Wykªad 15

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2008/09)

20 01 2009

c

Mariusz Krasi«ski 2009

Spis tre±ci

1 Rozwi¡zania równania Schrödingera

1

1.1 Skok potencjaªu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Efekt tunelowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Wykorzystanie efektu tunelowego

3

2.1 Skaningowy mikroskop tunelowy - STM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

A Dodatek - Równanie Schrödingera dla atomu wodoru

5

B Dodatek - Potencjaª periodyczny - pasma energetyczne

7

UWAGA! Wi¦kszo±¢ rysunków wymaga wªasnor¦cznego dopisania oznacze«!

1 Szczególne przypadki rozwi¡za« równania Schrödingera

1.1 Skok potencjaªu

Rysunek 1: Skok potencjaªu. Wykres energetyczny.

Ksztaªt potencjaªu

• V (x) = 0

dla x < 0

• V (x) = V

dla x > 0

a postaci równania Schrödingera w obu obszarach

•

lewy obszar x < 0

−

~

2

2m

 ∂

2

Ψ

L

∂x

2



= EΨ

L

(1.1)

1

1.1 Skok potencjaªu

1 ROZWIZANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA

•

Prawy obszar x > 0

−

~

2

2m

 ∂

2

Ψ

R

∂x

2



+ V Ψ

R

= EΨ

R

(1.2)

Charakter rozwi¡zania zale»y od relacji pomi¦dzy energi¡ caªkowit¡ E a energi¡ potencjaln¡ V w prawym

obszarze. Rozpatrzmy kolejno dwa mo»liwe przypadki

Przypadek I E > V

Rysunek 2: Skok potencjaªu. Energia cz¡stki E > V

Rozwi¡zania równa« (1.1) i (1.2) maj¡ w tym przypadku posta¢:

•

dla x < 0

Ψ

L

= e

ik

L

x

+

k

L

− k

R

k

L

+ k

R

e

−ik

L

x

•

dla x > 0

Ψ

R

=

2k

L

k

L

+ k

R

e

ik

R

x

gdzie

k

2

L

=

2m(E)

~

2

k

2

R

=

2m(E − V )

~

2

(1.3)

Dyskusja rozwi¡zania na wykªadzie!

Przypadek II E < V

Rysunek 3: Skok potencjaªu. Energia cz¡stki E < V

Równania Schrödingera przyjmuj¡ postaci:

•

dla x < 0

 ∂

2

Ψ

L

∂x

2



+ k

2

L

Ψ

L

= 0

•

dla x > 0

c

Mariusz Krasi«ski 2009

2

1.2 Efekt tunelowy

2 WYKORZYSTANIE EFEKTU TUNELOWEGO

 ∂

2

Ψ

R

∂x

2



− k

2

R

Ψ

R

= 0

a rozwi¡zania w poszczególnych obszarach

Ψ

L

= e

ik

L

x

+

k

L

− ik

R

k

L

+ ik

R

e

−ik

L

x

(1.4)

Ψ

R

=

2k

L

k

L

+ ik

R

e

−k

R

x

(1.5)

gdzie k

L

i k

R

znajdujemy ponownie z zale»no±ci (1.3)

Zajmijmy si¦ rozwi¡zaniem (1.5), dotycz¡cym prawej strony (x > 0) . G¦sto±¢ prawdopodobie«stwa spotkania

elektronu w tym obszarze wynosi

σ = Ψ(x)Ψ

?

(x) =

2k

L

k

L

+ ik

R

e

−k

R

x

2k

L

k

L

− ik

R

e

−k

R

x

=

4k

2

L

k

2

L

+ k

2

R

e

−2k

R

x

(1.6)

i maleje wraz z odlegªo±ci¡ od bariery x.

1.2 Efekt tunelowy

Rysunek 4: Bariera potencjaªu.

Jakie jest prawdopodobie«stwo przebicia si¦ elektronu przez warstw¦ o sko«czonej grubo±ci b?
Zdeniujmy wspóªczynnik transmisji przez warstw¦ o grubo±ci b jako:

T =

σ(b)

σ(0)

Na podstawie (1.6) otrzymamy wi¦c

T =

σ(b)

σ(0)

=

4k

2
L

k

2
L

+k

2
R

e

−2k

R

b

4k

2
L

k

2
L

+k

2
R

e

−2k

R

0

= e

−2k

R

b

Podstawiaj¡c do powy»szego równania warto±¢ wspóªczynnika k

R

z równania (1.3) otrzymamy

T = e

−2

q

2m

~

2

√

V −E b

= e

−

q

8m

~

2

(V −E) b

(1.7)

(Analiza jak zwykle na wykªadzie)

2 Wykorzystanie efektu tunelowego

2.1 Skaningowy mikroskop tunelowy - STM

Zgodnie z wzorem (1.7) pr¡d tunelowy zale»y od grubo±ci bariery b oraz niedoboru energii V − E

0

. Mo»na

wykorzysta¢ t¦ zale»no±¢ do pomiaru ksztaªtu powierzchni na poziomie atomowym.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

3

2.1 Skaningowy mikroskop tunelowy - STM

2 WYKORZYSTANIE EFEKTU TUNELOWEGO

Rysunek 5: Zasada dziaªania Skaningowego Mikroskopu Tunelowego.

