RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel

1/7

Prawo przenoszenia się błędów

Prawo przenoszenia się błędów

P = a * b
Dla a = 100 m. ±3 cm
b = 200 m. ±3 cm
P = a*b =100 m.* 200 m. = 20 000 m

2

Obliczamy możliwe maksymalne odchyłki wyniku:
P

min

= 99.97 m. * 199.97 m. = 19 991.0009 m

2

P

max

=100.03 m. * 200.03 m. = 20 009.0009 m

2

19 991 m

2

< P < 20 009 m

2

czyli P = ±9 m

2

Prawo przenoszenia się błędów ukazuje sposób

gromadzenia się błędów średnich spostrzeżeń

bezpośrednich i niezależnych występujących w

danej funkcji

.

Dla funkcji:

F = f (x, y, z)

Przykłady typowych funkcji:
Błąd średni wielokrotności

f = a*x

m

f

= ± a*m

x

Błąd średni sumy

f = x + y

2

y

2

x

f

m

m

m

Błąd średni funkcji liniowej

f = ax + by

2

y

2

2

x

2

f

m

*

b

m

*

a

m

.....

m

*

z

F

m

*

y

F

m

*

x

F

M

2

z

2

2

y

2

2

x

2

F

RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel

2/7

Prawo przenoszenia się błędów

Przykłady liczbowe

Pole powierzchni prostokąta
Błąd funkcji

P = a * b

Liczymy pochodne cząstkowe:

b

a

P

a

b

P

przy założeniu błędów (odpowiednio)

m

a

i

m

b

otrzymamy

2

b

2

2
a

2

p

m

*

a

m

*

b

M

Przykład

– wariant 1

Dla a = 100 m. ±3 cm

b = 200 m. ±3 cm

7

,

6

45

9

36

0009

.

0

*

10000

0009

.

0

*

40000

p

M

– wariant 2

Zmiana dokładności

m

a

=

±1 cm

,

m

b

= ±3 cm

3

,

3

13

9

4

0009

.

0

*

10000

0001

.

0

*

40000

p

M

b

a

P = a*b

RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel

3/7

Prawo przenoszenia się błędów

– wariant 3

Zmiana dokładności

m

a

= ±3 cm,

m

b

=

±1 cm

1

,

6

37

1

36

0001

.

0

*

10000

0009

.

0

*

40000

p

M

– wariant 4

Zmiana dokładności

m

a

=

±1 cm,

m

b

= ±1 cm

2

,

2

5

1

4

0001

.

0

*

10000

0001

.

0

*

40000

p

M

b

a

P=a*b

b

a

P=a*b

m

a

m

b

m

a

m

b

m

a

m

b

RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel

4/7

Prawo przenoszenia się błędów

Pomiar: niwelacja trygonometryczna:

D

H

H=D*tg(alfa

)

Błąd funkcji

H = D * Tg( )

Liczymy pochodne cząstkowe:

)

Tg(

D

H

)

(

cos

D

α

H

2

przy założeniu błędów (odpowiednio)

m

D

i m

otrzymamy

2
α

2

2

2

D

2

H

m

*

)

(

cos

D

m

*

)

Tg(

M

Musimy doprowadzić do jednorodności wymiarów (wprowadzić miarę
łukowa kąta)

2

'

'

α

2

2

2

D

2

H

ρ

m

*

)

(

cos

D

m

*

)

Tg(

M

RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel

5/7

Prawo przenoszenia się błędów

Wariant 1

Dla D = 200 m. ± 3 cm

= 30

0

. ± 60”

gdzie tg( )=

/3

czyli 0,577,

a cos( )= 3/2

czyli 0,866

natomiast

’

w przybliżeniu = 200 000

2

2

2

2

2

p

000

200

60

*

2

3

000

20

3

*

3

3

M

000

000

000

40

600

3

*

16

9

000

000

400

9

*

9

3

M

p

000

000

400

6

3

*

9

000

000

400

*

16

M

p

3

1

6

3

*

9

1

*

16

M

p

3

2

,

8

67

64

3

9

576

3

9

36

*

16

3

p

M

RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel

6/7

Prawo przenoszenia się błędów

Zmiana dokładności – wariant 1A

Dla D = 200 m. ± 3 cm
= 30

0

.

± 30”

2

2

2

2

2

p

000

200

30

*

2

3

000

20

3

*

3

3

M

000

000

000

40

900

*

16

9

000

000

400

9

*

9

3

M

p

000

000

400

9

*

9

000

000

400

*

16

M

p

3

4

,

4

19

16

3

p

M

Zmiana dokładności - wariant 1B:

Dla D = 200 m.

± 1 cm

= 30

0

. ± 60”

2

2

2

2

2

p

000

200

60

*

2

3

000

20

1

*

3

3

M

000

000

400

36

*

9

000

000

400

*

16

M

p

9

3

RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel

7/7

Prawo przenoszenia się błędów

0

,

8

3

,

64

64

3

1

p

M

Zmiana dokładności - wariant 1C:

Dla D = 200 m.

± 1 cm

= 30

0

.

± 30

”

2

2

2

2

2

p

000

200

30

*

2

3

000

20

1

*

3

3

M

000

000

400

9

*

9

000

000

400

*

16

M

p

9

3

0

,

4

3

,

16

16

3

1

p

M