Wektory zale
ż
ne od parametru skalarnego.
Pochodne wektora wzgl
ę
dem
parametru skalarnego.
Kinematyka
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Wektor zale
ż
ny od parametru skalarnego
Wybierzemy układ współrz
ę
dnych, którego osie zadaj
ą
wersory . Rozpatrzymy zale
ż
ny od skalarnego
parametru t wektor
ˆ ˆ ˆ
, ,
x y z
( )
t
a
( )
( )
( )
( )
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ
t
a
t
a
t
a
t
.
=
+
+
a
x
y
z
Zało
ż
enie:
dla ka
ż
dej warto
ś
ci parametru
t
istnieje granica
( )
(
)
t
0
t
lim
t
t .
∆ →
=
+ ∆
a
a
Długo
ść
wektorów mierzymy od pocz
ą
tku układu współrz
ę
dnych.
Zmiana wektora zwi
ą
zana
ze zamian
ą
parametru skalarnego
( )
t
a
(
)
t
t
+ ∆
a
( )
t
∆
a
t
.
….
….
………….
( ) (
) ( )
t
t
t
t .
∆
=
+ ∆ −
a
a
a
Pochodna wektora zale
ż
nego od
parametru skalarnego
( )
t
a
(
)
t
t
+ ∆
a
( )
t
∆
a
( )
d
t
dt
a
( )
t
t
∆
∆
a
( )
(
) ( )
t
0
t
t
t
t
lim
.
dt
t
∆ →
+ ∆ −
=
∆
a
a
a
Inne oznaczenie pochodnej wzgl
ę
dem
czasu t
( ) ( )
d
t
t .
dt
=
a
a
ɺ
Wektor pr
ę
dko
ś
ci chwilowej
W przypadku wektora wodz
ą
cego poruszaj
ą
cej
si
ę
cz
ą
stki jest wektorem
przemieszczenia cz
ą
stki w ci
ą
gu interwału czasu
∆
t,
jest wektorem
ś
redniej pr
ę
dko
ś
ci ruchu
cz
ą
stki, jest chwilow
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
cz
ą
stki w
momencie czasu t.
( )
t
r
(
) ( )
t
t
t
∆ =
+ ∆ −
r
r
r
/ t
∆ ∆
r
( )
d
t / dt
r
Druga pochodna wektora wodz
ą
cego wzgl
ę
dem
czasu jest wektorem przy
ś
pieszenia cz
ą
stki
( )
t
a
( )
( )
(
)
( )
2
2
d
t
d d / dt
d
t
t
dt
dt
dt
= =
=
=
r
r
v
a
r
ɺɺ
Własno
ś
ci pochodnych wzgl
ę
dem
parametru skalarnego
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
0
t
0
t
0
d
t
t
t
t
lim
dt
t
t
t
d
t
d
t
lim
lim
;
t
t
dt
dt
d m t
t
dm t
d
t
t
m t
,
dt
dt
dt
d
t
d
t
d
t
t
t
t
,
dt
dt
dt
d
t
d
t
d
t
t
t
t
.
dt
dt
dt
∆ →
∆ →
∆ →
+
∆
+ ∆
=
=
∆
∆
∆
=
+
=
+
∆
∆
=
+
⋅
=
⋅
+
⋅
×
=
×
+
×
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
b
a
Uzasadnienie 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
t
d
t
d
t
t
t
t
dt
dt
dt
⋅
=
⋅
+
⋅
a
b
a
b
b
a
x
x
y
y
z
z
a b
a b
a b .
=
+
+
ab
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
1
1
3
1
da
t b
t
d
d
t
t
a
t b
t
dt
dt
dt
da
t
db
t
d
t
d
t
b
t
a
t
t
t
.
dt
dt
dt
dt
α
α
α
α
α=
α=
α
α
α
α
α=
⋅
=
=
=
=
+
=
+
∑
∑
∑
a
b
a
b
b
a
Wybieramy układ współrz
ę
dnych:
Uzasadnienie 2
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
x
y
z
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
B
B
B
ˆ
ˆ
ˆ
A B
A B
A B
A B
A B
A B
× =
+
+
×
+
+
=
=
−
+
−
+
−
A B
x
y
z
x
y
z
x
y
z
W wybranym układzie współrz
ę
dnych:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
}
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
}
( ) ( )
( ) ( )
( )
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
y
z
y
z
z
y
z
y
z
x
z
x
x
z
x
z
x
y
x
y
y
x
d
t
t
d A
t B
t
A
t B
t
d A
t B
t
A
t B
t
ˆ
ˆ
dt
dt
dt
d A
t B
t
A
t B
t
ˆ
dt
ˆ
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
ˆ
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
t
ˆ
A
t B
t
A
t B
t
A
t B
×
−
−
=
+
+
−
+
=
=
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
+
−
A
B
x
y
z
x
y
z
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
( )
( ) ( )
{
}
y
x
t
A
t B
t
.
