Metoda Maxwella-Mohra

Dotychczas omówione metody w przypadku układów złożonych należą
do zbyt pracochłonnych, znaczne uproszczenie obliczeń można uzyskać
wprowadzając modyfikację metody Castigliano zwaną metodą
Maxwella-Mohra. Do jej wyprowadzenia, załóżmy tymczasowo, że
energia sprężysta układu pochodzi tylko od momentów gnących.

Rozważmy belkę spoczywającą na podporze przegubowej A i podporze
przesuwnej B, obciążoną siłami F

1

, F

2

, …., F

i

, …., F

n

.

x

i

l

B

F

1

F

2

F

i

F

n

R

B

R

A

A

Energia sprężysta belki w przedziale i wynosi:

∫

=

i

l

i

gi

i

dx

M

EI

V

2

2

1

gdzie:

M

gi

– moment gnący w przekroju określonym współrzędną x

i

belki. Symbol l

i

przy znaku całki oznacza całkowanie na długości

przedziału x

i

belki

Rozpatrzmy teraz tę samą belkę obciążoną w punkcie C jednostkową
siłą fikcyjną F

fik

= 1. Dla tak obciążonej belki można łatwo wyznaczyć

wykres momentów gnących. W przekroju określonym współrzędną x

i

moment gnący oznaczamy jako M’

gi

. Dla dowolnej wartości siły F

fik

moment gnący w przekroju x

i

belki wyniesie M’

gi

F

fik

.

Jeżeli teraz do układu zasadniczego wprowadzimy w punkcie C siłę
fikcyjną F

fik

, to moment gnący, zgodnie z zasadą superpozycji,

w przekroju określonym współrzędną x

i

belki wyniesie M

gi

+ M’

gi

F

fik

.

Wartość energii sprężystej w przedziale i określi wówczas zależność:

l

x

i

B

R

B

’

R

A

’

A

F

fik

= 1

C

x

M’

g

(x)’

M’

gi

+

(

)

∫

′

+

=

i

l

i

fik

gi

gi

i

dx

F

M

M

EI

V

2

2

1

Jeśli uwzględni się, że energia sprężysta w całej belce jest sumą energii
dla wszystkich przedziałów, to ugięcie u w przekroju C belki, zgodnie
z twierdzeniem Castigliano wynosi:

B

F

1

F

2

F

3

F

n

R

B

R

A

A

F

fik

= 0

x

i

C

u

l

(

)

dx

M

F

M

M

EI

u

g

l

fik

g

g

′

′

+

=

∫

0

1

Ponieważ w rzeczywistości siła fikcyjna F

fik

jest równa zeru (F

fik

= 0) to

otrzymujemy wyrażenie zwane wzorem Maxwella-Mohra:

dx

EI

M

M

u

l

g

g

∫

′

=

0

Reasumując, zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie
przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem
której

występuje

moment

gnący

spowodowany

rzeczywistym

obciążeniem zewnętrznym M

g

, oraz moment gnący jaki wywołałaby

jednostkowa

siła

fikcyjna

(F

fik

=

1)

odpowiadającą

temu

przemieszczeniu

g

M

′

.

Nietrudno udowodnić, że jeśli energia sprężysta układu będzie zależeć
od następujących obciążeń zewnętrznych N, M

s

, M

gy

, M

gz

, T

y

, T

z

, to

przemieszczenie u, będzie określone następującą zależnością:

dx

GA

T

T

GA

T

T

EI

M

M

EI

M

M

GI

M

M

EA

N

N

u

l

z

z

z

y

y

y

Z

gz

gz

y

gy

gy

S

S

S

∫















′

+

′

+

′

+

′

+

′

+

′

=

0

β

β

gdzie:

N

′

,

s

M

′

,

gy

M

′

,

gz

M

′

,

y

T

′

,

z

T

′

, – odpowiednie składowe sił

wewnętrznych przy obciążeniu fikcyjnym wynoszącym F

fik

= 1.

Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta przegubowo na
obu końcach, obciążona jest siłami skupionymi F i 2F. Wyznaczyć
przemieszczenie u w punkcie C przyłożenia siły 2F .

1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

∑

=

−

−

+

=

0

2

;

0

B

A

y

R

R

F

F

F

∑

=

−

+

=

0

3

2

2

;

0

)

(

l

R

l

F

Fl

M

B

A

stąd

B

F

2F

R

B

R

A

A

C

x

x

x

l

l

l

F

R

F

R

B

A

3

5

3

4

=

=

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego

Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

l

x

≤

≤

0

( )

Fx

x

R

x

M

A

g

3

4

1

=

=

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego

l

x

l

2

≤

≤

( )

(

)

Fl

Fx

l

x

F

x

R

x

M

A

g

+

=

−

−

=

3

1

2

Przedział 3 dla układu zasadniczego

l

x

l

3

2

≤

≤

( )

(

)

(

)

Fl

Fx

l

x

F

l

x

F

x

R

x

M

A

g

5

3

5

2

2

3

+

−

=

−

−

−

−

=

3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną F

fik

= 1

∑

=

′

−

′

−

=

0

;

0

B

A

fik

y

R

R

F

F

∑

=

−

=

0

3

'

2

;

0

)

(

l

R

l

F

M

B

fik

A

stąd

3

2

3

1

=

′

=

′

B

A

R

R

B

F

fik

= 1

R’

B

R’

A

A

C

x

x

l

l

l

4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną F

fik

= 1

Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną

l

x

2

0

≤

≤

( )

( )

x

x

R

x

M

x

M

A

g

g

3

1

2

1

=

′

=

′

=

′

Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną

l

x

l

3

2

≤

≤

( )

(

)

l

x

l

x

F

x

R

x

M

fik

A

g

2

3

2

2

3

+

−

=

−

−

′

=

′

5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra przemieszczenie u

C

w punkcie C

wynosi:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )















′

+

′

+

′

=

∫

∫

∫

dx

x

M

x

M

dx

x

M

x

M

dx

x

M

x

M

EI

u

l

l

g

g

l

l

g

g

l

g

g

C

3

2

3

3

2

2

2

0

1

1

1

czyli



























+

−

+













+

+

=

∫

∫

∫

l

l

l

l

l

C

dx

Fl

Flx

Fx

dx

Flx

Fx

dx

Fx

EI

u

2

3

2

2

2

2

0

2

10

3

20

9

10

3

1

9

1

9

4

1

po scałkowaniu i wstawieniu granic całkowania:



















−

+

−

+

−

+







+













−

−

+

+

=

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

20

6

80

27

80

30

6

180

27

270

6

1

27

1

6

4

27

8

24

4

1

Fl

Fl

Fl

Fl

Fl

Fl

Fl

Fl

Fl

Fl

Fl

EI

u

C

stąd

EI

Fl

u

C

18

23

3

=

Przykład. Rama ABC o sztywności EI jest podparta na podporze
przegubowej w punkcie A i podporze przesuwnej w punkcie C oraz
obciążona równomiernie na długości 2r obciążeniem q. Wyznaczyć
metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu u przekroju C pręta ramy.

1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

∑

=

=

0

;

0

Ax

x

R

F

∑

=

−

−

=

0

2

;

0

C

Ay

y

R

R

qr

F

( )

∑

=

−

=

0

2

2

;

0

)

(

r

R

r

qr

M

C

A

C

α

q

2r

r

A

B

R

C

x

R

Ay

R

Ax

stąd

qr

R

qr

R

R

C

Ay

Ax

=

=

=

0

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego

Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

r

x

2

0

≤

≤

( )

( )

qrx

qx

x

qx

x

R

x

M

C

g

+

−

=

−

=

2

1

2

1

2

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego

π

α

≤

≤

0

( )

