Biosygnały

Opracowanie pytao

MC_OMEN

Treści pytao

1.

Zinterpretuj właściwości parametrów sygnałów przypadkowych: wartości średnie, wariancji, skośnośd,

kurioza. Definicje należy zilustrowad za pomocą odpowiednich rysunków.
2.

Udowodnij, że dla rozkładu Gaussa tylko dwa pierwsze momenty są niezerowe.

3.

Podaj definicję histogramu oraz sposób dobierania szerokości przedziałów.

4.

Oblicz gęstośd prawdopodobieostwa wystąpienia określonej wartości dla zadanego przebiegu, np. fali

prostokątnej o wypełnieniu ½, itp.
5.

Podaj klasyfikację sygnałów. Do jakiej kategorii zaliczysz sygnał EKG i EEG

6.

Podaj definicję korelacji i autokorelacji oraz podaj i zilustruj ich interpretację.

7.

Podaj definicję widmowej gęstości energii i omów jej właściwości.

8.

Podaj definicję widmowej gęstości mocy i omów jej właściwości.

9.

Jaką wielkością (uzasadnij) jest widmowa gęstośd mocy.

10.

Podaj metody analizy sygnału elektromiograficznego.

11.

Zinterpretuj algorytm detekcji zespołu QRS opisany następującą zależnością: tutaj jedna z zależności

podanych na wykładzie (raczej prostsza)
12.

Podaj transmitancję układu różnicowego oraz podwójne różnicy o omów jej wpływ na filtrację

rzeczywistego sygnału elektromiograficznego.
13.

Opisz model sygnału elektroneurograficznego, rozważ różne przypadki czasu trwania i prędkości

przewodnictwa na złożonośd modelu.
14.

W jakich przypadkach może byd przydatne badanie elektrogastrograficzne.

15.

Podaj parametry sygnału EKG, emg i EEG.

1.

Zinterpretuj właściwości parametrów sygnałów przypadkowych: wartości średnie, wariancji,

skośnośd, kurioza. Definicje należy zilustrowad za pomocą odpowiednich rysunków.

Wartośd średnia w rachunku prawdopodobieostwa wartośd określająca spodziewany wynik doświadczenia
losowego.

̅

∫ ( )

Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem
zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleo (różnic) poszczególnych wartości cechy od
wartości oczekiwanej.

∫, ( ) ̅-

Skośnośd - (Współczynnik skośności rozkładu)- to miara asymetrii rozkładu. Współczynnik skośności przyjmuje
wartośd zero dla rozkładu symetrycznego, wartości ujemne dla rozkładów o lewostronnej asymetrii
(wydłużone lewe ramię rozkładu) i wartości dodatnie dla rozkładów o prawostronnej asymetrii (wydłużone
prawe ramię rozkładu).

∑

(

̅)

.

∑

(

̅)

/

Kurtoza - Współczynnik spłaszczenia (kurtoza)- miara smukłości rozkładu.

∑

(

̅)

∑

(

(

̅)

)

3.

Podaj definicję histogramu oraz sposób dobierania szerokości przedziałów

Definicja:

Histogram to jeden z graficznych sposobów przedstawiania rozkładu empirycznego* cechy. Składa się z szeregu
prostokątów umieszczonych na osi współrzędnych.

Prostokąty te są z jednej strony wyznaczone przez przedziały klasowe wartości cechy, natomiast ich wysokośd jest
określona przez liczebności (lub częstości, ewentualnie gęstośd prawdopodobieostwa) elementów wpadających do
określonego przedziału klasowego.

* Rozkład empiryczny to uzyskany na podstawie badania statystycznego opis wartości przyjmowanych przez cechę
statystyczną w próbie przy pomocy częstości ich występowania.

Histogram rysujemy, kreśląc słupki, o wysokości proporcjonalnej do wartości gęstości, na kolejnych przedziałach
zaznaczonych na osi odciętych, czyli wielkości histogramowanej.

Histogram winien mied tytuł, osie należy opisad zarówno słownie, jak i symbolem, jak również podad, w nawiasach
kwadratowych lub okrągłych, jednostkę wielkości występującej na osiach.

Przykład :

Sposób dobierania przedziałów:

1.

̂( )

Gdzie : n to liczba przedziałów

2. Oceniamy dopasowanie estymatora

(

) ∫,

( ) ( )-

Estymator LS (kryterium jakości)

3. Dla dużych wartości n

√

√

∫,

( )-

Jeżeli przypuszczamy że rozkład jest normalny to :

√

√

4. Oblicz gęstośd prawdopodobieostwa wystąpienia określonej wartości dla zadanego przebiegu, np.

fali prostokątnej o wypełnieniu ½, itp.

