plik

1. Istota jakościowego i ilościowego planowania eksperymentu

 Jakościowe planowanie eksperymentu (qualitative experiment design):

Polega ono na wyborze konfiguracji wejście-wyjście tak, aby zapewnid (jeśli to w ogóle możliwe) globalną
identyfikację wszystkich parametrów systemu. Jakościowe planowanie eksperymentu korzysta pojęcia i
narzędzi badania indentyfikalności modelu.

 Ilościowe planowanie eksperymentu (quantitative experiment design):

Polega ono na optymalizacji odpowiedniego  kryterium  (odnoszącego się np. do postaci pobudzenia  lub
schematu próbkowania,  tj. liczby i lokalizacji próbek odpowiedzi).  Optymalizacja ilościowa prowadzi do
określenia takich warunków  eksperymentu,  które zapewniają uzyskani

2. Jaki warunek musi byd spełniony, aby parametry modelu mogły byd jednoznacznie

wyznaczone na podstawie noise-free input-output data?

Dla obranego poprawnego  modelu wektor  jego parametrów  może byd jednoznacznie wyznaczony  na
podstawie noise-free input-output  data tylko wtedy gdy model jest strukturalnie globalnie identyfikowalny.
Jeśli model nie jest s.g.i., wówczas istnieje więcej niż jeden zbiór parametrów,  dla których  uzyska się dobre
dopasowanie odpowiedzi  do danych pomiarowych.
Model jest S.G.I czyli strukturalnie  globalnie identyfikowalny gdy jego wszystkie parametry  są SGI.
Wektor parametrów  p:

[

]

Niech dwie wartości wektora parametrów modelu:

( )

różnią się tak niewiele, że odpowiedzi

modelu

( )

są nierozróżnialne

(

( )

) (

( )

)

Parametr

jest SGI gdy dla każdego

( )

zachodzi :

(

( )

) (

( )

)

( )

3. Omów rezultat identyfikacji parametrów modelu, który nie jest strukturalnie globalnie

identyfikowalny lecz jest identyfikowalny lokalnie.

Jeżeli model jest lokalnie identyfikowalny to wszystkie parametry  mogą byd obliczone, ale niektóre z nich mają
więcej niż jedno rozwiązanie.  Tak więc SLI mówi o tym że istnieją modele o różnych  wektorach  parametrów,
odpowiadające identycznym  sygnałem wyjściowym na zadane pobudzenie.  Model taki jest nierozróżnialny  z
punktu  widzenia mierzonego  sygnału wyjściowego. Jednakże powinniśmy  wybrad jedno rozwiązanie kierując
się wiedzą adekwatną do modelu, np. medyczną.   Np poprzez  wykluczanie rozwiązao nie spełniających
zadanych warunków,  logicznych oraz założeniowych  (np stężenie < 0 % większa ilośd substancji w miejscu
badania niż w miejscu podania). Czasem jednak nie mamy podstaw do takiego rozumowania,  a wówczas
należy zmodyfikowad  strukturę  modelu do postaci globalnie identyfikowalnej.

4. Jakośd modelu – analiza czułościowa

Model spełniający warunki strukturalnej identyfikowalności, może nie byd identyfikowalny w praktyce,

gdy  proces  estymacji  znajduje  się  pod  silnym  wpływem  błędów  pomiarowych.  Proces  estymacji  parametrów
wymaga  znalezienia  minimum  funkcji  kryterialnej  w  przestrzeni  wielowymiarowej.  Rozmiar  przestrzeni  jest
równy  liczbie  estymowanych  parametrów.  Przykładowo,  dla  funkcji  modelu

mod





przestrzeo

parametrów jest 2-wymiarowa a dla

mod







przestrzeo parametrów jest 6-

wymiarowa. Oznaczmy przez

czułośd funkcji kryterialnej J względem parametru

,..,



. Rozważmy

hipotetyczne czułości

oraz



   



Załóżmy, że rozdzielczośd dla J, wynikająca z błędów pomiarowych, wynosi



. Zatem błąd



estymaty

, związany z rozdzielczością, jest mniejszy dla dużej czułości

, niż błąd



estymaty

dla

mniejszej czułości

. Tak, więc, dla takiego samego błędu pomiaru, błędy estymat są różne, zależnie od

czułości

Zależnośd między czułością oraz błędem estymat parametrów może byd przedstawiona w formie

analitycznej. Przywołajmy funkcję kryterialną i zapiszmy ja w postaci macierzowej:



 



mod





gdzie y i





mod

,..,



to odpowiednio zbiór N próbek odpowiedzi systemu i odpowiedzi modelu.