+
ɺ
Uzasadnienie 3
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
z
x
y
x
y
x
y
z
y
y
z
z
x
z
x
x
z
x
y
y
x
y
z
z
x
z
z
x
z
x
x
z
x
z
x
x
z
x
y
x
y
z
y
y
x
z
x
y
t
t
t
t
ˆ
ˆ
ˆ
a b
a b
a b
a b
a b
a b
ˆ
ˆ
ˆ
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
ˆ
a
a b
a b
b
a
a
a b
a b
a b
a
ˆ
ˆ .
b
b
b
a b
×
+
×
=
=
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
=
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
a
b
a
b
x
y
z
x
y
z
x
y
z
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Prawo ró
ż
niczkowania wektora
zale
ż
nego od funkcji skalarnej
( )
u t
a
( )
( )
( ) ( )
d
u t
d
u du t
dt
du
dt
=
a
a
Ró
ż
niczkowanie wektora zapisanego
przy pomocy składowych
A
x
A
y
A
z
A
⊥
A
x
y
z
( )
( )
( )
( )
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ
t
A
t
A
t
A
t .
=
+
+
A
x
y
z
W wybranym, nie zmieniaj
ą
cym si
ę
z
upływem czasu układzie
współrz
ę
dnych wersory osi s
ą
ustalone – nie zale
żą
od t
Składowe zale
żą
od parametru t
( )
( )
( )
( )
y
x
z
dA
t
d
t
dA
t
dA
t
ˆ
ˆ
ˆ
.
dt
dt
dt
dt
=
+
+
A
x
y
z
Zazwyczaj parametr t jest czasem. Dalej b
ę
dziemy t uto
ż
samiali z czasem.
1. Z upływem czasu zmienia si
ę
tylko kierunek wektora
( ) ( )
ˆ
t
t a
=
a
a
( )
( )
ˆ
d
t
d
t
a
dt
dt
=
a
a
Zbadamy pochodn
ą
iloczynu skalarnego:
( ) ( )
( ) ( )
2
1
ˆ
ˆ
t
t
a
t
t
⋅
=
⋅
a
a
a
a
( ) ( )
( ) ( )
1
2
ˆ
ˆ
d
t
t
d
t
t
d1
a
a
0
dt
dt
dt
⋅
⋅
=
=
=
a
a
a
a
1a. Z upływem czasu zmienia si
ę
tylko kierunek wektora
( ) ( )
d
t
t
0.
dt
⋅
=
a
a
Z drugiej strony
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
d
t
d
t
d
t
d
t
d
t
ˆ
ˆ
ˆ
t
t
a
t
t
2a
t
0.
dt
dt
dt
dt
dt
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Wektor jest prostopadły do wektora !
( )
ˆ
d
t / dt
a
( )
ˆ t
a
1c. Wektor jest
prostopadły do wektora !
( )
ˆ
d
t / dt
a
( )
ˆ t
a
( )
ˆ t
a
( )
ˆ
d
t / dt
a
( )
t
a
2a. Z upływem czasu zmienia si
ę
tylko długo
ść
wektora
( )
( )
ˆ
t
a t
=
a
a
( )
( )
d
t
da t
ˆ
dt
dt
=
a
a
( )
t
a
ˆa
da
/d
t
3a. Z upływem czasu wektor
zmienia długo
ść
i kierunek
( ) ( ) ( )
ˆ
t
t a t
=
a
a
( )
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ
d
t
d
t
da t
ˆ
a t
t
dt
dt
dt
=
+
a
a
a
3b. Z upływem czasu wektor
zmienia długo
ść
i kierunek
( ) ( )
ˆ t
da t / dt
a
( ) ( )
ˆ
a t
d
t / dt
a
( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
t
dt
ˆ
d
t
da t
ˆ
a t
t
dt
dt
=
+
a
a
a
Ruch jednostajny wzdłu
ż
ustalonej osi
ˆv
=
v
x
v
( )
0
ˆ
x t
vt
x ;
const.
