Sieci Bayesa
Jacek Kluska
Politechnika Rzeszowska
2011
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
1 / 25
Prawdopodobie´nstwa ÷¾
aczne, a’posteriori i regu÷
a Bayesa
Za÷
ó·
zmy, ·
ze zmienne losowe A i B przyjmuj ¾
a warto´sci dyskretne:
A
2 f
a
1
, . . . , a
n
g
, B
2 f
b
1
, . . . , b
m
g
. De…niujemy tablic ¾
e
prawdopodobie´nstwa ÷¾
acznego (Joint Probability Distribution)
P
(
A
=
a
i
, B
=
b
j
)
jako macierz
f
P
(
a
i
, b
j
)g
n m
.
Example
Za÷
o·
zenie: A
2 f
a
1
, a
2
, a
3
g
, B
2 f
b
1
, b
2
g
.
f
P
(
a
i
, b
j
)g =
JPD
b
1
b
2
∑
a
1
P
(
a
1
, b
1
)
P
(
a
1
, b
2
)
P
(
a
1
)
a
2
P
(
a
2
, b
1
)
P
(
a
2
, b
2
)
P
(
a
2
)
a
3
P
(
a
3
, b
1
)
P
(
a
3
, b
2
)
P
(
a
3
)
∑
P
(
b
1
)
P
(
b
2
)
1
∑
i
P
(
a
i
, b
j
) =
P
(
b
j
)
,
∑
j
P
(
a
i
, b
j
) =
P
(
a
i
)
,
∑
i ,j
P
(
a
i
, b
j
) =
1
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
2 / 25
JPD umo·
zliwia obliczenie prawdopodobie´nstwa
warunkowego
P
(
b
j
j
a
i
) =
P
(
a
i
, b
j
)
P
(
a
i
)
Np.
P
(
b
2
j
a
3
) =
P
(
a
3
, b
2
)
P
(
a
3
)
=
P
(
a
3
, b
2
)
P
(
a
3
, b
1
) +
P
(
a
3
, b
2
)
Przypu´s´cmy, ·
ze wyst ¾
api A a potem B. Tablica prawdopodobie´nstwa
warunkowego, ·
ze wyst ¾
api b
j
pod warunkiem wyst ¾
apienia a
i
(Conditional
Probability Table). Np. dla A
2 f
a
1
, a
2
, a
3
g
, B
2 f
b
1
, b
2
g
:
CPT
b
1
b
2
∑
a
1
P
(
b
1
j
a
1
)
P
(
b
2
j
a
1
)
1
a
2
P
(
b
1
j
a
2
)
P
(
b
2
j
a
2
)
1
a
3
P
(
b
1
j
a
3
)
P
(
b
2
j
a
3
)
1
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
3 / 25
Przyk÷
ad obliczenia JPD
Za÷
o·
zenia: A
2 f
a
1
, a
2
, a
3
g
, B
2 f
b
1
, b
2
g
, po zdarzeniu A mo·
ze wyst ¾
api´c
B, znamy P
(
A
)
, znamy CPT tzn. P
(
B
j
A
)
.
Nale·
zy wyznaczy´c P
(
B
)
i JPD:
[
P
(
b
1
)
, P
(
b
2
)] = [
P
(
a
1
)
, P
(
a
2
)
, P
(
a
3
)]
2
4
P
(
b
1
j
a
1
)
P
(
b
2
j
a
1
)
P
(
b
1
j
a
2
)
P
(
b
2
j
a
2
)
P
(
b
1
j
a
3
)
P
(
b
2
j
a
3
)
3
5
f
P
(
a
i
, b
j
)g =
2
4
P
(
a
1
)
0
0
0
P
(
a
2
)
0
0
0
P
(
a
3
)
3
5
2
4
P
(
b
1
j
a
1
)
P
(
b
2
j
a
1
)
P
(
b
1
j
a
2
)
P
(
b
2
j
a
2
)
P
(
b
1
j
a
3
)
P
(
b
2
j
a
3
)
3
5
=
2
4
P
(
b
1
j
a
1
)
P
(
a
1
)
P
(
b
2
j
a
1
)
P
(
a
1
)
P
(
b
1
j
a
2
)
P
(
a
2
)
P
(
b
2
j
a
2
)
P
(
a
2
)
P
(
b
1
j
a
3
)
P
(
a
3
)
P
(
b
2
j
a
3
)
P
(
a
3
)
3
5
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
4 / 25
Przyk÷
ad zastosowania regu÷
y Bayesa do wnioskowania
Podstawa wnioskowania probabilistycznego:
P
(
B
j
A
) =
P
(
B
)
P
(
A
)
P
(
A
j
B
)
Przyk÷
ad. U pacjenta przeprowadzono test na obecno´s´c wirusa. Test
wypad÷pozytywnie. Czy pacjenta nale·
zy koniecznie hospitalizowa´c i
rozpocz ¾
a´c leczenie?
