Rachunek błędów
Podstawowe pojęcia, definicje i wzory.
Rachunek błędów
Podstawowe pojęcia, definicje i wzory.
2
Wstęp
Proces pomiarowy mający na celu poznanie
obiektu badań prowadzi często do określenia
wartości rzeczywistej badanej wielkości. Jednak
wynik pomiarów może różnić się od wartości
rzeczywistej wielkości mierzonej. Zatem ważną
częścią tego procesu jest analiza popełnionych w
trakcie pomiaru niedokładności. W tym celu
wprowadza się pojęcie
błędu pomiaru
(nazywanego w przeszłości
uchybem
) oraz jego
niepewności
. Spotykamy się też z innymi
pojęciami takimi jak:
dokładność
,
klasa
czy
tolerancja
3
Podstawowe definicje
Błąd pomiaru
-
niezgodność wyniku
pomiaru z wartością rzeczywistą wielkości
mierzonej
Błąd bezwzględny
-
jest to różnica
między wynikiem pomiaru x i wartością
rzeczywistą x
R
wielkości mierzonej i wyraża
się w tych samych jednostkach, co wielkość
mierzona
Błąd względny
- jest ilorazem błędu
bezwzględnego i wartości rzeczywistej
(wyrażany głównie w procentach, dzięki
temu jest przydatny przy porównywaniu
jakości pomiarów różnych wielkości
R
x
x
x
−
=
∆
%
100
R
x
x
x
∆
=
δ
4
Wartość poprawna
W metrologii wartość rzeczywista jest pojęciem
teoretycznym, jej przybliżeniem jest
wartość poprawna
,
czyli taka która określona jest wystarczająco dokładnie.
Dlatego wprowadza się błąd poprawny
p
x
x
x
x
x
p
p
x
x
x
P
P
P
P
P
+
=
−
=
∆
−
=
−
=
−
=
∆
p – poprawka
Służy do poprawienia
wyniku pomiaru
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
P
P
R
P
R
∆
∆
∆
∆
≈
≈
≈
=
δ
W praktyce Î :
5
Niepewność pomiaru
Graniczny błąd pomiaru
(
niepewność
pomiaru
) jest to błąd bez znaku i określa
przedział taki, że:
x
x
x
x
x
x
x
g
R
g
R
g
g
P
g
R
g
g
x
x
x
x
x
x
x
x
∆
∆
∆
≈
≈
=
∆
±
=
∆
+
≤
≤
∆
−
δ
Niepewność zwykle jest szacowana, czyli określana z pewnym
przybliżeniem co wynika z naszej niewiedzy na temat
dokładnych wartości x
R
, x
P
, czy też zjawisk.
6
Zapis wyników pomiarów
Ostateczny zapis wyników pomiarów musi mieć
odpowiednią formę. W tym celu dokonuje się zaokrągleń
w następujący sposób:
błędy (
∆ i δ) zaokrąglamy zawsze w górę, do jednej cyfry
znaczącej
liczbę przybliżoną (x) zaokrąglamy do tylu miejsc po
przecinku, ile występuje w błędzie.
Przykłady:
x=2,494 i
∆x=±0,043 zapisujemy
2,49
±0,05
x=237,465 i
∆x=±0,127 zapisujemy
237,5
±0,2
x=123375 i
∆x=±678 zapisujemy
123400
±700
lub
(123,4
±0,7) 10
3
7
Podział błędów ze względu ma
ich charakter
błędy systematyczne
błędy przypadkowe
błędy grube (nadmierne, omyłki)
8
Podział błędów ze względu na
ich charakter
Błąd systematyczny
- jest to błąd, który przy wielokrotnym
pomiarze danej wielkości w nie zmienionych praktycznie
warunkach, pozostaje stały co do wartości i co do znaku, albo
zmienia się według znanej zależności. Istotną cechą błędu
systematycznego jest to, iż można w wielu wypadkach usunąć go
z wyniku pomiaru wyznaczając poprawkę
Błąd przypadkowy
- jest to błąd zmieniający się w sposób
przypadkowy zarówno co do wartości, jak i co do znaku przy
wielokrotnym powtarzaniu pomiaru danej wielkości w
praktycznie niezmiennych warunkach.
Błąd nadmierny
- Zwany też
błędem grubym
lub
omyłką
. Jest to
rażąca odmienność wyniku pomiarowego od pozostałych. Jeśli
jest to faktycznie omyłka, wtedy pomiar taki odrzucamy w
przeciwnym razie wynik taki należy poddać wnikliwej analizie
9
Zmienne losowe
Wynik pomiaru i błąd przypadkowy można traktować jak
zmienne
losowe
. W dalszych rozważaniach zakładamy, że wynik pomiaru nie
jest obciążony błędem systematycznym.