W przypadku STM pr¡d tunelowy zale»y od przyªo»onego napi¦cia (regulowanego przez u»ytkownika) oraz

odlegªo±ci ostrza od powierzchni próbki. Nierówno±ci na powierzchni powoduj¡ wi¦c zmian¦ pr¡du tunelowego.

Rozdzielczo±¢ pionowa STM jest wystarczaj¡ca aby bez problemu obserwowa¢ pojedyncze warstwy atomowe.

Opis dziaªania mikroskopu - na wykªadzie.

2.1.1 Mikroskop siª atomowych - AFM

W mikroskopie AFM wykorzystujemy odpychanie pomi¦dzy ostrzem zamocowanym na elastycznym ramieniu

oraz powierzchni¡ próbki. Odksztaªcenia ramienia rejestrowane s¡ przez ukªad wykorzystuj¡cy odbicie promienia

lasera od ramienia (dokªadnie tak jak podczas puszczania zaj¡czków przy pomocy lusterka). Dokªadniejszy

opis dziaªania na wykªadzie.

Rysunek 6: Mikroskop siª atomowych. Najwa»niejsze elementy.

Poni»ej dodatkowe rysunki, które b¦d¡ wykorzystane podczas omawiania zasady dziaªania AFM.

Rysunek 7: Zasada dziaªania AFM

c

Mariusz Krasi«ski 2009

4

A DODATEK - RÓWNANIE SCHRÖDINGERA DLA ATOMU WODORU

A Dodatek - Równanie Schrödingera dla atomu wodoru

Rysunek 8: Ksztaªt potencjaªu dla atomu wodoru

Energia potencjalna elektronu w atomie wodoru ma posta¢:

V (r) = −

e

2

4π

0

r

a równanie Schrödingera

−

~

2

2m

 ∂

2

Ψ

∂x

2

+

∂

2

Ψ

∂y

2

+

∂

2

Ψ

∂z

2



− k

e

2

r

Ψ = EΨ

(A.1)

gdzie

r =

p

x

2

+ y

2

+ z

2

Poniewa» potencjaª jest kulistosymetryczny wi¦c lepiej rozwi¡zywa¢ problem w ukªadzie sferycznym (mimo, »e

na pierwszy rzut oka równanie wygl¡da na bardziej skomplikowane).

Rysunek 9: Ukªad sferyczny (to tylko przypomnienie z I semestru!)

x = r sin θ cos φ

y = r sin θ sin φ

z = r cos θ

Równanie (A.1) przyjmie teraz posta¢:

c

Mariusz Krasi«ski 2009

5

A DODATEK - RÓWNANIE SCHRÖDINGERA DLA ATOMU WODORU

−

~

2

2mr

2

∂

∂r



r

2

∂Ψ

∂r



−

~

2

2mr

2



1

sin θ

∂

∂θ



sin θ

∂Ψ

∂θ



+

1

sin

2

θ

∂

2

Ψ

∂φ

2



− k

e

2

r

Ψ = EΨ

(A.2)

Funkcja falowa zale»y teraz od trzech wspóªrz¦dnych ukªadu sferycznego

Ψ = Ψ(r ,θ, φ)

Okazuje si¦, »e rozwi¡zanie równania (A.2) upraszcza si¦ gdy zaªo»ymy, »e ma ono posta¢

Ψ(r ,θ, φ) = R(r) f (θ) g(φ)

Wtedy równanie (A.2) rozpada si¦ na trzy, do pewnego stopnia zwi¡zane z sob¡, równania. Je±li rozwi¡»emy te

równania (dosy¢ wyszukanymi metodami) wtedy oka»e si¦, »e:

Ψ(r ,θ, φ) = R

n,l

(r) f

l ,m

(θ) e

imφ

(A.3)

czyli dodatkowo zale»y od liczb (zwanych kwantowymi), które nale»aªo wprowadzi¢ aby funkcja falowa speªniaªa

wcze±niej opisane warunki (ci¡gªo±¢, gªadko±¢ itp.).

