Metody Matematyczne w Akustyce - Zestaw 6 na 23 maja 2014.

6.1. W trakcie rozwi¡zywania równania falowego

△Ψ(⃗r, t) − ∂

tt

Ψ(⃗

r, t) = 0

metod¡ separacji zmiennych we wspóªrz¦dnych sferycznych (r, θ, φ) otrzymujemy rów-

nanie

r

2

d

2

R(r)

dr

2

+ 2r

dR(r)

dr

+ [k

2

r

2

− l(l + 1)]R(r) = 0.

a) poka», »e przez zamian¦ zmiennych R(r) =

Z(kr)

√

kr

otrzymujemy równanie Bes-

sela, którego rozwi¡zaniem s¡ funkcje poªówkowe (l +1/2) Bessela I i II rodzaju, czyli

inaczej mówi¡c funkcje Bessela i Neumanna, zwane tak»e cylindrycznymi

b) wyka», »e dla poªówkowych warto±ci ν = ±

1
2

,

±

3
2

,

±

5
2

...

obydwa rozwi¡zania

mo»na wyj¡tkowo otrzyma¢ w postaci szeregu

y(x) = x

λ

Σ

n=

∞

n=0

c

n

x

n

,

gdzie λ = ±ν (zadanie 5.6b z zestawu poprzedniego)

c)funkcje b¦d¡ce rozwi¡zaniem równania dla R(r), nazywane s¡ funkcjami sfe-

rycznymi Bessela I i II rodzaju, czyli inaczej mówi¡c funkcjami sferycznymi Bessela i

sferycznymi Neumanna. Korzystaj¡c z postaci cylindrycznych funkcji Bessela i Neu-

manna (J, Y ) wyka», »e oznaczaj¡c sferyczne funkcje Bessela odpowiednio:

j

l

(x) =

√

π/2

J

l+1/2

(x)

√

x

,

y

l

(x) =

√

π/2

Y

l+1/2

(x)

√

x

maj¡ one nast¦puj¡c¡ posta¢

j

0

(x) =

sin x

x

,

j

1

(x) =

sin x

x

2

−

cos x

x

,

y

0

(x) =

cos x

x

,

j

1

(x) =

− sin x

x

−

cos x

x

2

,

1

d) wyka», »e funkcja j

0

(x)

jest regularna dla x = 0, a funkcja y

0

(x)

jest tam

osobliwa.

6.2 Rozwi¡za¢ dwuwymiarowe równanie falowe dla membrany prostok¡tnej o wy-

miarach (a, b), której wychylenie ζ(x, y, t) w chwili pocz¡tkowej okre±la zale»no±¢
ζ(x, y, 0) = ζ

0

sin(2πx/a) sin(3πy/b)

. Zakªadamy, »e membrana zostaªa puszczona

swobodnie, czyli w chwili pocz¡tkowej jej wychylenie ζ(x, y) ̸= 0, natomiast pr¦dko±¢
∂

t

ζ(x, y, 0) = 0

.

6.3.Jaka jest ró»nica pomi¦dzy drganiami membrany okr¡gªej i membrany o ksztaªcie

pier±cienia koªowego?

6.4. Wykona¢ procedur¦ ortogonalizacji Grama-Schmidta dla nast¦puj¡cych baz wek-

torowych:

⃗

w

1

= (

−6, 6), ⃗w

2

= (

−1, 9)

⃗

w

1

= (0, 1,

−1), ⃗w

2

= (2,

−3, 9), ⃗w

3

= (6, 0, 0)

⃗

w

1

= (2,

−2, −6, 4), ⃗w

2

= (9,

−5, 3, −7), ⃗w

3

= (

−8, −1, 5, −5), ⃗w

4

= (7,

−7, −3, 8),

a nast¦pnie unormowa¢ otrzymane wektory.

6.5. Zbiór funkcji liniowo niezale»nych 1, x, x

2

, x

3

, x

4

...

zortonormalizowac metod¡

Grama - Schmidta w przedziale −1 ≤ x ≤ 1. Jak nazywamy otrzymane funkcje i w

jaki inny sposób mo»emy je obliczy¢?

6.6. Rozwin¡¢ funkcj¦ f(x) = x(1 − x) dla −1 ≤ x ≤ 1 w bazie wielomianów

Legendre'a, wyznaczy¢ explicite wspóªczynniki rozwini¦cia a» do szóstego wª¡cznie.

Zadania dodatkowe

Mo»na zgªosi¢ ch¦¢ rozwi¡zania którego± z tych zada« w celu poprawienia swoich

notowa« lub dla przyjemno±ci

Dodatkowe 1. Rozwi¡za¢ jednowymiarowe równanie falowe

2

∂

2

xx

u =

1

v

2

∂

2

tt

u,

z nast¦puj¡cymi warunkami brzegowymi i pocz¡tkowymi:

u(0, t) = u(l, t) = 0

, u(x, 0) = 0 ∧ ∂

t

u(x, 0) = u

t0

.

Dodatkowe 2. Znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne niejednorodnego równania falowego

∂

2

xx

u

−

1

v

2

∂

2

tt

u = F (x, t),

gdzie F (x, t) = sin ωt + cos(

√

2ωt)

.

Dodatkowe 3. Rozªo»y¢ nast¦puj¡ce funkcje w (podwójny) szereg Fouriera:

f (x, y) = xy

; dla 0 ≤ x < π, 0 ≤ y < π

f (x, y) = 1

; dla 0 ≤ x < a, 0 ≤ y < b

Dodatkowe 4. Rozªo»y¢ nast¦puj¡ce funkcje w (podwójny) szereg Fouriera:
f (x, y) = x

2

y

2

; dla −a ≤ x < a, −b ≤ y < b

f (x, y) = cos(2πx/a) cos

3

(2πy/b)

; dla −a ≤ x < a, −b ≤ y < b (a, b ∈ R).

Dodatkowe 5. Rozwi¡za¢ równanie

∂

2

xx

u + ∂

2

yy

u =

1

v

2

∂

2

tt

u, 0 < x < a, 0 < y < b,

z warunkami brzegowymi u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, ∂

y

u(x, 0, t) = ∂

y

u(x, b, t) = 0

,

u(x, y, 0) = f (x, y)

i ∂

t

u(x, y, 0) = 0

.

Dodatkowe 6. Rozwi¡za¢ zadanie 4.2 dla przypadku f(x, y) = sin

3

(πx/a) cos

2

(2πy/b)

,

gdzie a > 0, b > 0.

Dodatkowe 7. Sprawdzi¢, czy funkcja u(ϱ, t) =

A

√

ϱ

sin(kϱ

− ωt) speªnia równanie

falowe

△Ψ(⃗r, t) − ∂

tt

Ψ(⃗

r, t) = 0,

gdzie funkcja u jest wyra»ona we wspóªrz¦dnych cylindrycznych (ϱ, φ, z)

3