Niektóre krzywe na płaszczyźnie R2 (notatki z wykładu) 1. Okrąg o promieniu r i środku S = ( x , y ) ma równanie kanoniczne: 0

0

2

2

2

( x − x ) + ( y − y ) = r .

0

0

Okrąg o promieniu r i środku S = ( x , y ) można też zapisać w postaci 0

0

parametrycznej:

 x = x

r

t

0 +

cos



 y = y

r

t

t

0 +

sin , ∈<

π

2

;

0

>

Postać parametryczną najwygodniej jest stosować przy opisie fragmentów okręgów. Np. łuki l

i l przedstawione na rysunku powyżej mają postać parametryczną: 1

2

 x = 2cos t

 x = cos t

l : 

l : 

1

π

2

 y = 2sin t , t ∈<

; π >,

y = sin t , t ∈< π 2

; π >

2



.

Zadanie. Zapisać ogólne równanie okręgu: 2

2

x − 2 x + y + 4 y −1 = 0 w postaci kanonicznej i w postaci parametrycznej.

2. Elipsa o środku S = (

)

0

,

0

i półosiach a i b ma równanie kanoniczne:

2

2

x + y = 1,

2

2

a

b

i następującą postać parametryczną:

 x = a cos t



 y = b sin t , t ∈< 2

;

0 π > .

F = ( c 0

, )

, F = (− c 0

, ) to ogniska elipsy; c to połowa odległości między ogniskami. Jeżeli a jest 1

2

dużą półosią elipsy, b małą półosią elipsy, to zachodzą zależności: 2

2

2

a = b + c ;

r + r = 2 a .

1

2

( r

, r to odległości dowolnego punktu elipsy od ognisk F i F ).

1

2

1

2

c

Określa się też mimośród e =

e <

a , który jest miarą „ściśnięcia” elipsy. Dla elipsy mamy 1.

3. Hiperbola o środku S = (

)

0

,

0

i półosi rzeczywistej a oraz

półosi urojonej b ma równanie kanoniczne: 2

2

x − y = 1,

2

2

a

b

F = ( c 0

, )

, F = (− c 0

, ) to ogniska hiperboli;

1

2

r − r = 2 a ;

1

2

c

mimośród e =

> 1

a

.

4. Parabola.

Parabolą nazywamy zbiór punktów równoodległych od punktu F

(ogniska) i prostej (zwanej kierownicą).

p

p

Jeżeli F = (

0

, ) , to kierownica ma równanie x = −

,

2

2

a równanie paraboli ma wtedy postać

y 2 = 2 px .

Niektóre powierzchnie w przestrzeni R3.

1. Powierzchnia sferyczna (sfera) o promieniu r i środku S = ( x , y , z ) ma równanie kanoniczne: 0

0

0

2

2

2

2

( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) = r .

0

0

0

Natomiast w przypadku środka w punkcie (

)

0

,

0

,

0

mamy równanie

2

2

2

2

x + y + z = r .

Taką sferę możemy zapisać też w postaci parametrycznej (dwoma parametrami są tu odpowiednie kąty):

 x = r cosϕ sinθ ,

 y = r sinϕsinθ ,

 z = r cosθ 0

,

≤ ϕ ≤ 2π 0

,

≤ θ ≤ π.

Jeśli M jest dowolnym punktem sfery, to kąt ϕ jest kątem między r

rzutem wektora

M

O

na płaszczyznę Oxy a osią Ox , kąt θ jest kątem r

między wektorem M

O

a osią Oz .

Półsferę o środku (

)

0

,

0

,

0

i promieniu r dla z ≥ 0 (jak na rysunku obok) możemy opisać równaniem

2

2

2

z = r − x − y otrzymanym z postaci kanonicznej sfery.

Taka półsfera ma równania parametryczne jak dla sfery przy kącie θ z zakresu <

π

;

0

> .

2

Elipsoida o środku w punkcie (

)

0

,

0

,

0

o półosiach odpowiednio a b

,

c

, ma

postać kanoniczną

2

2

y

2

x +

+ z = 1.

2

2

2

a

b

c

Przykłady różnych powierzchni.

Paraboloida obrotowa:

Powierzchnia stożkowa (stożek obrotowy), Powierzchnia stożkowa o

której tworząca jest nachylona do płasz-równaniu

2

2

z = x + y

π

czyzny xOy pod kątem

, a wierzchołek

2

2

4

z = a − x + y znajduje się w punkcie (

)

0

,

0

,

0

:

2

2

2

z = x + y

Powierzchnia walcowa – walec

Powierzchnia walcowa – (część

Powierzchnia walcowa

paraboliczny (kierownicą jest tu walca obrotowego) o równaniu: (walec obrotowy):

parabola, a tworzące są równoległe

2

2

2

2

x + y = r

z = 2 − 1− y

do osi Oy):

(oś obrotu pokrywa się z osią

2

(kierownicą jest tu półokrąg, a

z = 4 − x .

Oz).

tworzące są równoległe do osi

Ox).