Różniczkując J względem wektora parametrów

 

,..,



otrzymujemy:









mod













gdzie





mod

to macierz czułości o wymiarze





















Oznaczmy przez



p współrzędną minimum globalnego funkcji kryterialnej J. Rozwiniemy

 

mod

szereg Taylora w otoczeniu



p i ograniczymy rozwinięcie do czynnika liniowego. Tak, więc odpowiedź modelu,

w otoczeniu minimum, przyjmie postad:

 





 



























mod

Zauważmy, że w minimum funkcji kryterialnej J, tzn. w punkcie o współrzędnych





jest

wektorem zerowym i do powstałego w ten sposób równania podstawmy powyższe wyrażenie na

 

mod

. Po

odpowiednich przekształceniach otrzymujemy wyrażenie:

















gdzie

 







mod

to tzw. błąd residualny.

Poszukiwanie wyrażenia na błędy estymat parametrów sprowadza się do poszukiwania macierzy

wariancji-kowariancji

tych estymat:











def









, gdzie E jest operatorem wartości oczekiwanej.

Po uwzględnieniu przedstawionych powyżej zależności, i po odpowiednich przekształceniach, wyrażenie

na macierz wariancji-kowariancji estymat parametrów modelu przyjmuje postad:





 



















Powyższe wyrażenia upraszcza się, gdy założymy, że błąd residualny jest szumem białym, tzn.: próbki błędu są

nieskorelowane (pozadiagonalne elementy macierzy



są zerowe) wartośd oczekiwana błędu jest równa

zero a kowariancja (elementy z głównej przekątnej) jest stała i wynosi



, czyli

 









, a wówczas:

















Macierz powyższa jest symetryczna, gdyż kowariancje są parami symetryczne.

Elementy macierzy S to czułości odpowiedzi na zmiany parametrów. Gdy zmiany pewnego parametru

nie mają wpływu na odpowiedź, to cała r-ta kolumna macierzy S (odpowiednio cały wiersz macierzy

)

będzie zerowa. Jeśli tak, to macierz

będzie miała jedną (lub więcej) zerową kolumnę i wiersz. W rezultacie

macierz

stanie się osobliwa (











det

) a wówczas błędy estymat staną się nieskooczenie wielkie:































det

adj



Zauważmy, że zerowa czułośd odpowiedzi względem jakiegoś parametru oznacza, że model nie jest

strukturalnie identyfikowalny. Jednak nawet wtedy, gdy strukturalna identyfikowalnośd modelu została
wcześniej potwierdzona, może zdarzyd się, że macierz

jest bliska osobliwej. Jest tak między innymi wtedy,

gdy występuje silna wzajemna zależnośd pomiędzy parametrami, czyli ma miejsce silna korelacja pomiędzy
wierszami i kolumnami macierzy

. Odwracanie takiej, bliskiej osobliwej, macierzy

daje bardzo duże

wartości elementów macierzy wariancji-kowariancji.

Reasumując, macierz

powinna byś nieosobliwa, a czułości S duże. Jednak nawet wtedy mogą

wystąpid duże błędy estymat, gdy



jest wielkie.

5. Jakośd modelu – matematyczna kryteria jakości

Matematyczne  kryteria jakości to : kryterium  informacyjnym  Akaike oraz kryterium  Schwarza, zwanym  także
kryterium  MDL (minimum  description length).
Zgodnie z kryterium  Akaike AIC najlepszy spośród potencjalnych modeli jest ten, który zapewnia dobre
dopasowanie oraz równocześnie opisany jest przez niewielką liczbę parametrów.  Kryterium  to ma postad:

(

)

Kryterium Schwarza SC, (MDL), jest następujące:

(

)

Pierwszy człon FC(popt) związany jest z dokładnością dopasowania odpowiedzi  modelu do danych
pomiarowych  – jest to wartośd funkcji celu w rozwiązaniu optymalnym,  czyli jej minimalna wartośd.
Drugi człon to funkcja kary za zbyt dużą liczbę parametrów  modelu np. Kryterium  Schwarza nakłada
dodatkowe  kary na te modele, które do uzyskania dobrego  dopasowania wymagają większej liczby pomiarów
N. Jest to kara za nieprzestrzeganie zasady oszczędności.

