http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/
fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
6. Zasada zachowania pędu
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/
fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
6. Zasada zachowania pędu
PĘD CIAŁA
DEFINICJA:
Pęd to iloczyn masy ciała i jego prędkości wektorowej:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
v
m
p
dt
p
d
F
Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania
mechanicznego innych
ciał na dane ciało.
Energia to skalarna
wielkość opisująca ruch – zalety i wady opisu
skalarnego
Siła może być teraz zdefiniowana jako zmiana pędu w czasie:
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Zasady dynamiki Newtona
II. Zasada:
Tempo zmiany
pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej
na to
ciało;
Dla
ciał o stałej masie:
a
stąd:
dt
p
d
F
wyp
a
m
dt
v
d
m
dt
v
m
d
dt
p
d
m
F
a
wyp
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Historycznie:
zasadę zachowania pędu można wyprowadzić z II i III zasady
dynamiki Newtona (podobnie jak
zasadę zachowania energii) – jakkolwiek
można postąpić dokładnie odwrotnie…
W
rzeczywistości można wyprowadzić zarówno zasady Newtona jak i
zasady zachowania energii i
pędu z praw jednorodności przestrzeni i
czasu.
Prawo
jednorodności przestrzeni mówi, że wszystkie prawa fizyki są
takie same we wszystkich
położeniach w przestrzeni.
Prawo
jednorodności czasu znaczy, że prawa fizyki nie zmieniają się w
czasie (a w konsekwencji:
żadna stała fizyczna nie zmienia swej wartości w
czasie).
Pojęcie układu odosobnionego (zamkniętego, izolowanego): jest to
układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił
znajdują się w obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między
ciałami układu).
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Rozpatrzmy
układ odosobniony złożony z n ciał o masach m
1
,
m
2
,...,m
n
.
Ciała
te
mają
prędkości
v
1
,v
2
,...,v
n
.
Oznaczmy
siły
(wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: F
ik
– siła, jaką ciało k-te
działa na ciało i-te.
Z II zasady dynamiki Newtona:
Dodając stronami powyższe równania:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
n
F
F
F
v
m
dt
d
1
13
12
1
1
...
n
F
F
F
v
m
dt
d
2
23
21
2
2
...
)
1
(
2
1
...
n
n
n
n
n
n
F
F
F
v
m
dt
d
1
1
21
12
1
...
n
n
n
n
n
i
i
i
F
F
F
F
v
m
dt
d
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Z III zasady dynamiki Newtona mamy:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ki
ik
F
F
Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania,
otrzymujemy:
n
i
i
i
n
i
i
i
v
m
dt
d
v
m
dt
d
1
1
0
Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:
n
i
i
i
n
i
i
v
m
p
p
1
1
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
czyli:
Ostatecznie, otrzymujemy:
0
dt
p
d
const
p
ZA MAŁO!
Zasada zachowania pędu:
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z
upływem czasu.
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły
zewnętrznej a dokładniej: układ sił zewnętrznych, których
wypadkową jest
.
Wtedy
zewn
wyp
F
,
zewn
wyp
F
dt
p
d
,
Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa
się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.
(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).
Zmiana pędu układu jest równa wypadkowej
sił zewnętrznych, działających na układ.
UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Rakieta kosmiczna: masa paliwa to
większość masy całej
rakiety,
stąd konieczność uwzględnienia zmiany masy ciała w
czasie ruchu!
Zastosujmy
zasadę zachowania pędu do układu rakieta-
spalane paliwo:
dv
v
dm
m
u
dm
v
m
u
u
u
u
pęd rakiety „przed” = pęd gazów „po”+ pęd rakiety „po”
UWAGA: dm
u
jest ujemne
…
UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wprowadźmy prędkość względną rakiety i spalin v
wzgl
:
u
v
dv
v
wzgl
dv
m
v
dm
u
wzgl
u
Wtedy:
dt
dv
m
v
dt
dm
u
wzgl
u
Siła ciągu rakiety = zmiana jej pędu
0
dt
dm
R
u
Szybkość
spalania paliwa
UKŁAD O ZMIENNEJ MASIE
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Policzmy
prędkość rakiety (równanie różniczkowe!):
dv
m
v
dm
u
wzgl
u
u
u
wzgl
m
dm
v
dv
ko n c
u
p o cz
u
ko n c
p o cz
m
m
u
u
wzgl
v
v
m
dm
v
dv
ukonc
upocz
wzgl
pocz
konc
m
m
v
v
v
ln
Im lepszy stosunek masy
początkowej do końcowej,
tym
większa prędkość =
rakiety wielostopniowe.
