Niektóre krzywe na płaszczyźnie R

2

(notatki z wykładu)

1. Okrąg o promieniu r i środku

)

,

(

0

0

y

x

S

=

ma równanie kanoniczne:

2

2

2

)

(

)

0

0

(

r

y

y

x

x

=

−

+

−

.

Okrąg o promieniu r i środku

)

,

(

0

0

y

x

S

=

można też zapisać w postaci

parametrycznej:







+

=

+

=

>

∈<

π

2

;

0

,

sin

cos

0

0

t

t

r

y

y

t

r

x

x

Postać parametryczną najwygodniej jest stosować przy opisie fragmentów okręgów. Np. łuki

2

1

i

l

l

przedstawione na rysunku powyżej mają postać parametryczną:







=

=

>

∈<

,

;

2

,

sin

2

cos

2

:

1

π

π

t

t

y

t

x

l







=

=

>

∈<

.

2

;

,

sin

cos

:

2

π

π

t

t

y

t

x

l

Zadanie. Zapisać ogólne równanie okręgu:

0

1

4

2

2

2

=

−

+

+

−

y

y

x

x

w postaci kanonicznej i w

postaci parametrycznej.

2. Elipsa o środku

)

0

,

0

(

=

S

i półosiach

a

i b ma równanie

kanoniczne:

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

,

i następującą postać parametryczną:







=

=

>

∈<

.

2

;

0

,

sin

cos

π

t

t

b

y

t

a

x

)

0

,

(

),

0

,

(

2

1

c

F

c

F

−

=

=

to ogniska elipsy; c to połowa odległości między ogniskami. Jeżeli a jest

dużą półosią elipsy, b małą półosią elipsy, to zachodzą zależności:

2

2

2

c

b

a

+

=

;

a

r

r

2

2

1

=

+

.

(

2

1

, r

r

to odległości dowolnego punktu elipsy od ognisk

1

F

i

2

F

).

Określa się też mimośród

a

c

e

=

, który jest miarą „ściśnięcia” elipsy. Dla elipsy mamy

1

<

e

.

3. Hiperbola o środku

)

0

,

0

(

=

S

i półosi rzeczywistej

a

oraz

półosi urojonej b ma równanie kanoniczne:

1

2

2

2

2

=

−

b

y

a

x

,

)

0

,

(

),

0

,

(

2

1

c

F

c

F

−

=

=

to ogniska hiperboli;

a

r

r

2

2

1

=

−

;

mimośród

1

>

=

a

c

e

.

4. Parabola.

Parabolą nazywamy zbiór punktów równoodległych od punktu F

(ogniska) i prostej (zwanej kierownicą).

Jeżeli

)

0

,

(

2

p

F

=

, to kierownica ma równanie

2

p

x

−

=

,

a równanie paraboli ma wtedy postać

px

y

2

2

=

.

Niektóre powierzchnie w przestrzeni R

3

.

1. Powierzchnia sferyczna (sfera) o promieniu r i środku

)

,

,

(

0

0

0

z

y

x

S

=

ma równanie kanoniczne:

2

2

2

2

)

(

)

(

)

0

0

0

(

r

z

z

y

y

x

x

=

−

+

−

+

−

.

Natomiast w przypadku środka w punkcie

)

0

,

0

,

0

(

mamy równanie

2

2

2

2

r

z

y

x

=

+

+

.

Taką sferę możemy zapisać też w postaci parametrycznej (dwoma

parametrami są tu odpowiednie kąty):











≤

≤

≤

≤

=

=

=

.

0

,

2

0

,

cos

,

sin

sin

,

sin

cos

π

θ

π

ϕ

θ

θ

ϕ

θ

ϕ

r

z

r

y

r

x

Jeśli

M jest dowolnym punktem sfery, to kąt

ϕ

jest kątem między

rzutem wektora

M

O

r

na płaszczyznę Oxy a osią Ox , kąt

θ

jest kątem

między wektorem

M

O

r

a osią Oz .

Półsferę o środku

)

0

,

0

,

0

(

i promieniu

r dla

0

≥

z

(jak na rysunku

obok) możemy opisać równaniem

2

2

2

y

r

z

x

−

−

=

otrzymanym z postaci kanonicznej sfery.
Taka półsfera ma równania parametryczne jak dla sfery przy kącie

θ

z

zakresu

>

<

2

;

0

π

.

Elipsoida o środku w punkcie

)

0

,

0

,

0

(

o półosiach odpowiednio

c

b

a

,

,

ma

postać kanoniczną

1

2

2

2

2

2

2

=

+

+

c

z

b

y

a

x

.

Przykłady różnych powierzchni.

Paraboloida obrotowa:

2

2

y

z

x

+

=

Powierzchnia stożkowa (stożek obrotowy),
której tworząca jest nachylona do płasz-
czyzny xOy pod kątem

4

π

, a wierzchołek

znajduje się w punkcie

)

0

,

0

,

0

(

:

2

2

2

y

z

x

+

=

Powierzchnia stożkowa o

równaniu

2

2

y

a

z

x

+

−

=

Powierzchnia walcowa
(walec obrotowy):

2

2

2

r

x

y

=

+

(oś obrotu pokrywa się z osią
Oz

).

Powierzchnia walcowa – walec
paraboliczny (kierownicą jest tu
parabola, a tworzące są równoległe
do osi Oy):

2

4

x

z

−

=

.

Powierzchnia walcowa – (część

walca obrotowego) o równaniu:

2

1

2

y

z

−

−

=

(kierownicą jest tu półokrąg, a
tworzące są równoległe do osi
Ox).