Testy nigdy nie s ¾
a ca÷
kowicie niezawodne. Dobry test zapewnia wysokie
prawdopodobie´nstwo:
wyniku pozytywnego (potwierdzaj ¾
acego obecno´s´c wirusa W ), o ile
wirus W jest rzeczywi´scie obecny: P
(
T
j
W
)
,
wyniku negatywnego – w przypadku braku wirusa: P T
j
W .
Lekarza i pacjenta najbardziej interesuj ¾
a szanse:
P
(
W
j
T
)
albo P W
j
T .
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
5 / 25
Przyk÷
ad zastosowania regu÷
y Bayesa do wnioskowania -
c.d.
Aby na podstawie przeprowadzonego testu wnioskowa´c o
prawdopodobie´nstwie zainfekowania wirusem, konieczne jest skorzystanie z
regu÷
y Bayesa.
Za÷
o·
zenia wynikaj ¾
ace z danych historycznych:
1
Wirus wyst ¾
epuje przeci ¾
etnie u 20 ludzi na 100 000:
P
(
W
) =
p
=
0.0002
2
Je·
zeli wirus rzeczywi´scie wyst ¾
epuje, to test daje wynik pozytywny w
90 przypadkach na 100: P
(
T
j
W
) =
a
=
0.90.
3
Je·
zeli wirus nie wyst ¾
epuje, to test daje wynik negatywny w 75
przypadkach na 100: P T
j
W
=
b
=
0.75.
Rozwa·
zmy pacjenta, dla którego test da÷wynik pozytywny. Jakie jest
prawdopodobie´nstwo, ·
ze pacjent zosta÷zainfekowany wirusem:
P
(
W
j
T
) =
?
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
6 / 25
Przyk÷
ad zastosowania regu÷
y Bayesa do wnioskowania -
c.d.
P
(
W
j
T
) =
P
(
W
)
P
(
T
)
P
(
T
j
W
)
=
P
(
W
)
P
(
T
j
W
)
P
(
W
) +
P T
j
W P W
P
(
T
j
W
)
=
ap
ap
+ (
1
b
) (
1
p
)
=
0.00071963
Czy w przypadku P
(
W
j
T
) <
0.1% warto podejmowa´c terapi ¾
e (by´c mo·
ze
nieoboj ¾
etn ¾
a dla zdrowia) ?
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
7 / 25
Przyk÷
ad zastosowania regu÷
y Bayesa do wnioskowania -
c.d.
Co si ¾
e zmieni, gdy b ¾
ed ¾
a wykonywane 2 niezale·
zne od siebie testy? Wyniki
testów zale·
z ¾
a tylko od wyst ¾
epowania wirusa. Zk÷
adamy, ·
ze znane s ¾
a:
P
(
W
) =
p
=
0.0001, P
(
T 1
j
W
) =
a
1
=
0.95, P
(
T 2
j
W
) =
a
2
=
0.95,
P T 1
j
W
=
b
1
=
0.90, P T 2
j
W
=
b
2
=
0.90.
