Metoda Maxwella-Mohra
Dotychczas omówione metody w przypadku układów złoŜonych naleŜą
do zbyt pracochłonnych, znaczne uproszczenie obliczeń moŜna uzyskać
wprowadzając modyfikację metody Castigliano zwaną metodą
Maxwella-Mohra. Do jej wyprowadzenia, załóŜmy tymczasowo, Ŝe
energia spręŜysta układu pochodzi tylko od momentów gnących.
RozwaŜmy belkę spoczywającą na podporze przegubowej A i podporze
przesuwnej B, obciąŜoną siłami F
1
, F
2
, …., F
i
, …., F
n
.
x
i
l
B
F
1
F
2
F
i
F
n
R
B
R
A
A
Energia spręŜysta belki w przedziale i wynosi:
∫
=
i
l
i
gi
i
dx
M
EI
V
2
2
1
gdzie:
M
gi
– moment gnący w przekroju określonym współrzędną x
i
belki. Symbol l
i
przy znaku całki oznacza całkowanie na długości
przedziału x
i
belki
Rozpatrzmy teraz tę samą belkę obciąŜoną w punkcie C jednostkową
siłą fikcyjną F
fik
= 1. Dla tak obciąŜonej belki moŜna łatwo wyznaczyć
wykres momentów gnących. W przekroju określonym współrzędną x
i
moment gnący oznaczamy jako M’
gi
. Dla dowolnej wartości siły F
fik
moment gnący w przekroju x
i
belki wyniesie M’
gi
F
fik
.
JeŜeli teraz do układu zasadniczego wprowadzimy w punkcie C siłę
fikcyjną F
fik
, to moment gnący, zgodnie z zasadą superpozycji,
w przekroju określonym współrzędną x
i
belki wyniesie M
gi
+ M’
gi
F
fik
.
Wartość energii spręŜystej w przedziale i określi wówczas zaleŜność:
l
x
i
B
R
B
’
R
A
’
A
F
fik
= 1
C
x
M’
g
(x)’
M’
gi
+
(
)
∫
′
+
=
i
l
i
fik
gi
gi
i
dx
F
M
M
EI
V
2
2
1
Jeśli uwzględni się, Ŝe energia spręŜysta w całej belce jest sumą energii
dla wszystkich przedziałów, to ugięcie u w przekroju C belki, zgodnie
z twierdzeniem Castigliano wynosi:
B
F
1
F
2
F
3
F
n
R
B
R
A
A
F
fik
= 0
x
i
C
u
l
(
)
dx
M
F
M
M
EI
u
g
l
fik
g
g
′
′
+
=
∫
0
1
PoniewaŜ w rzeczywistości siła fikcyjna F
fik
jest równa zeru (F
fik
= 0) to
otrzymujemy wyraŜenie zwane wzorem Maxwella-Mohra:
dx
EI
M
M
u
l
g
g
∫
′
=
0
Reasumując, zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie
przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem
której
występuje
moment
gnący
spowodowany
rzeczywistym
obciąŜeniem zewnętrznym M
g
, oraz moment gnący jaki wywołałaby
jednostkowa
siła
fikcyjna
(F
fik
=
1)
odpowiadającą
temu
przemieszczeniu
g
M
′
.
Nietrudno udowodnić, Ŝe jeśli energia spręŜysta układu będzie zaleŜeć
od następujących obciąŜeń zewnętrznych N, M
s
, M
gy
, M
gz
, T
y
, T
z
, to
przemieszczenie u, będzie określone następującą zaleŜnością:
dx
GA
T
T
GA
T
T
EI
M
M
EI
M
M
GI
M
M
EA
N
N
u
l
z
z
z
y
y
y
Z
gz
gz
y
gy
gy
S
S
S
∫
′
+
′
+
′
+
′
+
′
+
′
=
0
β
β
gdzie:
N
′
,
s
M
′
,
gy
M
′
,
gz
M
′
,
y
T
′
,
z
T
′
, – odpowiednie składowe sił
wewnętrznych przy obciąŜeniu fikcyjnym wynoszącym F
fik
= 1.
Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta przegubowo na
obu końcach, obciąŜona jest siłami skupionymi F i 2F. Wyznaczyć
przemieszczenie u w punkcie C przyłoŜenia siły 2F .
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
∑
=
−
−
+
=
0
2
;
0
B
A
y
R
R
F
F
F
∑
=
−
+
=
0
3
2
2
;
0
)
(
l
R
l
F
Fl
M
B
A
stąd
B
F
2F
R
B
R
A
A
C
x
x
x
l
l
l
F
R
F
R
B
A
3
5
3
4
=
=
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego
Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
l
x
≤
≤
0
( )
Fx
x
R
x
M
A
g
3
4
1
=
=
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego
l
x
l
2
≤
≤
( )
(
)
Fl
Fx
l
x
F
x
R
x
M
A
g
+
=
−
−
=
3
1
2
Przedział 3 dla układu zasadniczego
l
x
l
3
2
≤
≤
( )
(
)
(
)
Fl
Fx
l
x
F
l
x
F
x
R
x
M
A
g
5
3
5
2
2
3
+
−
=
−
−
−
−
=
3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną F
fik
= 1
∑
=
′
−
′
−
=
0
;
0
B
A
fik
y
R
R
F
F
∑
=
−
=
0
3
'
2
;
0
)
(
l
R
l
F
M
B
fik
A
stąd
3
2
3
1
=
′
=
′
B
A
R
R
B
F
fik
= 1
R’
B
R’
A
A
C
x
x
l
l
l
4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną F
fik
= 1
Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną
l
x
2
0
≤
≤
( )
( )
x
x
R
x
M
x
M
A
g
g
3
1
2
1
=
′
=
′
=
′
Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną
l
x
l
3
2
≤
≤
( )
(
)
l
x
l
x
F
x
R
x
M
fik
A
g
2
3
2
2
3
+
−
=
−
−
′
=
′
5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra przemieszczenie u
C
w punkcie C
wynosi:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
′
+
′
+
′
=
∫
∫
∫
dx
x
M
x
M
dx
x
M
x
M
dx
x
M
x
M
EI
u
l
l
g
g
l
l
g
g
l
g
g
C
3
2
3
3
2
2
2
0
1
1
1
czyli
+
−
+
+
+
=
∫
∫
∫
l
l
l
l
l
C
dx
Fl
Flx
Fx
dx
Flx
Fx
dx
Fx
EI
u
2
3
2
2
2
2
0
2
10
3
20
9
10
3
1
9
1
9
4
1
po scałkowaniu i wstawieniu granic całkowania:
−
+
−
+
−
+
+
−
−
+
+
=
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
20
6
80
27
80
30
6
180
27
270
6
1
27
1
6
4
27
8
24
4
1
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
EI
u
C
stąd
EI
Fl
u
C
18
23
3
=
Przykład. Rama ABC o sztywności EI jest podparta na podporze
przegubowej w punkcie A i podporze przesuwnej w punkcie C oraz
obciąŜona równomiernie na długości 2r obciąŜeniem q. Wyznaczyć
metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu u przekroju C pręta ramy.