Je»eli koniecznie musisz zna¢ posta¢ funkcji wyst¦puj¡cych w równaniu (A.3) powiniene±

przeczyta¢ bardziej specjalistyczne ksi¡»ki z mechaniki kwantowej. Ale na przykªad:

R

n,l

(r) = N

nl

 2r

na

0



l

e

−Zr/na

0

L

2l+1
n+1

 2r

na

0



gdzie

N

nl

= −

 2r

na

0



3/2

 (n − l − 1)!

2n[(n + 1)!]

3



1/2

a

0

= −

8πε

0

~

2

me

2

za± L

2l+1
n+1

jest stowarzyszonym wielomianem Laguerre'a, którego ogólna posta¢ wygl¡da

tak

L

k
n

(x) =

n

X

m=0

(−1)

m

(n + k)!

(n − m)!(k + m)!m!

x

m

Je±li si¦ ju» pogubiªe± to przykªad bardziej konkretny

R

32

(r) =

 1

a

0



3/2

4

81

√

30

 r

a

0



2

e

−r/3a

0

Warunki jakie musz¡ speªnia¢ otrzymane liczby kwantowe s¡ nast¦puj¡ce:

•

gªówna n = 1, 2, 3 . . .

•

orbitalna l = 0, 1, 2 . . . n − 1

•

magnetyczna m = −l,(−l + 1), . . . 0, 1, 2, . . . l

c

Mariusz Krasi«ski 2009

6

B DODATEK - POTENCJAŠ PERIODYCZNY - PASMA ENERGETYCZNE

n

l

m

s

1

0

0

±1/2

2

2

0

0

±1/2

2

1

-1

±1/2

0

±1/2

1

±1/2

6

3

0

0

±1/2

2

1

-1

±1/2

0

±1/2

1

±1/2

6

2

-2

±1/2

-1

±1/2

0

±1/2

1

±1/2

2

±1/2

10

Tablica 1: Dopuszczalne kombinacje liczb kwantowych.

Dodatkowo rozró»niamy stany o ró»nych spinowych liczbach kwantowych s = ±

1
2

Energia stanów zwi¡zanych (podobnie jak w modelu Bohra):

E

n

= const

1

n

2

Omówienie wyników na wykªadzie

n=3

m = 0

m = 1

m = 2

l = 0

l = 1

l = 2

Tablica 2: Orbitale dla atomu wodoru. Gªówna liczba kwantowa n = 3

Omówienie tabeli i rysunków na wykªadzie

B Dodatek - Potencjaª periodyczny - pasma energetyczne

W ciele staªym gdy wiele atomów jest bardzo blisko siebie poszczególne elektrony poruszaj¡ si¦ w tak zwanym

potencjale periodycznym.
Wzajemny wpªyw pól atomów powoduje, »e rozwi¡zania równania Schrödingera dla elektronów w ciele staªym

ró»ni² si¦ od tych otrzymanych dla pojedynczych atomów. Porównaj na przykªad rysunek 10, przypadek czterech

studni. Cztery studnie reprezentuj¡ cztery blisko poªo»one siebie atomy. W ka»dym atomie bierzemy pod uwag¦

jeden elektron (krysztaª wodoru). Dla ka»dego pojedynczego atomu powinni±my otrzyma¢ t¦ sam¡ funkcj¦

falow¡ dla znajduj¡cego si¦ tam elektronu (wszystkie atomy s¡ takie same) Widzimy jednak, »e w przypadku

czterech studni otrzymujemy dla czterech elektronów cztery ró»ne funkcje falowe a nie cztery jednakowe. Energia

ka»dego elektronu jest troch¦ inna od pozostaªych. Tworz¡ si¦ tzw. pasma energetyczne.

c

Mariusz Krasi«ski 2009

7

B DODATEK - POTENCJAŠ PERIODYCZNY - PASMA ENERGETYCZNE

Rysunek 10: Potencjaª periodyczny i funkcje falowe dla ró»nej ilo±ci studni.

Rysunek 11: Poziomy energetyczne dla ró»nych odlegªo±ci mi¦dzyatomowych. W miar¦ zbli»ania si¦ atomów

do siebie podpoziomy coraz bardziej si¦ oddalaj¡ od siebie (dopisz komentarz do rysunku na wykªadzie).

Od wzajemnego poªo»enia pasm zale»¡ przewodz¡ce wªasno±ci materiaªu

Rysunek 12: Ukªad pasm energetycznych dla metalu, póªprzewodnika i izolatora (temperatura 0K)

c

Mariusz Krasi«ski 2009

8