P
(
W
j
T 1
^
T 2
) =
P
(
W
)
P
(
T 1
^
T 2
)
P
(
T 1
^
T 2
j
W
)
=
P
(
W
)
P
(
T 1
)
P
(
T 2
)
P
(
T 1
j
W
)
P
(
T 2
j
W
)
=
p
a
1
a
2
(
a
1
p
+ (
1
b
1
) (
1
p
)) (
a
2
p
+ (
1
b
2
) (
1
p
))
gdzie
P
(
Ti
) =
P
(
Ti
j
W
)
P
(
W
) +
P Ti
j
W P W
=
P
(
Ti
j
W
)
P
(
W
) +
1
P Ti
j
W
(
1
P
(
W
))
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
8 / 25
Przyk÷
ad zastosowania regu÷
y Bayesa do wnioskowania -
c.d.
Ile razy wzros÷
o prawdopodobie´nstwo poprzez wykonanie dwóch testów
zamiast jednego ?
P
(
W
j
T 1
^
T 2
)
P
(
W
j
T 1
)
=
P
(
W
)
P
(
T 1
j
W
)
P
(
T 2
j
W
)
P
(
T 1
)
P
(
T 2
)
P
(
W
)
P
(
T 1
j
W
)
P
(
T 1
)
=
P
(
T 2
j
W
)
P
(
T 2
)
=
a
2
a
2
p
+ (
1
b
2
) (
1
p
)
=
9.4919
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
9 / 25
Sie´c Bayesa (Bayes network, sie´c przekona´n, belief
network)
Graf skierowany bez cykli, którego wierzcho÷
kami s ¾
a zmienne losowe.
×uk X
!
Y ma intuicyjne znaczenie: “zmienna X ma bezpo´sredni
wp÷
yw na Y”.
Ka·
zdy wierzcho÷
ek X ma zwi ¾
azan ¾
a z nim tablic ¾
e
prawdopodobie´nstw warunkowych (CPT — Conditional
Probability Table) okre´slaj ¾
acych wp÷
yw wywierany na X przez jego
poprzedników w gra…e (rodziców).
Musimy okre´sli´c prawdopodobie´nstwa warunkowe dla ka·
zdej warto´sci
zmiennej losowej X dla wszystkich kombinacji warto´sci zmiennych
losowych, od których zale·
zy X.
Dla zmiennych, które nie zale·
z ¾
a od niczego, musimy okre´sli´c
prawdopodobie´nstwa a’priori.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
10 / 25
Oszacowanie liczby prawdopodobie´nstw w sieci Bayesa
Na podstawie ÷¾
acznego rozk÷
adu prawdopodobie´nstwa (JPD, Joint
Probability Distribution) mo·
zna wyznaczy´c praktycznie wszystko.
Gdyby sie´c Bayesa mia÷
a N
=
20 wierzcho÷
ków, to tablica JPD
mia÷
aby 2
N
=
2
20
=
1 048 576 elementów. Za÷
ó·
zmy, ·
ze ka·
zdy
wierzcho÷
ek w sieci zale·
zy od K
=
6 zmiennych binarnych. Liczba
prawdopodobie´nstw warunkowych w CPT w jednym wierzcho÷
ku
wynosi 2
K
=
2
6
=
64, a we wszystkich N wierzcho÷
kach:
N
2
K
=
20
2
6
=
1 280.
Dzi ¾
eki sieci Bayesa mo·
zemy uzyska´c du·
z ¾
a oszcz ¾
edno´s´c, która jest
mo·
zliwa tylko wtedy, gdy zmienne bezpo´srednio zale·
z ¾
a tylko od
pewnej (ma÷
ej) liczby innych zmiennych. Gdyby zmienne w sieci
zale·
za÷
y od wszystkich innych zmiennych, to reprezentacja tych
zale·
zno´sci w postaci sieci Bayesa mia÷
aby niewielki sens.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
11 / 25
Przyk÷
ad: Sie´c Bayesa budowana na podstawie statystyk
dla pewnej kliniki p÷
uc
Lauritzen S.L., Spiegelhalter D. J. (1988), Local computations with
probabilities on graphical structures and their application to expert
systems, Journal of the Royal Statistical Society, Series B
(Methodological), 50(2), 157-224:
50% pacjentów tej kliniki to palacze,
1% choruje na gru´zlic ¾
e,
5.5% ma raka p÷
uc,
45% ma jak ¾
a´s form ¾
e z ÷
agodnego lub przewlek÷
ego zapalenia oskrzeli,
Duszno´sci wykryte s ¾
a ´srednio u 10% ludzi - wi ¾
ekszo´s´c z powodu
astmy i powodów innych, ni·
z gru´zlica, rak p÷
uc lub zapalenie oskrzeli.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
12 / 25
Przyk÷
ad: Sie´c Bayesa - klinika gru´zlicy i chorób p÷
uc
Za÷
o·
zenia ogólne - 3 typy danych:
1
Czynniki maj ¾
ace wp÷
yw na powstawanie chorób p÷
uc
{odwiedzenie Azji, palenie papierosów},
2
Rodzaje chorób p÷
uc:
{gru´zlica, zapalenie p÷
uc, zapalenie oskrzeli},
3
Objawy chorobowe:
{wyniki Rtg, duszno´sci}.
