CIĄGI - POWTÓRZENIE

1. Pożyczkę w wysokości 8700 zł zaciągniętą w banku należy spłacić w 12 ratach, z których każda następna jest mniejsza od

poprzedniej o 50 zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.

2. Widownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest 8

miejsc, a w każdym następnym rzędzie o 2 miejsca więcej niż w poprzednim. W każdym sektorze są 22 rzędy. Oblicz liczbę
wszystkich miejsc na widowni.

3. Dany jest ciąg arytmetyczny

)

(

n

a

, gdzie

1



n

. Wiadomo, że dla każdego

1



n

suma n początkowych wyrazów

n

n

a

a

a

S









...

2

1

wyraża się wzorem

n

n

S

n

13

2







.

a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

b) Oblicz

2007

a

.

c) Wyznacz liczbę

n

, dla której

0



n

a

.

4. Rozwiąż równanie:

210

...

11

7

3











x

5. Taras znajduje się na wysokości 9m 35cm nad powierzchnią ziemi. Schody prowadzące na taras zostały tak zaprojektowane,

że wysokość pierwszego stopnia jest równa 32 cm, a każdy następny stopień jest o 0,5 cm niższy od poprzedniego.
a) Jaka jest wysokość jedenastego stopnia?
b) Jak wysoko nad ziemią znajduje się powierzchnia dwudziestego stopnia?
c) Ile stopni mają te schody?

6. Przedsiębiorca kupił koparkę za 263 500 zł i oszacował, że przy maksymalnym wykorzystaniu koparki, w pierwszym

miesiącu zarobi 10 000 zł, a w każdym następnym miesiącu o 100 zł mniej niż w poprzednim. Po jakim czasie zwróci się
koszt eksploatacji koparki?

7. W sklepie z artykułami RTV można kupować sprzęt na raty. Przy zakupie zestawu kina domowego kosztującego 4200 zł

pierwsza rata wynosi 420 zł, a każda następna jest o 20 zł niższa od poprzedniej. Oblicz na ile rat rozłożona jest spłata oraz
oblicz wysokość ostatniej raty.

8. (4p.) Ciąg

 

n

a

określony jest wzorem

30

31

10

2

3









n

n

n

a

n

. Wiedząc, że

0

2



a

, wyznacz wszystkie pozostałe

wyrazy tego ciągu równe zero.

9. (4p).Pożyczka w wysokości 8700 zł zaciągniętą w banku należy spłacić w 12 ratach, z których każda następna jest mniejsza

od poprzedniej o 50 zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.

10. (6p.)Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania



2

25

3

sin

ctg

x



, które spełniają nierówność





5

5





x

.

11. Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego

 

n

a

jest równy 4. Oblicz iloczyn piętnastu początkowych

kolejnych wyrazów tego ciągu.

12. Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym

12

1



a

,

27

3



a

.

a) Wyznacz iloraz tego ciągu.

b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć

n

a

, dla każdej liczby naturalnej

1



n

.

c) Oblicz wyraz

6

a

.

13. Zauważ, że:

1

2

3

4

3

2

1

4

,

1

2

3

2

1

3

,

1

2

1

2

,

1

1

2

2

2

2

































.

Stosując

wzór

na

sumę

kolejnych

wyrazów

ciągu

arytmetycznego,

uzasadnij,

że









.

1

2

3

....

1

1

....

3

2

1

2



























n

n

n

n

14. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

,...

3

,

2

,

1

;

7

3

5







n

n

a

n

.

a) Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg

 

n

a

jest ciągiem arytmetycznym.

b) Oblicz, dla jakiej wartości

x

liczby

11

2

4

,

2

,

a

x

a



są kolejnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.

15. Dany jest ciąg

 

n

a

, gdzie

1

3

2







n

n

a

n

dla n=1,2,3,…. Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od

2

1

.

16. Na trzech pólkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej

tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz ile płyt stoi na półce górnej i dolnej.

17. Suma n początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

 

n

a

wyraża się wzorem

2

4

3

4







n

n

n

n

S

. Oblicz

stosunek wyrazu piątego tego ciągu do wyrazu ósmego.

18. Wyraz ogólny ciągu

 

n

a

dany jest wzorem





!

2

4





n

a

n

. Określ ten ciag wzorem rekurencyjnym.

19. Dany jest ciąg

 

n

a

o wyrazi ogólnym

1

2

2

1

2















 



n

n

n

a

n

.

a) Określ znak różnicy

n

n

a

a





1

.

b) Który wyraz tego ciągu

jest równy

6

1

?