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
∑
=
=
0
;
0
Ax
x
R
F
∑
=
−
−
=
0
2
;
0
C
Ay
y
R
R
qr
F
( )
∑
=
−
=
0
2
2
;
0
)
(
r
R
r
qr
M
C
A
C
α
q
2r
r
A
B
R
C
x
R
Ay
R
Ax
stąd
qr
R
qr
R
R
C
Ay
Ax
=
=
=
0
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego
Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
r
x
2
0
≤
≤
( )
( )
qrx
qx
x
qx
x
R
x
M
C
g
+
−
=
−
=
2
1
2
1
2
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego
π
α
≤
≤
0
( )
α
α
α
sin
sin
2
2
qr
r
R
M
Ay
g
−
=
−
=
3. Równania równowagi dla układu z momentem fikcyjnym M
fik
= 1
∑
=
=
0
'
;
0
Ax
x
R
F
∑
=
−
=
0
'
'
;
0
C
Ay
y
R
R
F
∑
=
−
=
0
2
'
;
0
)
(
r
R
M
M
C
fik
A
stąd
r
R
r
R
R
C
Ay
Ax
2
1
'
2
1
'
0
'
=
=
=
α
C
R
C
’
R
Ay
’
2r
r
A
B
x
R
Ax
’
M
fik
= 1
4. Równania momentów gnących dla układu z momentem fikcyjnym
M
fik
= 1
Przedział nr 1 dla układu z momentem fikcyjnym
r
x
2
0
≤
≤
( )
1
2
1
1
−
=
−
′
=
′
x
r
M
x
R
x
M
fik
C
g
Przedział nr 2 dla układu z momentem fikcyjnym
π
α
≤
≤
0
( )
α
α
α
sin
2
1
sin
2
=
′
=
′
r
R
M
Ay
g
5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra kąt obrotu u
C
w punkcie C
wynosi:
( ) ( )
( )
( )
′
+
′
=
∫
∫
α
α
α
π
d
M
M
dx
x
M
x
M
EI
u
g
g
r
g
g
C
0
2
2
2
0
1
1
1
czyli
( )
−
+
−
−
=
∫
∫
r
C
d
qr
dx
qx
r
qrx
qx
EI
u
2
0
0
2
3
3
2
sin
2
1
4
1
1
α
α
π
stąd
+
−
=
4
3
1
3
π
EI
qr
u
C
Znak minus oznacza, Ŝe przekrój C obróci się w stronę przeciwną
w stosunku do przyjętego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego.
Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra
MoŜna udowodnić, Ŝe całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra
dla typowych przypadków obciąŜeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich
iloczynem dwóch prostych czynników. I tak, w przypadku zginania jest
to iloczyn
Ω
pola wykresu momentów gnących M
g
od obciąŜenia
zasadniczego oraz rzędnej M’
gc
wykresu momentów gnących M’
g
od
obciąŜenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej x
c
środka
geometrycznego C pola
Ω
, czyli:
gc
g
l
g
M
dx
M
M
′
Ω
=
′
∫
0
Wzór ten podany przez Wereszczagina znacznie upraszcza obliczenia.
Wówczas korzysta się z gotowych wzorów podanych w tabeli.
Wykres momentów gnących M
g
Wykres M
g
’ dla uogólnionej siły jednostkowej
prosta y = ax + b
M
gc
’ = ax
c
+ b
Ω
- pole
wykresu Mg
M
g
’
M
g
C
x
x
c
Lp.
Lp.
Mg
Mg’
1
2
3
4
5
1
l
d
l
d
l
d
d
e
l
d
l/2 l/2
2
3
4
5
l
a
l
a
l
a
a
b
l
adl
adl
2
1
adl
2
1
(
)
l
e
d
a
+
2
1
adl
adl
2
1
adl
3
1
adl
6
1
(
)
l
e
d
a
+
2
6
1
adl
4
1
adl
2
1
adl
6
1
adl
3
1
(
)
l
e
d
a
2
6
1
+
adl
4
1
(
)
dl
b
a
+
2
1
(
)
dl
b
a
+
2
6
1
(
)
dl
b
a
2
6
1
+
(
)
dl
b
a
+
4
1
(
) (
)
[
]
e
d
b
e
d
a
l
+
+
+
2
6
1
Lp.
Lp.
