01 alg4id 2768 Nieznany (2)

background image

Algebra z geometrią

Macierze

2.11.2010

Algebra z geometrią

background image

Reprezentacja układu równań liniowych za pomocą
macierzy i wektorów

2u

+

v

+

w

=

5

4u

6v

=

2

2u

+

7v

+

2w

=

9

niewiadome:x =


u
v

w


, rozwiązanie:x =


1
1
2


Algebra z geometrią

background image

Reprezentacja układu równań liniowych za pomocą
macierzy i wektorów

2u

+

v

+

w

=

5

4u

6v

=

2

2u

+

7v

+

2w

=

9

Macierz współczynników:

A =


2

1

1

4

6 0

2

7

2


Stopień macierzy, macierze kwadratowe i prostokątne.

Algebra z geometrią

background image

Dodawanie macierzy

Macierze mogą być dodawane jedynie wtedy, kiedy mają taki sam
wymiar. Wektor to szczególny przypadek macierzy zawierający
jedną kolumnę.


2

1

3

0

0

4


+


1

2

3 1

1

2


=


3

3

0

1

1

6


Algebra z geometrią

background image

Mnożenie macierzy przez skalar

2


2

1

3

0

0

4


=


4

2

6

0

0

8


Algebra z geometrią

background image

Mnożenie macierzy przez wektor

Układ równań może być zapisany w następujący sposób:

Ax = b


2

1

1

4

6 0

2

7

2



u
v

w


=


5

2

9


Algebra z geometrią

background image

Mnożenie macierzy przez wektor

h

2

1

1

i


u
v

w


=

h

2u

+

v

+

w

i

Iloczyn skalarny

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 1

Oblicz następujące iloczyny:


4

0

1

0

1

0

4

0

1



3
4
5



1

0

0

0

1

0

0

0

1



5

2

3


"

2

0

1

3

# "

1
1

#

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 2

Wyznacz następujące iloczyny działając kolumnami:


4

1

5

1

6

1


"

1
3

#


1

2

3

4

5

6

7

8

9



0
1
0



4

3

6

6

8

9


"

1
2

1
3

#

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 3

Znajdź iloczyny skalarne i iloczyn macierzowy:

h

1

2 7

i


1

2

7


h

1

2 7

i


3
5
1



3
5
1


h

1

2 7

i

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 4

Jeśli mnożymy macierz A o wymiarach m × n przez wektor
n-wymiarowy, to ile oddzielnych mnożeń trzeba wykonać? Co jeśli
A mnożymy przez macierz B o wymiarach n × p?

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 5

Elementy macierzy A zapisujemy a

ij

. Użyj tej notacji i zapisz:

pierwszą oś,

mnożnik l

i 1

pierwszego wiersza, który ma być odjęty od i -tego

wiesza,

nową wartość elementu a

ij

po wykonaniu wspomnianego

odejmowania,

drugą oś.

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 6

Prawda czy fałsz? Jeśli fałsz podaj przykład dla którego
twierdzenie nie zachodzi:

1

Jeśli pierwsza i trzecia kolumna macierzy A są takie same, to
piersza i trzecia kolumna macierzy AB są również takie same.

2

Jeśli pierwszy i trzeci wiersz macierzy B są takie same, to
pierwszy i trzeci wiersz macierz AB są również takie same.

3

Jeśli pierwszy i trzeci wiersz macierzy A są takie same, to
pierwszy i trzeci wiersz macierz AB są również takie same.

4

(AB)

2

= A

2

B

2

Algebra z geometrią

background image

Eliminacja Gaussa z wykorzystaniem macierzy

Ax = b


2

4

2

4

9

3

2 3

7



u
v

w


=


2
8

19


W pierwszym kroku eliminacji pierwszy element wektora b jest
pomnożony przez 2 i odjęty od drugiego elementu:

b =


2
8

19


b

n

=


2
4

19


Algebra z geometrią

background image

Eliminacja Gaussa z wykorzystaniem macierzy

Macierz, która wykonuje taką operację na wektorze to:

E =


1

0

0

2 1 0

0

0

1


b

n

= Eb

Algebra z geometrią

background image

Mnożenie macierzy

EA =


1

0

0

2 1 0

0

0

1



2

4

2

4

9

3

2 3

7


=


2

4

2

0

1

1

2 3

7


EAx = Eb

E [Ab]

Algebra z geometrią

background image

Mnożenie macierzy

AB = A[b

1

, b

2

, b

3

] = [Ab

1

, Ab

2

, Ab

3

]

Algebra z geometrią

background image

Macierz permutacji

P

23

=


1

0

0

0

0

1

0

1

0


Algebra z geometrią

background image

Zadanie 7

Zapisz macierze 3 na 3, które wykonują następujące kroki
eliminacji:

1

E

21

mnoży wiersz pierwszy przez 5 i odejmuje od wiersza 2.