6. Na czym polega badanie indentyfikalności modelu metodą transformacji Laplace’a?

Badanie indentyfikalności modelu metodą  transformacji Laplace’a bazuje na analizie operatorowej  funkcji
przenoszenia G(s). Najprościej można to opisad jako przeniesienie funkcji z dziedziny czasu to dziedziny
częstotliwości (j ).
Załóżmy sygnał w chwili czasu zależny zarówno  od pobudzenia  jak i od stanu poprzedniego  z nadanym
warunkiem  początkowym

̇( ) ( ) ( ) ( )

Oraz sygnał wyjścia

( ) ( )

Gdzie ( ) to sygnał pobudzenia.

Przyjmijmy że sygnały mają postacie kolumnowych wektorów:

 

     







 

       







 







Przyjmując pobudzenie jako bardzo duży przyrost substancji w bardzo krótkiej chwili czasu, stwierdzamy że
możemy takie pobudzenie potraktowad jako deltę diraca dziedzinie czasu

( ) ( )

Tak więc w dziedzinie częstotliwości będzie miało postad :

( )

Dla każdej pary pobudzenie-odpowiedź należy wyznaczyd operatorową funkcję przenoszenia i zbadad jej
właściwości. W tym celu zapiszemy równania stanu w postaci macierzowej na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej s.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )
( )

Poszczególne elementy macierzy G(s) to funkcje przenoszenia od wejścia w obszarze pierwszym (przewód
pokarmowy) do kolejnych wyjśd.

 

































































mod

Aby rozstrzygnąd kwestię identyfikowalności modelu należy skonfrontowad  obliczenia teoretyczne  z wynikami
eksperymentu.  Po przeprowadzeniu  eksperymentu,  dla zmierzonych,  fizycznych sygnałów, tj. dla pobudzenia i
dla odpowiedzi,  wyznacza się transmitancję operatorową.  Teraz, w miejscu kombinacji poszukiwanych
parametrów  pi, znajdą się wartości liczbowe.

 

















pom

gdzie ai, bi, ci oraz ei to wyznaczone eksperymentalnie wartości liczbowe

Dla poprawnie obranego modelu i dobrze przeprowadzonego eksperymentu stopnie licznika i mianownika
transmitancji Gmod(s) oraz Gpom(s) muszą byd zgodne. Jeżeli ten warunek jest spełniony układa się układ
równao względem poszukiwanych parametrów. Np dla

( )

 































Równanie 1 i 2 są liniowo zależne.
W równaniach nie występują p6 i p7.
Parametry  w równaniach 3 i 4 uwikłane są w nieliniowe zależności; rozwiązania, które wyznaczymy  mogą byd
niejednoznaczne.
Należy sprawdzid wszystkie kombinacje wejście odpowiedź  dlatego że w układzie równao algebraicznych w
ogóle nie występują p6 i p7 więc model nie jest strukturalnie globalnie identyfikowalny. W układzie 5 równao
algebraicznych, z których dwa pierwsze są liniowo zależne, występuje 5 parametrów,  które  są uwikłane są w
nieliniowe zależności, układ ten ma zatem więcej niż jedno rozwiązanie, niektóre  parametry  są lokalnie
identyfikowalne.

7. Co rozumiemy pod pojęciem zmiennych eksperymentu

Istnieje grupa zmiennych eksperymentu, które możemy kształtowad dla uzyskania eksperymentu
optymalnego. Tworzą one tzw. dziedzinę zmiennych eksperymentu, do której należą:

 Pobudzenie ( )
 Czas trwania pobudzenia

 Dawka pobudzenia ∫ ( )

 Energia pobudzenia ∫

( )

 Schemat próbkowania odpowiedzi SP
 Czas obserwacji

 Liczba próbek N i sposób ich rozmieszczania na przedziale obserwacji

8. Twierdzenie Cramera-Rao. Interpretacja fizyczna.

Informacji o parametrach poszukuje się na podstawie próbek zaszumionego sygnału wyjściowego:

     





Taki zbiór danych pomiarowych związany jest z wektorem parametrów za pomocą funkcji gęstości
prawdopodobieostwa warunkowego. Związek ten jest wyrażony za pośrednictwem macierzy informacyjnej
Fishera M, która jest miarą ilości informacji zawartej w zaszumionych danych pomiarowych

 















































log

Macierz M, za pośrednictwem  twierdzenia Cramera-Rao, określa możliwą do uzyskania dokładnośd estymat
parametrów.  Twierdzenie Cramera-Rao głosi, że  macierz kowariancji estymat parametrów  jest ograniczona od
dołu przez odwrotnośd  macierzy informacyjnej Fishera