Uwaga: Przyk÷
ad nie nadaje si ¾
e do zastosowa´n wprost, ze wzgl ¾
edu na
ma÷¾
a liczb ¾
e danych.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
13 / 25
Przyk÷
ad - Bezwarunkowe prawdopodobie´nstwa a’priori
dotycz ¾
ace czynników maj ¾
acych wp÷
yw na powstawanie
chorób p÷
uc
A: Pacjent odwiedzi÷Azj ¾
e:
B: Pacjent jest palaczem:
P(A=tak)=0.01,
P(B=tak)=0.50,
P(A=nie)=0.99;
P(B=nie)=0.50
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
14 / 25
Przyk÷
ad - Warunkowe prawdopodobie´nstwa a’priori
wyst ¾
epowania chorób: {gru´zlica, rak p÷
uc, zapalenie
oskrzeli}
C: Wyst ¾
epuje gru´zlica pod warunkiem, ·
ze pacjent odwiedzi÷Azj ¾
e: P(C
j
A)
P(C
j
A=tak)
P(C
j
A=nie)
A=tak
0.05
0.95
A=nie
0.01
0.99
D: Wyst ¾
epuje rak p÷
uc pod warunkiem, ·
ze pacjent jest palaczem: P(D
j
B)
P(D
j
B=tak)
P(D
j
B=nie)
B=tak
0.10
0.90
B=nie
0.01
0.99
E: Wyst ¾
epuje zapalenie oskrzeli pod warunkiem, ·
ze pacjent jest palaczem:
P(E
j
B)
P(E
j
B=tak)
P(E
j
B=nie)
B=tak
0.60
0.40
B=nie
0.30
0.70
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
15 / 25
Przyk÷
ad - okre´slenie funkcji deterministycznej dla w ¾
ez÷
a
sieci Bayesa “gru´zlica lub rak p÷
uc”
Funkcja potrzebna do obliczenia pr. wyst ¾
apienia gru´zlicy lub rak p÷
uc:
P(F
j
C lub D)
F: Funkcja deterministyczna:
(C, D)=(tak,tak)
)
(C lub D)=tak
(C, D)=(tak,nie)
)
(C lub D)=tak
(C, D)=(nie,tak)
)
(C lub D)=tak
(C, D)=(nie,nie)
)
(C lub D)=nie
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
16 / 25
Przyk÷
ad - warunkowe prawdopodobie´nstwa a’priori
objawów choroby: “Wynik Rtg wskazuje chorob ¾
e” oraz
“Wyst ¾
epuj ¾
a duszno´sci”
G: Wynik badania Rtg jest pozytywny pod warunkiem istnienia “gru´zlicy
lub raka p÷
uc”:
P(G
j
F)=tak
P(G
j
F)=nie
F=tak
0.02
0.98
F=nie
0.95
0.05
H: Wyst ¾
epuj ¾
a duszno´sci pod warunkiem F (gru´zlica lub rak p÷
uc) i E
(zapalenie oskrzeli): P(H
j
F
^
E)=tak, P(H
j
F
^
E)=nie
(F, E)=(tak,tak)
0.90
0.10
(F, E)=(tak,nie)
0.70
0.30
(F, E)=(nie,tak)
0.80
0.20
(F, E)=(nie,nie)
0.10
0.90
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
17 / 25
Pierwotna sie´c Bayesa i wnioskowanie
Sie´c pierwotna (tu·
z po wprowadzeniu wiedzy a’priori) przedstawia
sytuacj ¾
e zupe÷
nego braku wiedzy o konkretnym pacjencie (wiedza
wynika tylko z danych statystycznych).