Mg
Mg’
1
2
3
4
5
1
l
d
l
d
l
d
d
e
l
d
l/2 l/2
6
7
8
9
l
c
b
a
l
a
l
a
l
a
adl
2
1
(
)
c
l
ad
+
6
1
(
)
b
l
ad
+
6
1
adl
3
2
adl
3
1
adl
3
1
(
)
l
e
d
a
+
3
1
adl
2
1
adl
3
1
adl
4
1
adl
12
1
(
)
e
d
al
+
3
3
1
adl
6
1
adl
3
2
adl
4
1
adl
12
5
(
)
e
d
al
5
3
3
1
+
adl
2
1
( ) ( )
[
]
b
l
e
c
l
d
a
+
+
+
6
1
l
b
l
c
adl
3
2
2
2
1
2
−
Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta na podporze
przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciąŜona jest siłami
skupionymi F i 2F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C
przyłoŜenia siły 2F .
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
B
F
2F
R
B
R
A
A
C
x
x
x
l
l
l
∑
=
−
−
+
=
0
2
;
0
B
A
y
R
R
F
F
F
∑
=
−
+
=
0
3
2
2
;
0
)
(
l
R
l
F
Fl
M
B
A
stąd
F
R
F
R
B
A
3
5
3
4
=
=
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego
Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
l
x
≤
≤
0
( )
Fx
x
R
x
M
A
g
3
4
1
=
=
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego
l
x
l
2
≤
≤
( )
(
)
Fl
Fx
l
x
F
x
R
x
M
A
g
+
=
−
−
=
3
1
2
Przedział 3 dla układu zasadniczego
l
x
l
3
2
≤
≤
( )
(
)
(
)
Fl
Fx
l
x
F
l
x
F
x
R
x
M
A
g
5
3
5
2
2
3
+
−
=
−
−
−
−
=
3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną F
fik
= 1
B
F
2F
R
B
R
A
A
C
x
x
x
l
l
l
x
Mg(x)
+
Fl
3
4
Fl
3
5
∑
=
−
−
=
0
'
'
;
0
B
A
fik
y
R
R
F
F
∑
=
−
=
0
3
'
2
;
0
)
(
l
R
l
F
M
B
fik
A
stąd
B
F
fik
= 1
R
B
’
R
A
’
A
C
x
x
l
l
l
3
2
'
3
1
'
=
=
B
A
R
R
4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną F
fik
= 1
Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną
l
x
2
0
≤
≤
( )
( )
x
x
R
x
M
x
M
A
g
g
3
1
'
'
'
2
1
=
=
=
Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną
l
x
l
3
2
≤
≤
( )
(
)
l
x
l
x
F
x
R
x
M
fik
A
g
2
3
2
2
'
'
3
+
−
=
−
−
=
x
M
g
’(x)
B
F
fik
= 1
R
B
’
R
A
’
A
C
x
x
l
l
l
+
l
3
1
l
3
2
5. Wyznaczenie przemieszczenia u
C
Na podstawie wykresów momentów gnących dla układu zasadniczego
i układu z siłą fikcyjną przy pomocy tabeli moŜna określić ugięcie
w punkcie C:
Przedział nr 1 zgodnie z pozycją 3 i kolumną 4 z tabeli:
3
1
27
4
3
1
3
4
3
1
3
1
Fl
l
l
Fl
adl
C
=
⋅
⋅
⋅
=
=
Przedział nr 2 zgodnie z pozycją 4 i kolumną 5 z tabeli:
(
) (
)
[
]
=
+
+
+
=
+
+
+
=
l
l
Fl
l
l
Fl
l
e
d
b
e
d
a
l
C
3
2
2
3
1
3
5
3
2
3
1
2
3
4
6
1
2
2
6
1
2
3
54
41
Fl
=
Przedział nr 3 zgodnie z pozycją 2 i kolumną 3 z tabeli:
3
3
27
10
3
2
3
5
3
1
3
1
Fl
l
l
Fl
adl
C
=
⋅
⋅
⋅
=
=
stąd
(
)
EI
Fl
EI
Fl
EI
Fl
C
C
C
EI
u
C
18
23
54
69
27
10
54
41
27
4
1
3
3
3
3
2
1
=
=
+
+
=
+
+
=