1 |

S t r o n a

Metoda Maxwella-Mohra

1. Dla belki obciążonej jak na rysunku wyznacz kąt obrotu i ugięcie kooca swobodnego belki.

Metoda całkowania analitycznego

Do wyznaczenia ugięcia jak i kątu obrotu będzie potrzebny nam moment :

Moment liczymy dla danego

x

należącego do naszego przedziału, na rysunku zaznaczony na

czerwono

.

𝑀 𝑥, 𝑞

0

= −

1
2

𝑔 𝑥 ∗ 𝑥

∗

𝑥
3

Gdzie:



Pole trójkąta



Ramię

Nie znamy

q(x)

wyznaczymy z podobieostwa trójkątów:

𝑞

0

𝑙

=

𝑞(𝑥)

𝑥

𝑞(𝑥) =

𝑞

0

∗ 𝑥

𝑙

Podstawiamy

q(x)

do momentu:

𝑀 𝑥, 𝑞

0

=

−

𝑞

0

∗ 𝑥

3

6𝑙

A

q

0

B

l, E I

x

y

x

q(x)

Sc

2 |

S t r o n a

Liczymy kąt obrotu:

Mamy taki wzorek:

𝜃

𝑖

=

1

𝐸𝐼

𝑀 ∗ 𝑚 𝑑𝑥

𝐿

Gdzie:



M – moment dla belki danej w zadaniu (to co policzyliśmy na początku)



m – moment dla belki w której dodajemy moment

M=1

i nie uwzględniamy sił danych w

zadaniu

Liczymy moment:

Działa tylko nasz dodany moment o wartości 1 czyli:

m(x)=1

co obrazuje wykres:

Mamy to co potrzebujemy podstawiamy do wzoru:

𝜃

𝑖

=

1

𝐸𝐼

(−

𝑞

0

∗ 𝑥

3

6𝑙

)

∗ 1

𝑑𝑥

𝑙

0

= −

𝑞

0

6𝑙𝐸𝐼

𝑥

3

𝑙

0

= −

𝑞

0

6𝑙𝐸𝐼

𝑙

4

4

−

0

4

4

= −

𝒒

𝟎

𝒍

𝟑

𝟐𝟒𝑬𝑰

l, E I

M=1

A

B

1

+

3 |

S t r o n a

Liczymy ugięcie:

Mamy taki wzorek:

𝑓

𝑖

=

1

𝐸𝐼

𝑀 ∗ 𝑚 𝑑𝑥

𝐿

Gdzie:



M – moment dla belki danej w zadaniu (to co policzyliśmy na początku)



m – moment dla belki w której dodajemy siłę

P=1

i nie uwzględniamy sił danych w zadaniu

Liczymy moment:

𝑚 𝑥 = −𝑃 ∗ 𝑥 =

−𝑥

co obrazuje wykres:

Mamy to co potrzebujemy podstawiamy do wzoru:

𝑓

𝑖

=

1

𝐸𝐼

−

𝑞

0

∗ 𝑥

3

6𝑙

∗ −𝑥

𝑑𝑥

𝑙

0

=

𝑞

0

6𝑙𝐸𝐼

𝑥

4

𝑙

0

=

𝑞

0

6𝑙𝐸𝐼

𝑙

5

5

−

0

5

5

=

𝒒

𝟎

𝒍

𝟒

𝟑𝟎𝑬𝑰

l, E I

P=1

x

_

4 |

S t r o n a

Metoda graficzna (Wereszczagina)

𝑓

𝑖

= Θ

𝑖

=

1

𝐸𝐼

𝑀 ∗ 𝑚 𝑑𝑥

𝐿

=

1

𝐸𝐼

Ω

M

∗

y

m

=

1

𝐸𝐼

Ω

m

∗

y

M

Całka z metody całkowania analitycznego

jest równa

iloczynowi

pola(z wykresu)

i

rzędnej(z wykresu)

momentu.
M – moment liczony z podanej w zadaniu belki,

m – moment liczony po dodaniu P=1 lub M=1, tak jak to było przy metodzie całkowej

Liczymy ugięcie:



Jak wiemy z wcześniejszych obliczeo M(x) wynosi: (jak nie liczyliśmy momentu to liczymy
oczywiście teraz)

𝑀 𝑥, 𝑞

0

=

−

𝑞

0

∗ 𝑥

3

6𝑙



Dla ugięcia m(x) to moment z dodanym P=1, ten moment także już liczyliśmy wynosi:

𝑚 𝑥 = −𝑃 ∗ 𝑥 =

−𝑥

Podstawiamy dolną i górną granice przedziału czyli

0

i

l

następnie rysujemy wykresy:

 Warto pamiętad o tym, że wykresy mają byd równo jeden pod drugim.

 Najlepiej rysowad wykres dla którego liczymy pole powyżej a pod nim wykres z którego

bierzmy rzędną.

5 |

S t r o n a

Pole bierzemy dla wykresu o funkcji wyższego stopnia czyli u M(x), bo jest to funkcja trzeciego

stopnia

(

−

𝑞

0

𝒙

𝟑

6𝑙

)

,

natomiast m(x) jest stopnia pierwszego

(

−𝒙

)

.

M(x)

m(x)

Z podobieostwa trójkątów wyliczamy 𝑦

𝑚

:

𝑦

𝑚

4
5

𝑙

=

−𝑙

𝑙

𝑦

𝑚

= −

4
5

𝑙

𝑞

0

𝑙

2

6

−

𝑙

Na wykresie dla którego liczymy pole
zaznaczamy

środek ciężkości

.

Sc

4
5

𝑙

𝑦

𝑚

Opuszczamy

środek ciężkości

na

wykres i mamy

rzędną

której

poszukujemy.

4
5

𝑙

−

6 |

S t r o n a

Liczymy ugięcie ze wzoru podanego na początku metody graficznej:

𝑓

𝐴

=

1

𝐸𝐼

1
4

∗ l ∗

−

𝑞

0

𝑙

2

6

∗ (−

4
5

l)

=

𝒒

𝟎

𝒍

𝟒

𝟑𝟎𝑬𝑰

Ze wzoru na pole funkcji 3 stopnia:

Ω =

1

4

L ∗ a

Liczymy kąt obrotu:

Wykres M(x) jest taki sam jak przy ugięciu. Natomiast wykres m(x) jest dla belki z dodanym M=1, m(x)
dla tej belki już liczyliśmy przy metodzie całkowej m(x)=1. Wiec rysujemy wykresy:

M(x)

m(x)

𝑦

𝑚

= 1

𝑎

𝐿

𝑞

0

𝑙

2

6

Sc

4
5

𝑙

−

1

𝑦

𝑚

Czynności te same co przy ugięciu,
czyli środek ciężkości rzutujemy na
drugi wykres i mamy rzędną.

+

7 |

S t r o n a

Liczymy kąt obrotu ze wzoru podanego na początku metody graficznej:

Θ

𝐴

=

1

𝐸𝐼

1
4

∗ l ∗ (−

𝑞

0

𝑙

2

6

)

∗ 1

= −

𝒒

𝟎

𝒍

𝟑

𝟐𝟒𝑬𝑰

Mam nadzieje, że pomogłem, Czerwiec.