http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

fizyka1.html

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I

6. Zasada zachowania pędu

PĘD CIAŁA

DEFINICJA:



Pęd to iloczyn masy ciała i jego prędkości wektorowej:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

v

m

p







dt

p

d

F









Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania

mechanicznego innych

ciał na dane ciało.



Energia to skalarna

wielkość opisująca ruch – zalety i wady opisu

skalarnego



Siła może być teraz zdefiniowana jako zmiana pędu w czasie:

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Zasady dynamiki Newtona

II. Zasada:

Tempo zmiany

pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej

na to

ciało;

Dla

ciał o stałej masie:

a

stąd:

dt

p

d

F

wyp







 

a

m

dt

v

d

m

dt

v

m

d

dt

p

d















m

F

a

wyp







ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Historycznie:

zasadę zachowania pędu można wyprowadzić z II i III zasady

dynamiki Newtona (podobnie jak

zasadę zachowania energii) – jakkolwiek

można postąpić dokładnie odwrotnie…



W

rzeczywistości można wyprowadzić zarówno zasady Newtona jak i

zasady zachowania energii i

pędu z praw jednorodności przestrzeni i

czasu.



Prawo

jednorodności przestrzeni mówi, że wszystkie prawa fizyki są

takie same we wszystkich

położeniach w przestrzeni.



Prawo

jednorodności czasu znaczy, że prawa fizyki nie zmieniają się w

czasie (a w konsekwencji:

żadna stała fizyczna nie zmienia swej wartości w

czasie).



Pojęcie układu odosobnionego (zamkniętego, izolowanego): jest to

układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił
znajdują się w obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między
ciałami układu).

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU



Rozpatrzmy

układ odosobniony złożony z n ciał o masach m

1

,

m

2

,...,m

n

.

Ciała

te

mają

prędkości

v

1

,v

2

,...,v

n

.

Oznaczmy

siły

(wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: F

ik

– siła, jaką ciało k-te

działa na ciało i-te.

Z II zasady dynamiki Newtona:

Dodając stronami powyższe równania:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





n

F

F

F

v

m

dt

d

1

13

12

1

1

...





















n

F

F

F

v

m

dt

d

2

23

21

2

2

...





















)

1

(

2

1

...











n

n

n

n

n

n

F

F

F

v

m

dt

d





























1

1

21

12

1

...



















n

n

n

n

n

i

i

i

F

F

F

F

v

m

dt

d











ZASADA ZACHOWANIA PĘDU



Z III zasady dynamiki Newtona mamy:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

ki

ik

F

F











Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania,

otrzymujemy:





















n

i

i

i

n

i

i

i

v

m

dt

d

v

m

dt

d

1

1

0







Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:

 

















n

i

i

i

n

i

i

v

m

p

p

1

1







ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

czyli:



Ostatecznie, otrzymujemy:

0



dt

p

d



const

p





ZA MAŁO!

Zasada zachowania pędu:

Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z
upływem czasu.

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły

zewnętrznej a dokładniej: układ sił zewnętrznych, których
wypadkową jest

.

Wtedy

zewn

wyp

F

,



zewn

wyp

F

dt

p

d

,









Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:

Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa
się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.

(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).

Zmiana pędu układu jest równa wypadkowej
sił zewnętrznych, działających na układ.

UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Rakieta kosmiczna: masa paliwa to

większość masy całej

rakiety,

stąd konieczność uwzględnienia zmiany masy ciała w

czasie ruchu!



Zastosujmy

zasadę zachowania pędu do układu rakieta-

spalane paliwo:







dv

v

dm

m

u

dm

v

m

u

u

u

u











pęd rakiety „przed” = pęd gazów „po”+ pęd rakiety „po”

UWAGA: dm

u

jest ujemne

…

UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Wprowadźmy prędkość względną rakiety i spalin v

wzgl

:





u

v

dv

v

wzgl







dv

m

v

dm

u

wzgl

u







Wtedy:

dt

dv

m

v

dt

dm

u

wzgl

u





Siła ciągu rakiety = zmiana jej pędu

0







dt

dm

R

u

Szybkość
spalania paliwa

UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Policzmy

prędkość rakiety (równanie różniczkowe!):

dv

m

v

dm

u

wzgl

u





u

u

wzgl

m

dm

v

dv













ko n c

u

p o cz

u

ko n c

p o cz

m

m

u

u

wzgl

v

v

m

dm

v

dv

ukonc

upocz

wzgl

pocz

konc

m

m

v

v

v

ln







Im lepszy stosunek masy

początkowej do końcowej,
tym

większa prędkość =

rakiety wielostopniowe.

