RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
1/7
Prawo przenoszenia się błędów
Prawo przenoszenia się błędów
P = a * b
Dla a = 100 m. ±3 cm
b = 200 m. ±3 cm
P = a*b =100 m.* 200 m. = 20 000 m
2
Obliczamy możliwe maksymalne odchyłki wyniku:
P
min
= 99.97 m. * 199.97 m. = 19 991.0009 m
2
P
max
=100.03 m. * 200.03 m. = 20 009.0009 m
2
19 991 m
2
< P < 20 009 m
2
czyli P = ±9 m
2
Prawo przenoszenia się błędów ukazuje sposób
gromadzenia się błędów średnich spostrzeżeń
bezpośrednich i niezależnych występujących w
danej funkcji
.
Dla funkcji:
F = f (x, y, z)
Przykłady typowych funkcji:
Błąd średni wielokrotności
f = a*x
m
f
= ± a*m
x
Błąd średni sumy
f = x + y
2
y
2
x
f
m
m
m
Błąd średni funkcji liniowej
f = ax + by
2
y
2
2
x
2
f
m
*
b
m
*
a
m
.....
m
*
z
F
m
*
y
F
m
*
x
F
M
2
z
2
2
y
2
2
x
2
F
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
2/7
Prawo przenoszenia się błędów
Przykłady liczbowe
Pole powierzchni prostokąta
Błąd funkcji
P = a * b
Liczymy pochodne cząstkowe:
b
a
P
a
b
P
przy założeniu błędów (odpowiednio)
m
a
i
m
b
otrzymamy
2
b
2
2
a
2
p
m
*
a
m
*
b
M
Przykład
– wariant 1
Dla a = 100 m. ±3 cm
b = 200 m. ±3 cm
7
,
6
45
9
36
0009
.
0
*
10000
0009
.
0
*
40000
p
M
– wariant 2
Zmiana dokładności
m
a
=
±1 cm
,
m
b
= ±3 cm
3
,
3
13
9
4
0009
.
0
*
10000
0001
.
0
*
40000
p
M
b
a
P = a*b
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
3/7
Prawo przenoszenia się błędów
– wariant 3
Zmiana dokładności
m
a
= ±3 cm,
m
b
=
±1 cm
1
,
6
37
1
36
0001
.
0
*
10000
0009
.
0
*
40000
p
M
– wariant 4
Zmiana dokładności
m
a
=
±1 cm,
m
b
= ±1 cm
2
,
2
5
1
4
0001
.
0
*
10000
0001
.
0
*
40000
p
M
b
a
P=a*b
b
a
P=a*b
m
a
m
b
m
a
m
b
m
a
m
b
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
4/7
Prawo przenoszenia się błędów
Pomiar: niwelacja trygonometryczna:
D
H
H=D*tg(alfa
)
Błąd funkcji
H = D * Tg( )
Liczymy pochodne cząstkowe:
)
Tg(
D
H
)
(
cos
D
α
H
2
przy założeniu błędów (odpowiednio)
m
D
i m
otrzymamy
2
α
2
2
2
D
2
H
m
*
)
(
cos
D
m
*
)
Tg(
M
Musimy doprowadzić do jednorodności wymiarów (wprowadzić miarę
łukowa kąta)
2
'
'
α
2
2
2
D
2
H
ρ
m
*
)
(
cos
D
m
*
)
Tg(
M
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
5/7
Prawo przenoszenia się błędów
Wariant 1
Dla D = 200 m. ± 3 cm
= 30
0
. ± 60”
gdzie tg( )=
/3
czyli 0,577,
a cos( )= 3/2
czyli 0,866
natomiast
’
w przybliżeniu = 200 000
2
2
2
2
2
p
000
200
60
*
2
3
000
20
3
*
3
3
M
000
000
000
40
600
3
*
16
9
000
000
400
9
*
9
3
M
p
000
000
400
6
3
*
9
000
000
400
*
16
M
p
3
1
6
3
*
9
1
*
16
M
p
3
2
,
8
67
64
3
9
576
3
9
36
*
16
3
p
M
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
6/7
Prawo przenoszenia się błędów
Zmiana dokładności – wariant 1A
Dla D = 200 m. ± 3 cm
= 30
0
.
± 30”
2
2
2
2
2
p
000
200
30
*
2
3
000
20
3
*
3
3
M
000
000
000
40
900
*
16
9
000
000
400
9
*
9
3
M
p
000
000
400
9
*
9
000
000
400
*
16
M
p
3
4
,
4
19
16
3
p
M
Zmiana dokładności - wariant 1B:
Dla D = 200 m.
± 1 cm
= 30
0
. ± 60”
2
2
2
2
2
p
000
200
60
*
2
3
000
20
1
*
3
3
M
000
000
400
36
*
9
000
000
400
*
16
M
p
9
3
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel
7/7
Prawo przenoszenia się błędów
0
,
8
3
,
64
64
3
1
p
M
Zmiana dokładności - wariant 1C:
Dla D = 200 m.
± 1 cm
= 30
0
.
± 30
”
2
2
2
2
2
p
000
200
30
*
2
3
000
20
1
*
3
3
M
000
000
400
9
*
9
000
000
400
*
16
M
p
9
3
0
,
4
3
,
16
16
3
1
p
M