Praktyczna korzy´s´c z wnioskowania bayesowskiego:
Wprowadzanie nowej informacji powoduje korygowanie
prawdopodobie´nstw w sieci, a to odbywa si ¾
e automatycznie.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
18 / 25
Przyk÷
ad - “Pacjent ma duszno´sci”, P(H) = 1
1
P(E): 45%
%
83.4%. E jest cz ¾
e´sciej spotykane ni·
z F.
2
P(B): 50%
%
63.4%. Wzros÷
a szansa, ·
ze pacjent jest palaczem (B) ...
3
P(A): 1%
%
1.03%. Szansa na A jest prawie taka sama.
4
P(G): 11%
%
16%. Szanse Rtg “poza norm ¾
a” (G).
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
19 / 25
Przyk÷
ad - pierwsze wnioski, gdy: “Pacjent ma duszno´sci”
Co dolega pacjentowi?
Gro´zba fatalnego rozpoznania:
P(E)=0.834 - cierpi na zapalenie oskrzeli? Je´sli zatrzymujemy si ¾
e w
tym miejscu i diagnozujemy pacjenta jako chorego na zapalenie
oskrzeli, podczas, gdy by÷
by chory na raka, to by÷
oby fatalne
rozpoznanie.
Potrzebujemy wi ¾
ecej informacji.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
20 / 25
Przyk÷
ad - wprowadzenie nowej informacji: “Pacjent
odwiedzi÷Azj ¾
e”
“Usprawiedliwianie” w sieci Bayesa:
Je·zeli istniej ¾
a rywalizuj ¾
ace ze sob ¾
a mo·zliwe powody zaistnienia
jakiego´s zdarzenia i szanse jednego z nich wzros÷
y, to inne szanse
zmniejszaj ¾
a si ¾
e i s ¾
a “usprawiedliwione”.
P(C): 2%
%
9%. H jest lepiej wyja´snione. P(D), P(E), P(B):
&
.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
21 / 25
Przyk÷
ad - wprowadzenie nowej informacji: “Pacjent pali”
Nadal najlepsz ¾
a hipotez ¾
a jest E, nie C czy D.
Jednak trzeba si ¾
e upewni´c wykonuj ¾
ac prze´swietlenie Rtg.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
22 / 25
Przyk÷
ad - wprowadzenie nowej informacji: “Wyniki bada´n
Rtg s ¾
a w normie”
Mocne potwierdzenie E i nik÷
e szanse D.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
23 / 25
Przyk÷
ad - wprowadzenie nowej informacji: “Wyniki bada´n
Rtg nie s ¾
a w normie”
Teraz C i D
%
. E jest wci ¾
a·
z najbardziej prawdopodobne w zbiorze {C,D,E}
ale jest mniejsze, ni·
z hipoteza F=D
[
C.
Trzeba wykona´c dalsze testy, badania krwi, biopsje tkanki p÷
ucnej itp.
Mocna strona sieci Bayesa:
Obecna sie´c Bayesa nie relacjonuje tych testów ale mo·
zna j ¾
a poszerza´c
dodaj ¾
ac nowe w ¾
ez÷
y - bez wyrzucania cz ¾
e´sci poprzedniej sieci.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
24 / 25
Podsumowanie
Sie´c Bayesa pozwala na intuicyjn ¾
a, gra…czn ¾
a wizualizacj ¾
e wiedzy
zawieraj ¾
ac ¾
a wzajemne oddzia÷
ywania pomi ¾
edzy ró·
znymi ´zród÷
ami
niepewno´sci.
Mechanizm wnioskowania wykorzystuje twierdzenie Bayesa:
P(A
j
B)P(B)=P(B
j
A)P(A) i polega na obliczaniu prawdopodobie´nstwa
ka·
zdego mo·
zliwego wyniku, gdy znany jest konkretny przypadek.
