METODA MAXWELLA-MOHRA

Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych
oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.
Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną
(siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie
obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie
przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.
Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w
postaci:

∑ ∫

=

=

δ

n

1

k

l

k

z

k

k

k

dx

EJ

)

x

(

M

)

x

(

M

gdzie:

δ

- poszukiwane przemieszczenie,

k – liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,

k

l

- długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej x

k

na końcu przedziału),

)

x

(

M

k

- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem

rzeczywistym,

)

x

(

M

k

- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i

wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,

E

- moduł Younga,

z

J

- moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.

Całki typy

∫

φ

⋅

φ

l

0

k

i

dx

można obliczyć metodą tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji

φ

i

i

φ

k

jest

liniowa na odcinku długości l. Mianowicie mnożymy pole

Ω

i

wykresu funkcji

φ

i

przez rzędną

ω

k

wykresu

funkcji

φ

k

(ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola

Ω

i

.

k

j

l

0

k

i

dx

ω

⋅

Ω

=

φ

⋅

φ

∫

Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy

φ

i

i

φ

k

są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole

któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:

j

k

k

j

l

0

k

i

dx

ω

⋅

Ω

=

ω

⋅

Ω

=

φ

⋅

φ

∫

Iloczyn

Ω⋅ω

jest dodatni, jeżeli pola wykresów są tego samego znaku i ujemny gdy wykresy mają różne znaki.

Ω

i

ω

k

x

φ

k

φ

i

x

Pola figur i położenia środków ciężkości

POLE

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

Ω

X

C

l

⋅

f

2

1

l

2

1

l

⋅

f

3

2

l

3

1

l

⋅

f

4

3

l

f

l

l

l

f

f

x

c

x

c

x

c

a

ax

ax

2

POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU

WZORU MAXWELLA-MOHRA:

1) Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.

2)

Obciążyć układ

tylko i wyłącznie

siłą jednostkową w miejscu i na kierunku

poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór.

(uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła
jednostkową pionową, jeżeli poszukujemy przesunięcia poziomego -
obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu
- obciążamy układ momentem jednostkowym

)

3) Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach

obciążeń.

4) Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.

5)

Zastosować wzór Maxwella-Mohra do obliczenia poszukiwanego
przemieszczenia.

POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU

SPOSOBU WERESZCZAGINA

DO OBLICZANIA CAŁEK MAXWELLA-MOHRA:

1)

Sporządzić wykresy sił

wewnętrznych S(x) od obciążenia układu siłami

czynnymi

(rzeczywiście działającymi na konstrukcje)

2)

Sporządzić wykresy sił

wewnętrznych S

1

(x) od obciążenia układu siłą

jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego
przemieszczenia

.

3)

Obliczyć powierzchnię

Ω

i wyznaczyć środki ciężkości

x

c

pól wykresu

S(x)

odpowiadających odcinkom prostym

S

1

(x)

4)

Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji)

ϖ

=S

1

(x

c

)

odpowiadające położeniom

środków ciężkości pół wykresu

S(x)

Podziału na pola wykresu

S(x)

dokonujemy po wykonaniu wykresu

S

1

(x)

, kiedy

wiemy ile i jakie odcinki występują na wykresie

S

1

(x)

W przypadku złożonego obciążenia układu korzystniej jest stosować zasadę
superpozycji - wykresy

S(x)

mają prostą postać