20. Nieskończony ciąg liczbowy

 

n

a

jest określony wzorem

...

3

,

2

,

1

,

31

4







n

n

a

n

. Wyrazy

2

1

,

,





k

k

k

a

a

a

danego

ciągu

 

n

a

, wzięte w takim porządku powiększono: wyraz

k

a

o 1, wyraz

1



k

a

o 3 oraz wyraz

2



k

a

o 23. W ten sposób

otrzymano trzy pierwsze wyrazy pewnego ciagu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego ciągu
geometrycznego.

21. Inwestor chce uzyskać w banku kredy, który zamierza spłacić po czterech latach. Taki kredyt w banku A jest oprocentowany

12% w skali roku, a odsetki są dopisywane do długu co pół roku. Bank B oferuje oprocentowanie roczne 11% z roczna
kapitalizacja odsetek, a przy zwrocie kredytu pobiera prowizję w wysokości 4% kwoty udzielonego kredytu. Oceń, która
oferta jest korzystniejsza dla kredytobiorcy.

22. Współczynniki funkcji kwadratowej

c

bx

x

x

f









2

)

(

tworzą w kolejności -1, b, c ciąg geometryczny. Wyznacz

wartość współczynników Bi c, jeżeli wiadomo, że osia symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta x=1. Zapisz funkcję w postaci

kanonicznej.

23. Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego

 

n

a

równa się 15, a piętnasty wyraz tego ciągu jest równy -9.

a) Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu, jego różnicę oraz wzór ogólny opisujący n-ty wyraz ciagu

 

n

a

.

b) Zapisz wzór sumy n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu

 

n

a

w postaci iloczynowej. Oblicz największą wartość tej

sumy.

24. Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację

roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat.
Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł
były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo?

25. Bank przyjął kwotę 50 000 zł na 5% rocznie z roczną kapitalizacją odsetek i pożyczył ją na 6% rocznie z tą samą

kapitalizacją. Ile zyskał bank w ciągu pięciu lat, a ile zyskał w ciągu dziesięciu lat?

26. W urnie znajdują się kule z kolejnymi liczbami 10, 11, 12, 13, …..50, przy czym kul z liczba 10 jest 10, kul z liczba 11 jest

11 itd. A kul z liczba 50 jest 50. Z urny tej losujemy jedna kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę z liczba
parzystą.

27. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Wykaż, że jego różnicą jest długość promienia

okręgu wpisanego w ten trójkąt.

28. Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trójkąta jest równy 21, a cosinus

największego kąta -0,1. Oblicz długości boków trójkąta.

29. Wykaż, że jeżeli długości boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to długość promienia okręgu

wpisanego w ten trójkąt jest równa

3

1

długości jednej z wysokości tego trójkąta.

30. W trójkącie prostokątnym długości wysokości i środkowej poprowadzonej z wierzchołka kata prostego oraz długość

przeciwprostokątnej tworzą ciag geometryczny, którego iloczyn wyrazów jest równy 8. Oblicz promień okręgu wpisanego w
ten trójkąt.

31. Miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica wynosi



5

. Najmniejszy kąt

ma miarę 120



. Wyznacz liczbę boków wielokąta.

32. Udowodnij, że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w koło tworzą ciąg arytmetyczny, to co najmniej dwa katy

tego czworokąta są proste.

33. Udowodnij, że jeżeli długości trzech kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to

przynajmniej dwa boki tego czworokąta maja taka sama długość.

34. Wyznacz wszystkie wartości x tak, aby liczby





1

,

,

4

2

x

x

były trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ile

wyrazów tego ciągu należy do przedziału

 

2

,

0

.

35. Wykaż, że jeśli boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to długości boków tego trójkąta sa

liczbami wymiernymi.

36. Trzy kolejne boki czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 10 i sumie 70. Wyznacz

długości boków tego czworokąta.

37. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa -3. Jeśli dodamy do nich odpowiednio 8, 7, 15, to

otrzymane liczby utworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby..

38. Boki trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny. Wykaż, że

r

a



lub

r

a

3





, gdzie r jest różnicą tego ciągu.

39. Ciągi

 

n

a

i

 

n

b

są ciągami geometrycznymi. Wykaż, że ciąg

 

n

c

, którego wyraz ogólny jest równy



n

n

n

b

a

c

2

2







, również jest ciągiem geometrycznym.

40. Wykaż, że jeżeli

 

n

a

jest ciągiem geometrycznym o dodatnich wyrazach, to ciąg

 

n

b

określony wzorem

n

n

a

b

log



jest arytmetyczny.