α

α

α

sin

sin

2

2

qr

r

R

M

Ay

g

−

=

−

=

3. Równania równowagi dla układu z momentem fikcyjnym M

fik

= 1

∑

=

=

0

'

;

0

Ax

x

R

F

∑

=

−

=

0

'

'

;

0

C

Ay

y

R

R

F

∑

=

−

=

0

2

'

;

0

)

(

r

R

M

M

C

fik

A

stąd

r

R

r

R

R

C

Ay

Ax

2

1

'

2

1

'

0

'

=

=

=

α

C

R

C

’

R

Ay

’

2r

r

A

B

x

R

Ax

’

M

fik

= 1

4. Równania momentów gnących dla układu z momentem fikcyjnym
M

fik

= 1

Przedział nr 1 dla układu z momentem fikcyjnym

r

x

2

0

≤

≤

( )

1

2

1

1

−

=

−

′

=

′

x

r

M

x

R

x

M

fik

C

g

Przedział nr 2 dla układu z momentem fikcyjnym

π

α

≤

≤

0

( )

α

α

α

sin

2

1

sin

2

=

′

=

′

r

R

M

Ay

g

5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra kąt obrotu u

C

w punkcie C

wynosi:

( ) ( )

( )

( )















′

+

′

=

∫

∫

α

α

α

π

d

M

M

dx

x

M

x

M

EI

u

g

g

r

g

g

C

0

2

2

2

0

1

1

1

czyli

( )

























−

+













−

−

=

∫

∫

r

C

d

qr

dx

qx

r

qrx

qx

EI

u

2

0

0

2

3

3

2

sin

2

1

4

1

1

α

α

π

stąd













+

−

=

4

3

1

3

π

EI

qr

u

C

Znak minus oznacza, że przekrój C obróci się w stronę przeciwną
w stosunku do przyjętego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego.

Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra

Można udowodnić, że całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra
dla typowych przypadków obciążeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich
iloczynem dwóch prostych czynników. I tak, w przypadku zginania jest
to iloczyn

Ω

pola wykresu momentów gnących M

g

od obciążenia

zasadniczego oraz rzędnej M’

gc

wykresu momentów gnących M’

g

od

obciążenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej x

c

środka

geometrycznego C pola

Ω

, czyli:

gc

g

l

g

M

dx

M

M

′

Ω

=

′

∫

0

Wzór ten podany przez Wereszczagina znacznie upraszcza obliczenia.
Wówczas korzysta się z gotowych wzorów podanych w tabeli.

Wykres momentów gnących M

g

Wykres M

g

’ dla uogólnionej siły jednostkowej

prosta y = ax + b

M

gc

’ = ax

c

+ b

Ω

- pole

wykresu Mg

M

g

’

M

g

C

x

x

c

Lp.

Lp.

Mg

Mg’

1

2

3

4

5

1

l

d

l

d

l

d

d

e

l

d

l/2 l/2

2

3

4

5

l

a

l

a

l

a

a

b

l

adl

adl

2

1

adl

2

1

(

)

l

e

d

a

+

2

1

adl

adl

2

1

adl

3

1

adl

6

1

(

)

l

e

d

a

+

2

6

1

adl

4

1

adl

2

1

adl

6

1

adl

3

1

(

)

l

e

d

a

2

6

1

+

adl

4

1

(

)

dl

b

a

+

2

1

(

)

dl

b

a

+

2

6

1

(

)

dl

b

a

2

6

1

+

(

)

dl

b

a

+

4

1

(

) (

)

[

]

e

d

b

e

d

a

l

+

+

+

2

6

1

Lp.

Lp.

