Metody Matematyczne w Akustyce - Zestaw 5 na 25 kwietnia 2014.

5.1. Obliczy¢ ∇ · (∇f) we wspóªrz¦dnych sferycznych, jesli pole skalarne f(r, θ, φ) =
r

2

(1 + θ

2

+ φ

2

)

.

5.2. Znale¹¢ △T , gdzie T (r, θ, φ) = r(cos θ + sin θ cos φ), sprawdzaj¡c wynik we

wspóªrz¦dnych kartezja«skich.

5.3. Korzystaj¡c z metody Frobeniusa rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych wyka»,

»e dla równania

y

′′

(x) + y(x) = 0

otrzymane rozwi¡zanie jest to»same z otrzymanym metod¡ przewidywania, czyli

y(x) = C

1

cos x + C

2

sin x

5.4. Korzystaj¡c z metody Frobeniusa rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych znajd»

rozwi¡zanie ogólne (dwa rozwi¡zania liniowo niezale»ne)

a) równania Legendre'a

(1

− x

2

)y

′′

(x)

− 2xy

′

(x) + α(α + 1)y(x) = 0

wokóª punktu regularnego x = 0.

b) sprawd¹, »e dla parametru α = n, gdzie n - liczba naturalna, dostaniemy

wielomian stopnia n - P

n

(x)

, który b¦dzie regularny tak»e w punktach x = ±1.

Znajd¹ posta¢ tego wielomianu przy warunku P

n

(1) = 1

.

c) znajd¹ posta¢ równania Legendre'a i wielomianów Legendre'a dla x = cos θ,

0

≤ θ ≤ π, bardzo cz¦sto wyst¦puj¡cych w rozwi¡zaniach problemów zycznych,

tak»e w akustyce.

b)wyka», »e prawdziwy jest zwi¡zek rekurencyjny

c

n+2

=

(α

− n)(α + n + 1)

(n + 1)(n + 2)

c

n

5.5. Korzystaj¡c z metody Frobeniusa rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych

znajd» rozwi¡zanie ogólne (dwa rozwi¡zania liniowo niezale»ne) wokóª punktu x = 0

równa«:

1

a)

8x

2

y

′′

(x) + 10xy

′

(x)

− (1 + x)y(x) = 0

b)

xy

′′

(x) + y(x) = 0

c)

4x

2

y

′′

(x)

− 2x(x + 2)y

′

(x) + (x + 3)y(x) = 0

5.6. Korzystaj¡c z metody Frobeniusa rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych

a) znajd» rozwi¡zanie ogólne (dwa rozwi¡zania liniowo niezale»ne)wokóª punktu

x = 0

równania Bessela

x

2

y

′′

(x) + xy

′

(x) + (1

−

ν

2

x

2

) = 0

je±li ν ̸= 0, ±1, ±2...

b) wyka», »e dla poªókowych warto±ci ν = ±

1
2

,

±

3
2

,

±

5
2

...

obydwa rozwi¡zania

mo»na wyj¡tkowo otrzyma¢ w postaci szeregu

y(x) = x

λ

Σ

n=

∞

n=0

c

n

x

n

,

gdzie λ = ±ν.

c) jakiej postaci drugiego rozwi¡zania nale»aªo si¦ spodziewa¢ z ogólnej teorii

otrzymywania rozwi¡za« równa« ró»niczkowych tego typu.

2