Zapisz macierze 3 na 3, które wykonują następujące kroki
eliminacji:
1
E
21
mnoży wiersz pierwszy przez 5 i odejmuje od wiersza 2.
2
E
32
mnoży wiersz drugi przez 7 i odejmuje od wiersza 3.
3
P zamienia wiersz 1 i 2, a potem 2 i 3.
Zadanie 8
Mając dane macierze E
21
i E
32
z zadania 7 oraz wektor
b = (1, 0, 0) wyznacz:
1
E
32
E
21
b
2
E
21
E
32
b
Zadanie 9
Znajdź macierze E
21
, E
31
, E
32
przekształcą macierz A do postaci
trójkątnej U.
A =
1
0
1
2
2
2
3
4
5
E
32
E
31
E
21
A = U
Oblicz macierz M = E
32
E
31
E
21
.
Zadanie 10
Wykorzystaj macierz z zadania 9 do stworzenia układu równań. Po
prawej stronie wykorzystaj wektor b = (1, 0, 0). Rozwiąż Ax = b.
Zadanie 11
Parabola y = a + bx + cx
2
przechodzi przez punkty (x , y ) = (1, 4),
(2, 8) i (3, 14). Znajdź i rozwiąż równanie macierzowe do tego
problemu.
Zadanie 12
Pomnóż poniższe macierze: EF i FE :
E =
1
0
0
a
1
1
0
0
1
F =
1
0
0
0
1
1
0
c
1
Oblicz również E
2
= EE oraz F
3
= FFF . Jaki będzie wynik: F
100
.
Reguły działań na macierzach
A + B = B + A
c(A + B) = cA + cB
A + (B + C ) = (A + B) + C
AB 6= BA
C (A + B) = CA + CB
(A + B)C = AC + BC
A(BC ) = (AB)C
(A
p
)(A
q
) = A
p+q
(A
p
)
q
= A
pq
Zadanie 13
Wyznacz A
2
i A
3
. Jaki będzie wynik dla A
5
i A
n
.
A =
"
1
b
0
1
#
A =
"
2
2
0
0
#
Zadanie 14
Pokaż, że (A + B)
2
nie jest równe A
2
+ 2AB + B
2
, kiedy:
A =
"
1
2
0
0
#
B =
"
1
0
3
0
#
Podaj poprawny wzór.
Macierz odwrotna
Macierz A jest odwracalna jeśli istnieje macierz A
−1
taka, że:
AA
−1
= I
i
A
−1
A = I
Macierz odwrotna
1
Macierz odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w
eliminacji możemy wskazać n elementów osiowych.
2
Macierz A nie może mieć dwóch różnych macierzy
odwrotnych.
3
Jeśli macierz A jest odwracalna, wtedy i tylko wtedy
rozwiązaniem do Ax = b jest x = A
−1
b.
4
Jeśli istnieje niezerowy wektor x , taki że Ax = 0, wtedy A nie
posiada macierzy odwrotnej.
5
Macierz 2 × 2 jest odwracalna wtedy i tylko wtedy jeśli
ad − bc nie jest równe 0:
"
a
b
c
d
#
−1
=
1
ad − bc
"
d
−b
−c
a
#
6
Macierz odwrotna macierzy diagonalnej.
Odwrotność iloczynu AB
Jeśli macierze A i B są odwracalne. Odwrotność iloczynu AB
wynosi:
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
Obliczanie A
−1
metodą eliminacji Gaussa-Jordana
AA
−1
= A[x
1
, x
2
, x
3
] = [e
1
, e
2
, e
3
] = I
[K , e
1
, e
2
, e
3
] =
−2 −1
0
1
0
0
−1
2
−1 0 1 0
0
−1
2
0
0
1
[e
1
, e
2
, e
3
, K
−1
] =
1
0
0
3/4
1/2
1/4
0
1
0
1/2
1
1/2
0
0
1
1/4
1/2
3/4
Zadanie 15
Znajdź macierze odwrotne dla:
A =
"
0
3
4
0
#
B =
"
2
0
4
2
#
C =
"
3
4
5
7
#
Zadanie 16
Rozwiąż metodą Gaussa-Jordana
[A, I ] =
"
1
3
1
0
2
7
0
1
#
[A, I ] =
"
1
4
1
0
3
9
0
1
#
Faktoryzacja LU
E
21
A =
"
1
0
−3 1
# "
2
1
6
8
#
=
"
2
1
0
5
#
= U
E
−1
21
U =
"
1
0
3
1
# "
2
1
0
5
#
=
"
2
1
6
8
#
= A
(E
32
E
31
E
21
)A = U
A = (E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
)U
A = LU
Faktoryzacja LU
Macierz U jest macierzą górnotrójkątną zawierającą elementy
osiowe na głównej przekątnej. Macierz L jest macierzą
dolnotrójkątną zawierającą jedynki na głównej diagonali.
Współczynniki l
ij
znajdują się poniżej diagonali macierzu L.
A =
2
1
0
1
2
1
0
1
2
=
1
0
0
1
2
1
0
0
2
3
1
2
1
0
0
3
2
1
0
0
4
3
3 wiersz macierzy U=(3 wiersz macierzy A)-l
31
(1 wiersz macierzy
U)-l
32
(2 wiersz macierzy U)
(3 wiersz macierzy A)=l
31
(1 wiersz macierzy U)+l
32
(2 wiersz
macierzy U)+1(3 wiersz macierzy U)
Rozwiązywanie układu równań z wykorzystaniem
faktoryzacji LU
1
Sfaktoryzuj (na LU macierz A)
2
Rozwiąż (eliminacja w przód na wektorze b z wykorzystaniem
macierzy L, a potem podstawianie za pomocą macierzy U)
Kwadratowy układ równan jest fatoryzowany na dwa trójkątne.
Rozwiąż Lc = b a potem Ux = c
Rozwiązywanie układu równań z wykorzystaniem
faktoryzacji LU
"
1
0
4
1
# "
c
11
c
21
#
=
"
5
21
#
daje:
c =
"
5
1
#
"
1
2
0
1
# "
x
11
x
21
#
=
"
5
1
#
daje:
x =
"
3
1
#
Koszt eliminacji
n
2
+ (n − 1)
2
+ . . . + 2
2
+ 1
2
1
3
n(n +
1
2
)(n + 1)
Eliminacja wymaga około
1
3
n
3
mnożeń i
1
3
n
3
odejmowań.
Zadanie 17
Jaka macierz E przekształci A do postaci trójkątnej: EA = U?
Wynmóż przez E
−1
= L, sfaktoryzuj A w LU.
A =
2
1
0
0
4
2
6
3
5
Zadanie 18
Podaj macierze E
21
i E
32
, które przekształcają macierz A do
postaci górnotrójkątnej: E
32
E
21
A = U. Sfaktoryzuj A = LU.
1
1
1
2
4
5
0
4
0
Zadanie 19
Rozwiąż system trójkątny Lc = b, a następnie Ux = c.
L =
"
1
0
4
1
#
U =
"
2
4
0
1
#
b =
"
2
11
#
Transpozycja macierzy
(A
T
)
ij
= A
ji
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
(AB)
T
= B
T
A
T
(A
−1
)
T
= (A
T
)
−1
Ax daje liniową kombinację kolumn a x
T
A
T
wierszy.
Zadanie 20
Sprawdź reguły (AB)
T
= B
T
A
T
i (AB)
T
6= A
T
B
T
dla macierzy:
A =
"
1
0
2
1
#
B =
"
1
3
0
1
#