Mg

Mg’

1

2

3

4

5

1

l

d

l

d

l

d

d

e

l

d

l/2 l/2

6

7

8

9

l

c

b

a

l

a

l

a

l

a

adl

2

1

(

)

c

l

ad

+

6

1

(

)

b

l

ad

+

6

1

adl

3

2

adl

3

1

adl

3

1

(

)

l

e

d

a

+

3

1

adl

2

1

adl

3

1

adl

4

1

adl

12

1

(

)

e

d

al

+

3

3

1

adl

6

1

adl

3

2

adl

4

1

adl

12

5

(

)

e

d

al

5

3

3

1

+

adl

2

1

( ) ( )

[

]

b

l

e

c

l

d

a

+

+

+

6

1

l

b

l

c

adl

3

2

2

2

1

2

−

Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta na podporze
przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciążona jest siłami
skupionymi F i 2F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C
przyłożenia siły 2F .









1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

B

F

2F

R

B

R

A

A

C

x

x

x

l

l

l

∑

=

−

−

+

=

0

2

;

0

B

A

y

R

R

F

F

F

∑

=

−

+

=

0

3

2

2

;

0

)

(

l

R

l

F

Fl

M

B

A

stąd

F

R

F

R

B

A

3

5

3

4

=

=

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego

Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

l

x

≤

≤

0

( )

Fx

x

R

x

M

A

g

3

4

1

=

=

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego

l

x

l

2

≤

≤

( )

(

)

Fl

Fx

l

x

F

x

R

x

M

A

g

+

=

−

−

=

3

1

2

Przedział 3 dla układu zasadniczego

l

x

l

3

2

≤

≤

( )

(

)

(

)

Fl

Fx

l

x

F

l

x

F

x

R

x

M

A

g

5

3

5

2

2

3

+

−

=

−

−

−

−

=

3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną F

fik

= 1

B

F

2F

R

B

R

A

A

C

x

x

x

l

l

l

x

Mg(x)

+

Fl

3

4

Fl

3

5

∑

=

−

−

=

0

'

'

;

0

B

A

fik

y

R

R

F

F

∑

=

−

=

0

3

'

2

;

0

)

(

l

R

l

F

M

B

fik

A

stąd

B

F

fik

= 1

R

B

’

R

A

’

A

C

x

x

l

l

l

3

2

'

3

1

'

=

=

B

A

R

R

4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną F

fik

= 1

Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną

l

x

2

0

≤

≤

( )

( )

x

x

R

x

M

x

M

A

g

g

3

1

'

'

'

2

1

=

=

=

Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną

l

x

l

3

2

≤

≤

( )

(

)

l

x

l

x

F

x

R

x

M

fik

A

g

2

3

2

2

'

'

3

+

−

=

−

−

=

x

M

g

’(x)

B

F

fik

= 1

R

B

’

R

A

’

A

C

x

x

l

l

l

+

l

3

1

l

3

2

5. Wyznaczenie przemieszczenia u

C

Na podstawie wykresów momentów gnących dla układu zasadniczego
i układu z siłą fikcyjną przy pomocy tabeli można określić ugięcie
w punkcie C:

Przedział nr 1 zgodnie z pozycją 3 i kolumną 4 z tabeli:

3

1

27

4

3

1

3

4

3

1

3

1

Fl

l

l

Fl

adl

C

=

⋅

⋅

⋅

=

=

Przedział nr 2 zgodnie z pozycją 4 i kolumną 5 z tabeli:

(

) (

)

[

]

=





















+

+













+

=

+

+

+

=

l

l

Fl

l

l

Fl

l

e

d

b

e

d

a

l

C

3

2

2

3

1

3

5

3

2

3

1

2

3

4

6

1

2

2

6

1

2

3

54

41

Fl

=

Przedział nr 3 zgodnie z pozycją 2 i kolumną 3 z tabeli:

3

3

27

10

3

2

3

5

3

1

3

1

Fl

l

l

Fl

adl

C

=

⋅

⋅

⋅

=

=

stąd

(

)

EI

Fl

EI

Fl

EI

Fl

C

C

C

EI

u

C

18

23

54

69

27

10

54

41

27

4

1

3

3

3

3

2

1

=

=













+

+

=

+

+

=