Sieci Bayesa mog ¾
a by´c stosowane m.in. w diagnostyce (systemy
doradcze), w rozumowaniu przebiegaj ¾
acym od objawów do przyczyn i
odwrotnie.
Wady:
wymaga si ¾
e dok÷
adnych znajomo´sci warto´sci prawdopodobie´nstw,
nie zawsze jest spe÷
nione podstawowe za÷
o·
zenie: “A i B s ¾
a warunkowo
niezale·
zne przy znajomo´sci C
,
P(A
j
B,C)=P(A
j
C)”,
czasami wymaga si ¾
e nierealistycznych za÷
o·
ze´n, np. wymagane wyniki
rozpoznania musz ¾
a si ¾
e wzajemnie wyklucza´c, tymczasem pacjent mo·
ze
mie´c wiele chorób jednocze´snie.
J. Kluska (Politechnika Rzeszowska)
2011
25 / 25
Document Outline
- Prawdopodobienstwa łaczne, a'posteriori i reguła Bayesa
- JPD umozliwia obliczenie prawdopodobienstwa warunkowego
- Przykład obliczenia JPD
- Przykład zastosowania reguły Bayesa do wnioskowania
- Przykład zastosowania reguły Bayesa do wnioskowania - c.d.
- Przykład zastosowania reguły Bayesa do wnioskowania - c.d.
- Przykład zastosowania reguły Bayesa do wnioskowania - c.d.
- Przykład zastosowania reguły Bayesa do wnioskowania - c.d.
- Siec Bayesa (Bayes network, siec przekonan, belief network)
- Oszacowanie liczby prawdopodobienstw w sieci Bayesa
- Przykład: Siec Bayesa budowana na podstawie statystyk dla pewnej kliniki płuc
- Przykład: Siec Bayesa - klinika gruzlicy i chorób płuc
- Przykład - Bezwarunkowe prawdopodobienstwa a'priori dotyczace czynników majacych wpływ na powstawanie chorób płuc
- Przykład - Warunkowe prawdopodobienstwa a'priori wystepowania chorób: {gruzlica, rak płuc, zapalenie oskrzeli}
- Przykład - okreslenie funkcji deterministycznej dla wezła sieci Bayesa “gruzlica lub rak płuc”
- Przykład - warunkowe prawdopodobienstwa a'priori objawów choroby: “Wynik Rtg wskazuje chorobe” oraz “Wystepuja dusznosci”
- Pierwotna siec Bayesa i wnioskowanie
- Przykład - “Pacjent ma dusznosci”, P(H) = 1
- Przykład - pierwsze wnioski, gdy: “Pacjent ma dusznosci”
- Przykład - wprowadzenie nowej informacji: “Pacjent odwiedził Azje”
- Przykład - wprowadzenie nowej informacji: “Pacjent pali”
- Przykład - wprowadzenie nowej informacji: “Wyniki badan Rtg sa w normie”
- Przykład - wprowadzenie nowej informacji: “Wyniki badan Rtg nie sa w normie”
- Podsumowanie
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
14 Wnioskowanie statystyczne w sieci Bayesa
Analiza sieci bayesa
Sieci Bezprzewodowe poprawka
14 Sieci komputerowe
Analiza sieci bayesa
lekcja 14 15 po poprawce
Sieci 14, Politechnika Lubelska, Studia, semestr 5, Sem V, Nowy folder
14 Publikowanie dokumentów w sieci Web
skrypt z prawa rodzinnego egzamin 14 poprawiony
Sieci 14(1), Politechnika Lubelska, Studia, semestr 5, Sem V, Nowy folder
poprawa gr3 14
interna 16.12.11 godz 14.40 z poprawkami, V ROK, Choroby Wewnętrzne
biochemia 14 poprawka
Kolokwium 1 Sieci komputerowe 14 04 2013
14 12 2015 W 9 harmonogram konsult zima 2015 16 popraw
TEST poprawkowy 14 gr VIII
skrypt z prawa rodzinnego egzamin 14 poprawiony (1)
więcej podobnych podstron