= +
=
x
( )
x
dx t
v
v.
dt
=
≡
x
0
x(t)
0
Ruch jednostajnie przy
ś
pieszony
wzdłu
ż
ustalonej osi
ˆ
a
=
a
x
( )
0
v t
v
at
=
+
( )
2
0
0
x t
x
v t
at / 2
=
+
+
( )
(
)
0
dv t
d v
at
a
dt
dt
+
=
=
( )
(
)
2
0
0
0
d x
v t
at / 2
dx t
v
at
dt
dt
+
+
=
=
+
Ruch jednostajnie przyspieszony
wzdłu
ż
ustalonej osi
x
0
=10 m, v
0
=5 m/s, 5 m/s
2
x(t)
v(t)
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10 m
5 m/s
1. Jednostajny ruch po okr
ę
gu
( )
t
r
(
)
t
t
+ ∆
r
( )
t
∆
r
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t
+ ∆
r
r(t)
r(t+
∆
t)
Kierunek i zwrot osi obrotu
- reguła prawej r
ę
ki
2. Jednostajny ruch po okr
ę
gu
trójk
ą
t równoramienny, o
bokach o długo
ś
ci 1.
( )
(
)
ˆ
ˆ
t
t
t
1
=
+ ∆ =
r
r
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t
+ ∆
r
ˆ
∆
r
Jednostajny obrót:
ϕ
=
ω
t
Długo
ść
podstawy:
(
)
ˆ
2sin
/ 2
∆ =
∆ϕ
r
3. Jednostajny ruch po okr
ę
gu
( )
( )
ˆ
d
t
d
t
r
dt
dt
=
r
r
( )
( )
( )
( )
t
0
t
0
t
0
t
0
2 sin
t / 2
2
t / 2
ˆ
d
t
t
lim
lim
lim
dt
t
t
t
t
lim
t
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ϕ
∆ϕ
∆ϕ
=
=
=
=
∆
∆
∆
ω∆
=
= ω
∆
r
(
)
sin
/ 2
/ 2 dla
∆ϕ
≈ ∆ϕ
∆ϕ << π
ω
jest pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
obrotu!
( )
( )
ˆ
ˆ
d
t / dt
t .
= ω
r
r
Wektor pr
ę
dko
ś
ci jest styczny
do okr
ę
gu
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t
+ ∆
r
∆ϕ
Gdy
∆ϕ
d
ąż
y do 0, to sieczna d
ąż
y do
stycznej do okr
ę
gu
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t '
+ ∆
r
∆ϕ
’
( )
ˆ t
r
(
)
ˆ t
t ''
+ ∆
r
∆ϕ
’’<<
∆ϕ
’
Jednostajny ruch po okr
ę
gu –
wektor pr
ę
dko
ś
ci i przy
ś
pieszenia
Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, t. 1
Kinematyka jednostajnego
ruchu obrotowego
t .
∆φ = ∆ ω
….
K
ą
t rozwarcia sto
ż
ka:
θ
;
(
)
r sin
∆ =
θ ∆φ
r
rsin
θ
…..
0
(
)
t
t
+ ∆
r
∆
r
( )
t
r
Wprowadzimy wektor ,
skierowany wzdłu
ż
osi sto
ż
ka do
góry gdy obrót jest przeciwny do
kierunku ruchu wskazówek
zegara.
ˆ
ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
(
)
t
∆ =
× ∆
r
r
ω
ω
ω
ω
Moduł wektora
:
∆
r
Zwrot wektora
:
∆
r
Nakładamy wektor na wektor . Dla małego k
ą
ta
φ
wektor jest prawie styczny do okr
ę
gu i skierowany jest
jak dla obrotu zgodnego z ruchem wskazówek zegara .
ω
ω
ω
ω
r
∆
r
Twierdzenie:
Dowód:
∆
r
ˆ
ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
.
r
0
t
ˆ
t
t sin
r sin
r sin
ω∆
∆ = × ∆ =
∆
θ =
∆φ
θ = ∆φ
θ
r
r
r
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Zwi
ą
zek obrotów
z iloczynem wektorowym
Kierunek osi obrotu zadaje wektor . Wielko
ść
k
ą
ta
obrotu
∆φ
=
ω∆
t. Obserwator O widzi okr
ą
g pod k
ą
tem
θ
.
ˆ
ω
ω
ω
ω
Wektor pr
ę
dko
ś
ci liniowej:
(
) (
) (
)
t
0
t
0
t
0
t
0
t
ˆ
ˆ
lim
lim
lim
lim
t
t
t
t
ˆ
ˆ
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆ ×
∆φ
ω∆
=
=
=
×
× =
∆
∆
∆
∆
= ω × = ω × =
×
r
r
v
r
r
r
r
r
ω
ω
ω
ω
ω
=
ω
ω
=
ω
ω
=
ω
ω
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Wprowadzimy wektor pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej
ω
ω
ω
ω
= ×
v
r
ω
ω
ω
ω
Obrót bryły sztywnej
Bryła sztywna nie ulega
deformacji podczas
obrotów.