ZDERZENIA



Zderzeniem doskonale

sprężystym nazywamy takie zderzenie, w

wyniku

którego energia mechaniczna układu zderzających się ciał nie

zamienia

się w inne rodzaje energii (np. cieplnej).

Podczas

rozwiązywania zagadnień zderzeń sprężystych stosujemy

zasadę zachowania energii i zasadę zachowania pędu.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

m

1

v

1

m

2

v

2

Zderzenie centralne:
wektory

prędkości skierowane są wzdłuż jednej prostej.

m

1

u

1

m

2

u

2

2

2

1

1

2

2

1

1

u

m

u

m

v

m

v

m







2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

u

m

u

m

v

m

v

m







ZDERZENIA SPRĘŻYSTE



Rozwiązanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch

ciał:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





2

1

2

2

2

1

1

1

2

m

m

v

m

m

m

v

u













2

1

1

1

1

2

2

2

2

m

m

v

m

m

m

v

u











Przypadki szczególne:

- obie kule mają jednakowe masy (m

1

=m

2

), wtedy:

(kule „zamieniają się” prędkościami);

- druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie większą masę (v

2

=0 i m

2

>>m

1

),

wtedy:

(pierwsza, mniejsza kula odbija się od nieruchomej i porusza się w przeciwnym kierunku z tą samą, co
do wartości, prędkością).

2

1

v

u



1

2

v

u



1

1

v

u





0

2



u

ZDERZENIA SPRĘŻYSTE



Rozwiązanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch

ciał:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





2

1

2

2

2

1

1

1

2

m

m

v

m

m

m

v

u













2

1

1

1

1

2

2

2

2

m

m

v

m

m

m

v

u









- obie kule

mają jednakowe masy (m

1

=m

2

), wtedy:

(kule

„zamieniają się” prędkościami);

2

1

v

u



1

2

v

u



1

1

v

u





0

2



u

- druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie

większą masę (v

2

=0 i

m

2

>>m

1

), wtedy:

(pierwsza, mniejsza kula odbija

się od nieruchomej i porusza się w przeciwnym

kierunku z

tą samą, co do wartości, prędkością).



Przypadki

szczególne:

ZDERZENIA NIESPRĘŻYSTE



Układ rozpraszający (dyssypacyjny) to taki układ, w którym energia

mechaniczna stopniowo zmniejsza się na wskutek jej przemiany w inne
(niemechaniczne) rodzaje energii (np. ciepło).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Przykładem jest układ ciał podlegający zderzeniu doskonale

niesprężystemu – występuje w nim odkształcenie zderzających się ciał
powodujące, że po zderzeniu poruszają się one razem z tą sama
prędkością.
Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń niesprężystych stosujemy
tylko zasadę zachowania pędu.

m

1

v

1

m

2

v

2

m

1

m

2

u

2

1

2

2

1

1

m

m

v

m

v

m

u











u

m

m

v

m

v

m

2

1

2

2

1

1







Rzozwiązanie:

ZDERZENIA NIESPRĘŻYSTE



Różnica energii obu ciał po i przed zderzeniem:

Energia została rozproszona – wykonana została jej kosztem praca L,
potrzebna na:

-

„złączenie się” ciał;

-

zmianę ich kształtu (kucie metali!);

-

przezwyciężanie oporów (np. wbijanie gwoździ młotkiem, pali kafarem).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak









0

2

2

2

1

2

1

2

1

1

2

















v

v

m

m

m

m

E

E

E

W przypadku, gdy drugie ciało przed zderzeniem było w spoczynku (v

2

=0):

Stąd:
•zmiana kształtu -> m

2

jak największe (duża część energii kinetycznej pierwszego ciała „zużyta” na pracę);

•„wbijanie” -> m

1

jak największe (duża energia kinetyczna układu po zderzeniu).





1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

k

E

m

m

m

v

m

m

m

m

E

L















ZDERZENIA



Zderzenia w

dwóch wymiarach wymagają uwzględnienia faktu, że

prędkość jest wielkością wektorową:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

u

m

u

m

v

m

v

m







2

2

1

1

2

2

1

1

u

m

u

m

v

m

v

m















2

2

2

1

1

1

1

1

cos

cos





u

m

u

m

v

m





2

2

2

1

1

1

sin

sin

0





u

m

u

m







2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

u

m

u

m

v

m





pocz

v

v

1

1



konc

v

u

1

1



konc

v

u

2

2