2

E

32

mnoży wiersz drugi przez 7 i odejmuje od wiersza 3.

3

P zamienia wiersz 1 i 2, a potem 2 i 3.

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 8

Mając dane macierze E

21

i E

32

z zadania 7 oraz wektor

b = (1, 0, 0) wyznacz:

1

E

32

E

21

b

2

E

21

E

32

b

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 9

Znajdź macierze E

21

, E

31

, E

32

przekształcą macierz A do postaci

trójkątnej U.

A =


1

0

1

2

2

2

3

4

5


E

32

E

31

E

21

A = U

Oblicz macierz M = E

32

E

31

E

21

.

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 10

Wykorzystaj macierz z zadania 9 do stworzenia układu równań. Po
prawej stronie wykorzystaj wektor b = (1, 0, 0). Rozwiąż Ax = b.

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 11

Parabola y = a + bx + cx

2

przechodzi przez punkty (x , y ) = (1, 4),

(2, 8) i (3, 14). Znajdź i rozwiąż równanie macierzowe do tego
problemu.

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 12

Pomnóż poniższe macierze: EF i FE :

E =


1

0

0

a

1

1

0

0

1


F =


1

0

0

0

1

1

0

c

1


Oblicz również E

2

= EE oraz F

3

= FFF . Jaki będzie wynik: F

100

.

Algebra z geometrią

background image

Reguły działań na macierzach

A + B = B + A

c(A + B) = cA + cB

A + (B + C ) = (A + B) + C

AB 6= BA

C (A + B) = CA + CB

(A + B)C = AC + BC

A(BC ) = (AB)C

(A

p

)(A

q

) = A

p+q

(A

p

)

q

= A

pq

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 13

Wyznacz A

2

i A

3

. Jaki będzie wynik dla A

5

i A

n

.

A =

"

1

b

0

1

#

A =

"

2

2

0

0

#

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 14

Pokaż, że (A + B)

2

nie jest równe A

2

+ 2AB + B

2

, kiedy:

A =

"

1

2

0

0

#

B =

"

1

0

3

0

#

Podaj poprawny wzór.

Algebra z geometrią

background image

Macierz odwrotna

Macierz A jest odwracalna jeśli istnieje macierz A

1

taka, że:

AA

1

= I

i

A

1

A = I

Algebra z geometrią

background image

Macierz odwrotna

1

Macierz odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w
eliminacji możemy wskazać n elementów osiowych.

2

Macierz A nie może mieć dwóch różnych macierzy
odwrotnych.

3

Jeśli macierz A jest odwracalna, wtedy i tylko wtedy
rozwiązaniem do Ax = b jest x = A

1

b.

4

Jeśli istnieje niezerowy wektor x , taki że Ax = 0, wtedy A nie
posiada macierzy odwrotnej.

5

Macierz 2 × 2 jest odwracalna wtedy i tylko wtedy jeśli
ad − bc nie jest równe 0:

"

a

b

c

d

#

1

=

1

ad − bc

"

d

−b

−c

a

#

6

Macierz odwrotna macierzy diagonalnej.

Algebra z geometrią

background image

Odwrotność iloczynu AB

Jeśli macierze A i B są odwracalne. Odwrotność iloczynu AB
wynosi:

(AB)

1

= B

1

A

1

Algebra z geometrią

background image

Obliczanie A

1

metodą eliminacji Gaussa-Jordana

AA

1

= A[x

1

, x

2

, x

3

] = [e

1

, e

2

, e

3

] = I

[K , e

1

, e

2

, e

3

] =


2 1

0

1

0

0

1

2

1 0 1 0

0

1

2

0

0

1


[e

1

, e

2

, e

3

, K

1

] =


1

0

0

3/4

1/2

1/4

0

1

0

1/2

1

1/2

0

0

1

1/4

1/2

3/4


Algebra z geometrią

background image

Zadanie 15

Znajdź macierze odwrotne dla:

A =

"

0

3

4

0

#

B =

"

2

0

4

2

#

C =

"

3

4

5

7

#

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 16

Rozwiąż metodą Gaussa-Jordana

[A, I ] =

"

1

3

1

0

2

7

0

1

#

[A, I ] =

"

1

4

1

0

3

9

0

1

#

Algebra z geometrią

background image

Faktoryzacja LU

E

21

A =

"

