2011-10-19

1

Ekonomia

menedżerska

studia II stopnia

POCHODNA FUNKCJI

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

Dana jest funkcja pierwotna: y=f(x).

Niech:
∆y – oznacza przyrost wartości funkcji;
∆x – oznacza przyrost argumentu funkcji;

Wtedy:

Pochodna funkcji

y= f’(x

0

)

– to granica ilorazu różnicowego ∆y/∆x w punkcie

x

0

, przy przyroście argumentu dążącym do zera (∆x → 0).

Funkcję pochodną oznacza się: f’(x), y’(x), dy/dx.

 

y

x

dx

dy

x

f

x













0

lim

'

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia odcinka łączącego

dane dwa punkty należące do wykresu funkcji

x

y

α

α

∆y

∆x

x

0

+ ∆x

y

0

+ ∆y

y

0

x

0

x

y

tg









Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

Gdy ∆x → 0, to punkt A porusza się po krzywej f(x) zbliżając się do punktu B
a sieczna obraca się dookoła punktu B zajmując położenie stycznej do f(x)
w punkcie x

0

.

x

y

α

α

β

∆y

∆x

x

0

+ ∆x

y

0

+ ∆y

y

0

Styczna w x

0

x

0

A

B

2011-10-19

2

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

x

y

α

α

β

∆y

∆x

x

0

+ ∆x

y

0

+ ∆y

y

0

Styczna w x

0

x

0

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

x

y

α

α

β

∆y

∆x

x

0

+ ∆x

y

0

+ ∆y

y

0

Styczna w x

0

x

0

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

x

y

α

β

∆y

∆x

x

0

+ ∆x

y

0

+ ∆y

y

0

Styczna w x

0

x

0

∆y

∆x

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

Interpretacja geometryczna pochodnej:

Jeżeli funkcja ma w punkcie x

0

pochodną f’(x

0

), to istnieje styczna do wykresu funkcji f(x)

w punkcie x

0

, a tangens kąta utworzony przez tą styczną jest równy f’(x

0

), czyli pochodna

funkcji w danym punkcie jest równa

tangensowi kąta nachylenia stycznej

do jej wykresu w tym punkcie.

x

y

β

y

0

Styczna w x

0

x

0

y

x

x

f

tg

x













0

lim

)

(

'



2011-10-19

3

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

Badanie przebiegu zmienności funkcji

x

x

x

0

f(x)

f’(x)

A

B

C

x

0

f’(x) = tg α

Gdy funkcja f(x) maleje
 pochodna

f ’(x) jest ujemna

Gdy funkcja f(x) rośnie
 pochodna

f ’(x) jest dodatnia

Gdy funkcja f(x) osiąga minimum lub
maksimum
 pochodna

f ’(x) jest równa 0

p. p. f(x)  f

”(x) = 0

W punkcie przegięcia funkcji f(x)


druga pochodna f ’’(x) jest równa 0

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

x

x

x

0

f(x)

f’(x)

A

B

C

x

0

f’(x) = tg α

Maksimum

x

x

2

f(x)

maks.

f

’(x)

+

0

-

f

’’(x)

-

-

-

Minimum

x

x

1

f(x)

min.

f

’(x)

-

0

+

f

’’(x)

+

+

+

x

2

x

1

x

2

x

1

Badanie przebiegu zmienności funkcji

p. p. f(x)  f

”(x) = 0

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

- maksimum i minimum funkcji

Funkcja f(x)

Znaki pochodnej

A

f(x

1

)

f’(x

1

) > 0 oraz f”(x

1

) < 0;

B

f(x

2

)

f'(x

2

) = 0 oraz f”(x

2

) < 0;

C

f(x

3

)

f’(x

3

) < 0 oraz f”(x

3

) < 0;

x

y

x

2

A

B

C

x

3

x

1

Funkcja f(x)

Znaki pochodnej

D

f(x

4

)

f’(x

4

) < 0 oraz f”(x

4

) > 0;

E

f(x

5

)

f’(x

5

) = 0 oraz f”(x

5

) > 0;

F

f(x

6

)

f’(x

6

) > 0 oraz f”(x

6

) > 0;

x

y

x

5

D

E

F

x

6

x

4

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Optymalizacja

– reguły



Funkcja y(x) posiada maksimum lokalne w punkcie x

0

,

jeśli f’(x

0

) = 0 oraz f”(x

0

) < 0;



Funkcja f(x) posiada minimum lokalne w punkcie x

0

,

jeśli f’(x

0

) = 0 oraz f”(x

0

) > 0;



Funkcja f(x) jest stała, jeśli f’(x

0

) = 0 oraz f”(x

0

) = 0;

2011-10-19

4

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Pochodna funkcji

Ponieważ czynności związane z obliczaniem ilorazu różnicowego mogą

nastręczać dodatkowych trudności stosuje się gotowe wzory, głownie na
pochodne podstawowych funkcji.

Funkcja pierwotna

Pochodna funkcji

Przykład

a

0

(-

4)’ = 0

ax

a

(5x)’ = 5

x

a

ax

a-1

(x

0,5

)’ = 0,5x

-0,5

αx

a

a

αx

a-1

(3x

2

)’ = 6x

ln x

1/x

f(x)

± g(x)

f’(x) ± f’(g)

(3x

3

– 6x

2

)’ = (3x

3

)’ – (6x

2

)’ = 9x

2

– 12x

f(x) * g(x)

fg

’ + f’g

(x

2

ln x

)’ = x

2

(1/x) + 2x ln x

Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec
Tomasz Tylec Tomasz Tylec

Druga pochodna

Druga pochodna to pochodna pierwszej pochodnej;
Drugą pochodną funkcji f(x) oznaczamy:

Przykład:

y= 5x

3

y

’(x) = 15x

2

y

’’(x) = 30x

x

y

x

f

2

2

lub

)

(

''