5. Podaj klasyfikację sygnałów. Do jakiej kategorii zaliczysz sygnał EKG i EEG

Najogólniej sygnały dzielimy na zdeterminowane i niezdeterminowane (przypadkowe, stochastyczne), p. rys. 3. Dla
sygnału zdeterminowanego jesteśmy w stanie powiedzied ze 100% pewnością jaka jest jego wartośd w każdej chwili
czasu. Dla sygnału niezdeterminowanego jesteśmy w stanie tylko powiedzied jakie jest prawdopodobieostwo, że sygnał
przyjmie wartośd w zadanym przedziale wartości. Występujące w praktyce sygnały są sygnałami niezdeterminowanymi.
Jednak dla uproszczenia rozważao najczęściej będzie dopuszczalne przedstawienie sygnału niezdeterminowanego w
przybliżeniu jako sygnału zdeterminowanego. Na przykład w rozważaniach teoretycznych często posługujemy się
pojęciem sygnału sinusoidalnego jako sygnału zdeterminowanego, mimo że w rzeczywistości taki sygnał nie istnieje. W
rzeczywistości nie istnieje czysty przebieg sinusoidalny, nakładają się nao przypadkowe szumy i zakłócenia.

Mniej opisowo a bardziej konkretnie ; )
Sygnał jest to funkcja czasowa dowolnej wielkości o charakterze energetycznym, w którym można wyróżnid dwa
elementy: nośnik i parametr informacyjny. W zależności od rodzaju nośnika wyróżnia się sygnały elektryczne,
mechaniczne, akustyczne, magnetyczne, elektromagnetyczne ( w tym świetlne), cieplne. Parametrem informacyjnym
może byd amplituda, częstotliwośd, faza, szerokośd impulsu, struktura sekwencji impulsu.
Sygnały dzieli się na:
- deterministyczne i losowe,
- ciągłe i dyskretne
Sygnałem deterministycznym jest sygnał, którego wartośd w każdej chwili jest jednoznacznie określona za pomocą
ścisłych zależności matematycznych (na podstawie fundamentalnych praw lub wielu obserwacji).
Sygnały takie możemy podzielid na:

 Okresowe ( ) ( )
 Nieokresowe

Wśród sygnałów okresowych bardzo ważną rolę odgrywają sygnały harmoniczne, które możemy opisad zależnością

( ) (

)

Gdzie :
A – amplituda sygnału
– pulsacja
Sygnały losowe są to takie, które opisujemy za pomocą procesu stochastycznego – każda funkcja traktowana jest jako
jedna z wielu możliwych realizacji procesu stochastycznego.
Sygnały losowe dzielimy na:
- sygnały stacjonarne, których charakterystyki statystyczne (wartośd średnia, wartośd średnia kwadratowa, funkcja
korelacji) nie są funkcjami czasu ( nie zależą od wyboru chwili początkowej)

- sygnały niestacjonarne
Sygnały stacjonarne dzielimy na ergodyczne i nieergodyczne.
Ergodycznym jest proces, którego dowolna statystyczna charakterystyka, otrzymana ze zbioru realizacji w dowolnej
chwili jest równa podobnej charakterystyce otrzymanej z jednej realizacji procesu obliczonej jako średnia w dostatecznie
długim czasie.
Wszystkie rzeczywiste sygnały są sygnałami losowymi, a jedynie uproszczona analiza pozwala zakładad ich
deterministyczny charakter.
Przykładem sygnałów losowych są zakłócenia, szumy (np.. szum kwantyzacji).

6.

Podaj definicję korelacji i autokorelacji oraz podaj i zilustruj ich interpretację.

Korelacja jest to związek pomiędzy wartościami dwóch sygnałów, korelacja nie jest operacją przemienną.
Błacha definicja to : korelacja to całka z iloczynu dwóch sygnałów gdzie jeden jest przesunięty w dziedzinie.
Rysunek analogicznie jak do autokorelacji ale 2 różne sygnały bierzemy.

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Autokorelacja z kolei charakteryzuje ogólną zależnośd wartości sygnału w pewnej chwili od wartości innej
chwili. Czyli przesuwamy nie sygnał y , ale x.