1

0

3 1

# "

2

1

6

8

#

=

"

2

1

0

5

#

= U

E

1

21

U =

"

1

0

3

1

# "

2

1

0

5

#

=

"

2

1

6

8

#

= A

(E

32

E

31

E

21

)A = U

A = (E

1

21

E

1

31

E

1

32

)U

A = LU

Algebra z geometrią

background image

Faktoryzacja LU

Macierz U jest macierzą górnotrójkątną zawierającą elementy
osiowe na głównej przekątnej. Macierz L jest macierzą
dolnotrójkątną zawierającą jedynki na głównej diagonali.
Współczynniki l

ij

znajdują się poniżej diagonali macierzu L.

A =


2

1

0

1

2

1

0

1

2


=


1

0

0

1
2

1

0

0

2
3

1



2

1

0

0

3
2

1

0

0

4
3


3 wiersz macierzy U=(3 wiersz macierzy A)-l

31

(1 wiersz macierzy

U)-l

32

(2 wiersz macierzy U)

(3 wiersz macierzy A)=l

31

(1 wiersz macierzy U)+l

32

(2 wiersz

macierzy U)+1(3 wiersz macierzy U)

Algebra z geometrią

background image

Rozwiązywanie układu równań z wykorzystaniem
faktoryzacji LU

1

Sfaktoryzuj (na LU macierz A)

2

Rozwiąż (eliminacja w przód na wektorze b z wykorzystaniem
macierzy L, a potem podstawianie za pomocą macierzy U)

Kwadratowy układ równan jest fatoryzowany na dwa trójkątne.
Rozwiąż Lc = b a potem Ux = c

Algebra z geometrią

background image

Rozwiązywanie układu równań z wykorzystaniem
faktoryzacji LU

"

1

0

4

1

# "

c

11

c

21

#

=

"

5

21

#

daje:

c =

"

5
1

#

"

1

2

0

1

# "

x

11

x

21

#

=

"

5
1

#

daje:

x =

"

3
1

#

Algebra z geometrią

background image

Koszt eliminacji

n

2

+ (n − 1)

2

+ . . . + 2

2

+ 1

2

1
3

n(n +

1
2

)(n + 1)

Eliminacja wymaga około

1
3

n

3

mnożeń i

1
3

n

3

odejmowań.

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 17

Jaka macierz E przekształci A do postaci trójkątnej: EA = U?
Wynmóż przez E

1

= L, sfaktoryzuj A w LU.

A =


2

1

0

0

4

2

6

3

5


Algebra z geometrią

background image

Zadanie 18

Podaj macierze E

21

i E

32

, które przekształcają macierz A do

postaci górnotrójkątnej: E

32

E

21

A = U. Sfaktoryzuj A = LU.


1

1

1

2

4

5

0

4

0


Algebra z geometrią

background image

Zadanie 19

Rozwiąż system trójkątny Lc = b, a następnie Ux = c.

L =

"

1

0

4

1

#

U =

"

2

4

0

1

#

b =

"

2

11

#

Algebra z geometrią

background image

Transpozycja macierzy

(A

T

)

ij

= A

ji

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

(AB)

T

= B

T

A

T

(A

1

)

T

= (A

T

)

1

Ax daje liniową kombinację kolumn a x

T

A

T

wierszy.

Algebra z geometrią

background image

Zadanie 20

Sprawdź reguły (AB)

T

= B

T

A

T

i (AB)

T

6= A

T

B

T

dla macierzy:

A =

"

1

0

2

1

#

B =

"

1

3

0

1

#

Algebra z geometrią


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
01 aeid 3052 Nieznany (2)
NLP Magazine 01 id 320421 Nieznany
I CKN 316 01 1 id 208193 Nieznany
domowe2 01 id 140222 Nieznany
CHORZOW1 TRAGEDIA 28 01 2006 id Nieznany
01 Uprawnienia w budownictwieid Nieznany
Cwiczenie 01 id 98935 Nieznany
HUR2006 01 id 207254 Nieznany
01 przedmowa zg6kmxuegzl2pilvqx Nieznany (2)
712[06] S1 01 Rozpoznawanie mat Nieznany
01 Wprowadzenieid 2669 Nieznany
gazeta prawna 25 01 2005 (1382) Nieznany
01 Niezgodnaid 2863 Nieznany
714[01] Z1 01 Dobieranie materi Nieznany (2)
01 2id 2523 Nieznany (2)
01 id 539970 Nieznany (2)
01 Indexid 2619 Nieznany
ais 01 id 53429 Nieznany (2)

więcej podobnych podstron