2011-10-19
1
Ekonomia
menedżerska
studia II stopnia
POCHODNA FUNKCJI
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
Dana jest funkcja pierwotna: y=f(x).
Niech:
∆y – oznacza przyrost wartości funkcji;
∆x – oznacza przyrost argumentu funkcji;
Wtedy:
Pochodna funkcji
y= f’(x
0
)
– to granica ilorazu różnicowego ∆y/∆x w punkcie
x
0
, przy przyroście argumentu dążącym do zera (∆x → 0).
Funkcję pochodną oznacza się: f’(x), y’(x), dy/dx.
y
x
dx
dy
x
f
x
0
lim
'
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia odcinka łączącego
dane dwa punkty należące do wykresu funkcji
x
y
α
α
∆y
∆x
x
0
+ ∆x
y
0
+ ∆y
y
0
x
0
x
y
tg
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
Gdy ∆x → 0, to punkt A porusza się po krzywej f(x) zbliżając się do punktu B
a sieczna obraca się dookoła punktu B zajmując położenie stycznej do f(x)
w punkcie x
0
.
x
y
α
α
β
∆y
∆x
x
0
+ ∆x
y
0
+ ∆y
y
0
Styczna w x
0
x
0
A
B
2011-10-19
2
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
x
y
α
α
β
∆y
∆x
x
0
+ ∆x
y
0
+ ∆y
y
0
Styczna w x
0
x
0
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
x
y
α
α
β
∆y
∆x
x
0
+ ∆x
y
0
+ ∆y
y
0
Styczna w x
0
x
0
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
x
y
α
β
∆y
∆x
x
0
+ ∆x
y
0
+ ∆y
y
0
Styczna w x
0
x
0
∆y
∆x
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
Interpretacja geometryczna pochodnej:
Jeżeli funkcja ma w punkcie x
0
pochodną f’(x
0
), to istnieje styczna do wykresu funkcji f(x)
w punkcie x
0
, a tangens kąta utworzony przez tą styczną jest równy f’(x
0
), czyli pochodna
funkcji w danym punkcie jest równa
tangensowi kąta nachylenia stycznej
do jej wykresu w tym punkcie.
x
y
β
y
0
Styczna w x
0
x
0
y
x
x
f
tg
x
0
lim
)
(
'
2011-10-19
3
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
x
x
x
0
f(x)
f’(x)
A
B
C
x
0
f’(x) = tg α
Gdy funkcja f(x) maleje
pochodna
f ’(x) jest ujemna
Gdy funkcja f(x) rośnie
pochodna
f ’(x) jest dodatnia
Gdy funkcja f(x) osiąga minimum lub
maksimum
pochodna
f ’(x) jest równa 0
p. p. f(x) f
”(x) = 0
W punkcie przegięcia funkcji f(x)
druga pochodna f ’’(x) jest równa 0
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
x
x
x
0
f(x)
f’(x)
A
B
C
x
0
f’(x) = tg α
Maksimum
x
x
2
f(x)
maks.
f
’(x)
+
0
-
f
’’(x)
-
-
-
Minimum
x
x
1
f(x)
min.
f
’(x)
-
0
+
f
’’(x)
+
+
+
x
2
x
1
x
2
x
1
Badanie przebiegu zmienności funkcji
p. p. f(x) f
”(x) = 0
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
- maksimum i minimum funkcji
Funkcja f(x)
Znaki pochodnej
A
f(x
1
)
f’(x
1
) > 0 oraz f”(x
1
) < 0;
B
f(x
2
)
f'(x
2
) = 0 oraz f”(x
2
) < 0;
C
f(x
3
)
f’(x
3
) < 0 oraz f”(x
3
) < 0;
x
y
x
2
A
B
C
x
3
x
1
Funkcja f(x)
Znaki pochodnej
D
f(x
4
)
f’(x
4
) < 0 oraz f”(x
4
) > 0;
E
f(x
5
)
f’(x
5
) = 0 oraz f”(x
5
) > 0;
F
f(x
6
)
f’(x
6
) > 0 oraz f”(x
6
) > 0;
x
y
x
5
D
E
F
x
6
x
4
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Optymalizacja
– reguły
Funkcja y(x) posiada maksimum lokalne w punkcie x
0
,
jeśli f’(x
0
) = 0 oraz f”(x
0
) < 0;
Funkcja f(x) posiada minimum lokalne w punkcie x
0
,
jeśli f’(x
0
) = 0 oraz f”(x
0
) > 0;
Funkcja f(x) jest stała, jeśli f’(x
0
) = 0 oraz f”(x
0
) = 0;
2011-10-19
4
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Pochodna funkcji
Ponieważ czynności związane z obliczaniem ilorazu różnicowego mogą
nastręczać dodatkowych trudności stosuje się gotowe wzory, głownie na
pochodne podstawowych funkcji.
Funkcja pierwotna
Pochodna funkcji
Przykład
a
0
(-
4)’ = 0
ax
a
(5x)’ = 5
x
a
ax
a-1
(x
0,5
)’ = 0,5x
-0,5
αx
a
a
αx
a-1
(3x
2
)’ = 6x
ln x
1/x
f(x)
± g(x)
f’(x) ± f’(g)
(3x
3
– 6x
2
)’ = (3x
3
)’ – (6x
2
)’ = 9x
2
– 12x
f(x) * g(x)
fg
’ + f’g
(x
2
ln x
)’ = x
2
(1/x) + 2x ln x
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Druga pochodna
Druga pochodna to pochodna pierwszej pochodnej;
Drugą pochodną funkcji f(x) oznaczamy:
Przykład:
y= 5x
3
y
’(x) = 15x
2
y
’’(x) = 30x
x
y
x
f
2
2
lub
)
(
''