Ka
ż
dy punkt bryły porusza
si
ę
po okr
ę
gu ze
ś
rodkiem
w punkcie przeci
ę
cia osi
obrotu z płaszczyzn
ą
,
w której le
ż
y okr
ą
g.
Wybrany punkt P porusza
si
ę
po okr
ę
gu.
P
0
Pr
ę
dko
ść
liniowa
w jednostajnym ruchu obrotowym
ˆr
ω
ω
ω
ω
v
ˆ
ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
ω = ω
= ×
v
r
ω
ω
ω
ω
Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
Dla wybranego momentu
czasu współrz
ę
dnymi
cz
ą
stki s
ą
x
p
, y
p
.
v
Wektor pr
ę
dko
ś
ci jest
stale do promienia
okr
ę
gu.
Składowe :
v
( )
( )
( )
x
y
ˆ
ˆ
t
v
t
v
t
=
+
v
x
y
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
t
v sin
t
v cos
t
= −
ω
+
ω
v
x
y
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, t. 1
θ
=
ω
t+
φ
Pr
ę
dko
ść
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
p
p
y
x
sin
, cos
.
r
r
θ =
=
θ
y
p
x
p
r
θθθθ
θ
y
p
x
p
r
v
( )
( )
( )
p
p
sin
cos
y
t
x
t
ˆ
ˆ
t
v
v
r
r
θ
θ
= −
+
v
x
y
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, t. 1
1a. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
( )
( )
( )
p
p
y
t
x
t
ˆ
ˆ
t
v
v
r
r
= −
+
v
x
y
( )
( )
( )
p
p
dy
t
dx
t
t
v
v
ˆ
ˆ
dt
r
dt
r
dt
=
= −
+
v
a
x
y
1b. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
x
y
v
v sin , v
v cos
= −
θ
=
θ
( )
( )
( )
( )
( )
y
x
p
p
v
t
v
t
dy
t
dx
t
t
v
v
ˆ
ˆ
dt
r
dt
r
dt
=
= −
+
v
a
x
y
( )
t
v
v
ˆ
ˆ
v cos
v sin
dt
r
r
=
= −
θ + −
θ
v
a
x
y
( )
2
2
t
v
v
ˆ
ˆ
cos
sin
dt
r
r
=
= −
θ + −
θ
v
a
x
y
( )
2
2
t
v
v
ˆ
ˆ
cos
sin
dt
r
r
=
= −
θ + −
θ
v
a
x
y
( )
( )
( )
( )
( ) (
)
2
2
x
x
2
2
2
2
2
a t
t
a
t
a
t
v / r
cos
sin
v / r.
=
=
+
=
=
θ +
θ =
a
Długo
ść
wektora przy
ś
pieszenia
Kierunek wektora przy
ś
pieszenia:
( )
( )
2
y
2
x
v / r sin
a
tg
tg
a
v / r cos
−
θ
φ =
=
= θ
−
θ
1c. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
θ
=
φ
1c. Przy
ś
pieszenie
w jednostajnym ruchu po okr
ę
gu
( )
2
a t
v / r
const.
=
=
Wielko
ść
przy
ś
pieszenia jest stała
wektor przy
ś
pieszenia jest zawsze skierowany wzdłu
ż
promienia
w stron
ę
ś
rodka okr
ę
gu
θ
=
φ
Poniewa
ż
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zestaw 1 wektory id 587957 Nieznany
Calculus Pochodne Odp id 107876 Nieznany
pochodne wzory 4 id 364477 Nieznany
Pochodne funkcji 4 id 364442 Nieznany
Calculus Pochodne Zad id 107877 Nieznany
Iloczyny wektorow id 210761 Nieznany
zestaw 1 wektory id 587957 Nieznany
pochodne wyzszych rzedow id 364 Nieznany
AM23 w06 Pochodne czastkowe id Nieznany
Analiza Pytlik Pochodna id 6116 Nieznany
Instrumenty pochodne id 217770 Nieznany
Fenol i pochodne id 169195 Nieznany
AMI 17 1 Pochodne id 59051 Nieznany (2)
AM2 10 Pochodne kierunkowe id 5 Nieznany (2)
Dodatek3 Grafika wektorowa id Nieznany
pochodna id 364359 Nieznany
pochodne wzory domek id 364486 Nieznany
pochodna funkcji, wyklad id 364 Nieznany
pochodne wyzszych rzedow id 364 Nieznany
więcej podobnych podstron