 











cov









est

Podana ogólna postad macierzy Fishera M jest niedogodna do praktycznego wykorzystania,  gdyż funkcja
gęstości prawdopodobieostwa  warunkowego  jest skomplikowana. Przy założeniu, że szum pomiarowy  jest
addytywny,  jego próbki  są nieskorelowane i mają rozkład gaussowski, wyrażenie upraszcza się i przyjmuje  tzw.
postad czułościową:

 

 

















































Macierz informacyjna M jest powiązana z poszukiwanymi  parametrami modelu  p poprzez  odpowiedź  modelu
y(p,t).
Celem jest uzyskanie estymat o minimalnej kowariancji. Zgodnie z tw. Cramera-Rao, wymaga to zapewnienie
max(M), lub min(1/M). Gdy znajdziemy taki zestaw wartości zmiennych  eksperymentu,  który  zapewni
spełnienie tego warunku,  to tak zaplanowany eksperyment  uznamy  za optymalny  z punktu  widzenia osiągalnej
dokładności parametrów.
Macierz informacyjną  rozpatruje  się jako funkcję zmiennych eksperymentu  tj. jako funkcję kształtu
pobudzenia,  jego czasu trwania, dawki i energii, jako funkcję czasu obserwacji odpowiedzi,  liczby pobranych
próbek  i schematu próbkowania

 







Możliwe jest kształtowanie zmiennych eksperymentu tak, aby zapewnid max(M).

9. W jaki sposób zapewniamy warunek minimalnej kowariancji estymat parametrów

modelu w metodach optymalizacji bazujących na twierdzeniu Cramera-Rao ?

Poprzez  minimalizację macierzy Fishera (w czułościowej postaci).
Jak należy rozumied pojęcie minimalizacja macierzy? Rozpocznijmy  od definicji równości macierzy : dwie
macierze, przykładowo   [

] oraz [

], są równe tylko wtedy, gdy mają takie same wymiary oraz gdy dla

każdej pary wskaźników i oraz k zachodzi równośd

. Twierdzenie Cramera-Rao wiąże macierz

kowariancji estymat z macierzą informacyjną Fishera : [

]

. Przyjmijmy lokalnie oznaczenia

[

] [

] to macierz estymat, a [

]

to macierz równa odwrotności macierzy Fishera.

Zgodnie z twierdzeniem Cramera-Rao pożądane jest aby [

] [

] . Oznacza to, że dla każdej pary

wskaźników i oraz k musi zachodzid relacja

, w szczególności dla zachodzi relacja dla wariancji

[

] [

].Wariancje powinny byd możliwie małe. Staramy się to osiągnąd minimalizując wartości macierzy

[

]

Jeżeli znajdziemy taki zestaw wartości zmiennych eksperymentu, który zapewni minimum , to tak
zaplanowany eksperyment uznamy za optymalny z punktu widzenia osiągalnej dokładności estymat
parametrów.

10.Na czym polega D-optymalizacja

D-optymalizacja polega na minimalizacji odwrotności wyznacznika macierzy informacyjnej Fishera, lub co jest
równoważne, na maksymalizacji wyznacznika tej macierzy

 





min

det







Kryterium D-optymalności jest efektywne i stosunkowo łatwe w implementacji. Dzięki tym zaletom jest
chętnie stosowane, zwłaszcza do wyznaczania optymalnych schematów próbkowania.

11.Analogowa i cyfrowa filtracja sygnałów biomedycznych, porównanie, wymagania.