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Treśd z wykładu :
Dla sygnałów harmonicznych funkcja autokorelacji nie zmienia się w czasie w przeciwieostwie do przebiegów
losowych, dla których dąży ona do zera dla dużych przesunięd czasowych. Pozwala ona na wykrywanie
przebiegów zdeterminowanych maskowanych przez szum losowy.
Korelacja i autokorelacja jest wykorzystywana do wyznaczania okresów powtarzających się np. badanie rytmu
serca oraz do identyfikacji sygnałów podobnych (nawet przy dużych zaszumieniach).
Występuje też cross-korelacja czyli wyszukiwanie zależności między dwoma sygnałami (np.EEG i EOG-moment
zamykania oczu)

7. Podaj definicję widmowej gęstości energii i omów jej właściwości.

Widmowa gęstośd energii opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy energii (wariancji) sygnału lub szeregu czasowego.
Jeśli f(t) jest sygnałem o skooczonej energii, całkowalnym z kwadratem to widmowa gęstośd ( ) sygnału jest
kwadratem modułu ciągłej transformaty Fouriera tego sygnału:

( ) |

√

∫ ( )

|

( )

( )

Gdzie ω to pulsacja (2pi razy częstotliwośd), ( ) to ciągła transformata Fouriera funkcji f(t) oraz

( ) jest jej

sprzężeniem zespolonym. Jeśli sygnał ma charakter dyskretny z wartościami f

n

nad nieskooczoną liczbą elementów to

widmowa gęstośd energii dana jest wzorem:

( ) |

√

∑

|

( )

( )

Gdzie ( ) jest dyskretną transformatą Fouriera f

n

.

Właściwości:

a) Widmową gęstośd energii obliczamy dla przebiegów o skooczonym czasie trwania, energetycznych:

- Widmowa gęstośd energii (widmo gęstości energii):

- funkcja korelacji dla sygnału energetycznego:

b) Widmo gęstości energii jest zawsze transformatą Fouriera funkcji autokorelacji:

c) Widmo gęstości energii pozwala określid energię sygnału w wybranym paśmie częstotliwości raz energię

całkowitą:

d) Widmo gęstości energii jest funkcją parzystą dla sygnałów rzeczywistych:

 

 





x

x

S

R





F





 

 

 





















































d

S

P

d

S

d

S

P

x

x

x

2

1

2

1

2

1

,

d

g

d

g

g

d

 

 





x

x

S

S





 

 

2





X

S



 

 

2





X

S



 





 

   

 

 

 

 

 

  





























































































dt

t

x

t

x

dt

d

e

X

t

x

d

e

dt

e

t

x

X

d

e

X

X

d

e

X

X

t

j

j

t

j

j

j



































 



 

 

*

*

*

*

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

F

 

 

 

  



















dt

t

x

t

x

R

X

S









*

2

8. Podaj definicję widmowej gęstości mocy i omów jej właściwości.

Wdmowa gęstośd mocy ( Power Spectral Density – PSD) opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy mocy
sygnału (opisuje jego strukturę częstotliowśdiową) lub szeregu czasowego
Korzystając z definicji transformacji

|

( )|

( )

( ) ∬ (

) (

)

(

)

Oraz korzystając z definicji autokorleacji

( )

( ) ∫

( )

*

( )+

( )

*|

( )|

+

Otrzymujemy że moduł widmowej gęstości mocy |

( )|

jest trafnosrmacją Fouriera funkcji autokorelacji

*

( )+.

Widmowa gęstośd mocy :

(

) ∫

( )

Gdzie

( ) to rzeczywista funkcja :

( )

( ) ( ) ∫ ( )

( )

∫

( ) ( )

Błąd określenia PSD obliczeo zależy od :

 Dokładności obliczenia funkcji autokorelacji
 Dokładności transformacji Fouriera

Ponieważ PSD jest wartością oczekiwaną, dlatego ma wszystkie właności operatora wartości oczekiwanej.

DOPISAD WŁAŚCIWOŚCI!

9. Jaką wielkością (uzasadnij) jest widmowa gęstośd mocy.

Widmowa gęstośd mocy jest zdefiniowana jako transformacja Fouriera funkcji autokorelacji.
Ponieważ funkcja autokorelacji (Rxx) jest symetryczna względem τ=0, widmowa gęstośd mocy (Pxx) jest
wielkością rzeczywistą, gdyż tyko symetryczne względem zera funkcje cos(2πft) są potrzebne do rozwinięcia
harmonicznego Rxx(τ).

(

) ∫

( )

10. Podaj metody analizy sygnału elektromiograficznego.