ZDERZENIA
Zderzeniem doskonale
sprężystym nazywamy takie zderzenie, w
wyniku
którego energia mechaniczna układu zderzających się ciał nie
zamienia
się w inne rodzaje energii (np. cieplnej).
Podczas
rozwiązywania zagadnień zderzeń sprężystych stosujemy
zasadę zachowania energii i zasadę zachowania pędu.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
m
1
v
1
m
2
v
2
Zderzenie centralne:
wektory
prędkości skierowane są wzdłuż jednej prostej.
m
1
u
1
m
2
u
2
2
2
1
1
2
2
1
1
u
m
u
m
v
m
v
m
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
u
m
u
m
v
m
v
m
ZDERZENIA SPRĘŻYSTE
Rozwiązanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch
ciał:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
2
1
2
2
2
1
1
1
2
m
m
v
m
m
m
v
u
2
1
1
1
1
2
2
2
2
m
m
v
m
m
m
v
u
Przypadki szczególne:
- obie kule mają jednakowe masy (m
1
=m
2
), wtedy:
(kule „zamieniają się” prędkościami);
- druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie większą masę (v
2
=0 i m
2
>>m
1
),
wtedy:
(pierwsza, mniejsza kula odbija się od nieruchomej i porusza się w przeciwnym kierunku z tą samą, co
do wartości, prędkością).
2
1
v
u
1
2
v
u
1
1
v
u
0
2
u
ZDERZENIA SPRĘŻYSTE
Rozwiązanie zagadnienia centralnego zderzenia sprężystego dwóch
ciał:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
2
1
2
2
2
1
1
1
2
m
m
v
m
m
m
v
u
2
1
1
1
1
2
2
2
2
m
m
v
m
m
m
v
u
- obie kule
mają jednakowe masy (m
1
=m
2
), wtedy:
(kule
„zamieniają się” prędkościami);
2
1
v
u
1
2
v
u
1
1
v
u
0
2
u
- druga kula jest nieruchoma i ma wielokrotnie
większą masę (v
2
=0 i
m
2
>>m
1
), wtedy:
(pierwsza, mniejsza kula odbija
się od nieruchomej i porusza się w przeciwnym
kierunku z
tą samą, co do wartości, prędkością).
Przypadki
szczególne:
ZDERZENIA NIESPRĘŻYSTE
Układ rozpraszający (dyssypacyjny) to taki układ, w którym energia
mechaniczna stopniowo zmniejsza się na wskutek jej przemiany w inne
(niemechaniczne) rodzaje energii (np. ciepło).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Przykładem jest układ ciał podlegający zderzeniu doskonale
niesprężystemu – występuje w nim odkształcenie zderzających się ciał
powodujące, że po zderzeniu poruszają się one razem z tą sama
prędkością.
Podczas rozwiązywania zagadnień zderzeń niesprężystych stosujemy
tylko zasadę zachowania pędu.
m
1
v
1
m
2
v
2
m
1
m
2
u
2
1
2
2
1
1
m
m
v
m
v
m
u
u
m
m
v
m
v
m
2
1
2
2
1
1
Rzozwiązanie:
ZDERZENIA NIESPRĘŻYSTE
Różnica energii obu ciał po i przed zderzeniem:
Energia została rozproszona – wykonana została jej kosztem praca L,
potrzebna na:
-
„złączenie się” ciał;
-
zmianę ich kształtu (kucie metali!);
-
przezwyciężanie oporów (np. wbijanie gwoździ młotkiem, pali kafarem).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
0
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
v
v
m
m
m
m
E
E
E
W przypadku, gdy drugie ciało przed zderzeniem było w spoczynku (v
2
=0):
Stąd:
•zmiana kształtu -> m
2
jak największe (duża część energii kinetycznej pierwszego ciała „zużyta” na pracę);
•„wbijanie” -> m
1
jak największe (duża energia kinetyczna układu po zderzeniu).
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
k
E
m
m
m
v
m
m
m
m
E
L
ZDERZENIA
Zderzenia w
dwóch wymiarach wymagają uwzględnienia faktu, że
prędkość jest wielkością wektorową:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
u
m
u
m
v
m
v
m
2
2
1
1
2
2
1
1
u
m
u
m
v
m
v
m
2
2
2
1
1
1
1
1
cos
cos
u
m
u
m
v
m
2
2
2
1
1
1
sin
sin
0
u
m
u
m
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
u
m
u
m
v
m
pocz
v
v
1
1
konc
v
u
1
1
konc
v
u
2
2