W zasadzie wszystkie sygnały definiujące model, z wyjątkiem zadanego sygnału wejściowego, należy traktowad
jako sygnały stochastyczne.
W filtracji cyfrowej rolę filtru pełnią algorytmy oparte na przekształceniach matematycznych  operujących na
zbiorze liczb reprezentujących  sygnał. Dzięki stosowaniu metod  cyfrowych, proces filtracji jest bardziej
dokładny, a sam filtr cyfrowy jest bardziej odporny  na zakłócenia niż filtr analogowy.
Istotną zaletą filtrów cyfrowych  jest możliwośd łatwej, bo programowej  zmiany parametrów  filtracji. Dla
tradycyjnych  filtrów, w postaci urządzeo filtrujących, wymaga to zmian konstrukcyjnych.
Filtracja analogowa jest historycznie najstarsza. Rolę filtru pełnią obwody  selektywne względem określonych
częstotliwości. Filtracja analogowa polega na tłumieniu częstotliwości na zewnątrz  pasma użytecznego.
Pierwszymi filtrami analogowymi były proste układy RLC. Z czasem układy te uległy rozbudowie  - powstawały
filtry drabinkowe,  filtry Butterwortha,  filtry Czebyszewa oraz filtry eliptyczne.
Wśród filtrów analogowych wyróżnia się cztery podstawowe  ich typy: dolno przepustowy,  górno przepustowy,
środkowo  zaporowy  i środkowo  przepustowy.
W zależności od zastosowanych elementów wyróżnia  się następujące typy filtrów:
- filtry pasywne - zbudowane  z elementów  pasywnych R, L i C,
filtry aktywne  -  zbudowane  z elementów pasywnych R, L i C oraz z elementów aktywnych  tj. tranzystorów  i
wzmacniaczy operacyjnych.

System pobudzono  sygnałem u, zmierzono  odpowiedź  z – to sygnał zakłócony. Zadanie filtracji Kalmana polega
na znalezieniu informacji o stanie systemu xk w chwili k-tej, k=1,2,…,N, na podstawie pomiarów  sygnału
zakłóconego zk dokonanych  do chwili k.
Do rozwiązania zadania konieczna jest: macierz układu  A  i macierz wejścia B. Parametrami filtracji są: macierz
błędu pomiaru R i macierz błędu modelu Q.
Przy odpowiednim  doborze  R i Q sygnał po filtracji ma zmniejszone zakłócenia, przy niezmienionej postaci.
Stosując filtrację stochastyczną można  poprawid jakośd modelowania systemów biomedycznych.

13.Twierdzenie o optymalności pobudzenia o stałej dawce. Znaczenie praktyczne

Obowiązuje twierdzenie:
Dla systemów liniowych z jednym  wejściem i z jednym  wyjściem, z gaussowskim szumem pomiarowymi  (o
wartości średniej zero i o stałej wariancji) pobudzenie  impulsowe, spośród pobudzeo  nieujemnych  o tej samej
dawce, zapewnia minimum  dolnego ograniczenia Cramera-Rao macierzy kowariancji estymat parametrów.

 











cov









est

Z twierdzenia tego wynika, że pobudzenia  optymalne  o stałej dawce, mają postad impulsu. Realizacją fizyczną
takiego pobudzenia jest iniekcja lub bardzo  szybka infuzja.
Optymalizacja sygnału testującego polega na wyznaczeniu takiego uopt,  należącego do zbioru   rozwiązao
dopuszczalnych (np. nieujemnych  w przypadku  systemów biomedycznych),  dla którego  funkcja celu I(uopt)
osiąga maksimum, tzn.

 

))

(

max

opt



 

 

























































(

M zależy od pobudzenia u(t) i od parametrów modelu p. Zależnośd ta jest zawarta w odpowiedzi modelu:

 





Funkcje celu dla kryteriów  D-optymalizacji, L-optymalizacji, A-optymalizacji, E-optymalizacji oraz optymalizacji
czułościowej przedstawione zostały wcześniej. Są one nieliniowymi wyrażeniami optymalizowanej  zmiennej
u(t). Na tę zmienną nałożone są dodatkowe ograniczenia na dawkę lub na energię.
Te ograniczenia także są nieliniowymi funkcjami zmiennej u(t).   Zastosowanie sygnału  dla celów
eksperymentu  biomedycznego  wymaga nałożenia na ten sygnał dodatkowych  więzów.
Praktyka :
Istnieją leki, których  nie można  podawad z dużą szybkością, gdyż może to prowadzid do poważnych  skutków
ubocznych.

Do leków wymagających ograniczonej szybkości podawania należą m.in. leki nasercowe, antybiotyki, leki
przeciwnowotworowe.

W takich przypadkach należy poszukiwad pobudzenia optymalnego  w klasie pobudzeo  o ograniczonej energii.
Oto kilka przykładów  leków, dla których  skutki uboczne związane są ze zbyt dużą szybkością ich podawania:
- Lidokaina (lidocaine) - lek nasercowy, przeciwarytmiczny,  stosowanym dla przywrócenia  regularnej pracy
serca w przypadku  arytmii (Pharmindex, 2007). Działanie toksyczne tego leku na centralny system nerwowy
zależy od szybkości podawania leku, od dawki, wagi pacjenta i wydolności jego wątroby.