Zmienna losowa X - jest to wielkość mierzalna, której wartości
(x) zależą od przypadku. W wyniku pomiaru zmienna losowa (X)
przyjmuje tylko jedną wartość (x) spośród wszystkich możliwych.
f(x) - funkcja gęstości
prawdopodobieństwa (gęstość
prawdopodobieństwa)
F(x) - dystrybuanta zmiennej losowej
dx
x
dF
x
f
)
(
)
(
=
( )
∫
∞
−
=
<
<
−∞
=
=
x
dx
x
f
x
X
P
X
P
x
F
)
(
)
(
)
(
10
Zmienne losowe c.d.
( )
( )
( )
( )
∫
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
−
=
−
=
=
=
<
<
=
=
∞
<
<
−∞
=
∞
dx
x
f
X
E
X
X
E
X
E
dx
x
xf
X
E
dx
x
f
x
X
x
P
dx
x
f
X
P
F
x
x
2
2
2
2
1
)]
(
[
)]
(
[
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
2
σ
P(x
1
<X<x
2
) - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie
wartości pomiędzy x
1
a x
2
.
E(X) - wartość oczekiwana, jest miarą skupienia rozkładu
σ
2
- wariancja, jest miarą rozproszenia rozkładu. Wielkość
σ jest
odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim
kwadratowym)
11
Rozkład normalny
Przy dużej liczbie pomiarów przyjmuje się że pomiary jako
zmienne losowe mają rozkład normalny (rozkład Gaussa).
R
x
x
X
E
x
x
X
E
e
e
x
f
R
=
=
=
−
−
−
−
)
(
2
1
2
1
)
(
2
2
2
2
2
)
(
.
2
))
(
(
.
σ
σ
π
σ
π
σ
σ
2
σ
1
<
σ
2
x
f(x)
x
R
x
R
-
σ
x
R
+
σ
Wartości prawdopodobieństwa dla
szczególnych przedziałów:
P(x
R
-
σ
<x<x
R
+
σ
)=
0,68
P(x
R
-
2
σ
<x<x
R
+
2
σ
)=
0,95
P(x
R
-
3
σ
<x<x
R
+
3
σ
)=
0,9973
12
Rozkład normalny c.d.
σ
3
)
(
±
⇒
∆
±
X
E
x
x
g
R
takiej postaci wyniku
oczekiwaliśmy, szukaliśmy
graniczna niepewność wyniku
pomiaru („reguła trzech sigm”).
Jest to przedział ufności określony
na wybranym poziomie ufności
(istotności).
σ
3
=
∆ x
g
13
Praktyczna ocena błędów
przypadkowych
R
n
i
i
x
x
n
x
X
E
≈
=
=
∑
=1
1
)
(
oszacowanie wartości rzeczywistej. Tak
liczona wartość jest też zmienną losową
x
g
R
s
x
X
E
x
x
3
3
)
(
±
⇒
±
⇒
∆
±
σ
)
1
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
2
2
2
2
−
−
=
⇒
−
−
=
=
⇒
=
=
⇒
=
∑
∑
=
=
n
n
x
x
s
n
x
x
s
n
n
x
x
E
x
X
E
n
i
i
x
n
i
i
x
x
R
R
σ
σ
σ
σ
Ponowne
oszacowanie
wartości
rzeczywistej i jej
odchylenia
standardowego
dla n >30 ostateczny wynik to
14
Praktyczna ocena błędów
przypadkowych c.d.
dla n <30 korzysta się z rozkładu t-Studenta
x
g
R
s
t
x
x
x
α
±
⇒
∆
±
Z tablic, dla określonej liczby stopni
swobody k=n-1 i dla wybranego poziomu
ufności
α odczytuje się współczynnik t
α.
15
Błędy w pomiarach pośrednich
Pomiar bezpośredni
- pomiar, którego wynik
odczytuje się bezpośrednio ze wskazań przyrządu
pomiarowego
Pomiar pośredni
- pomiar, którego wynik oblicza się,
podstawiając do równania pomiaru wyniki pomiarów
pośrednich
)
,....,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
y
=
• x
1
, x
2
, ... ,x
n
wielkości mierzone bezpośrednio
• y wielkość mierzona pośrednio, przy czym:
Ponadto:
∆
s
x
1
,
∆
s
x
2
, ... ,
∆
s
x
n
błędy systematyczne
∆
g
x
1
,
∆
g
x
2
, ... ,
∆
g
x
n
błędy graniczne
16
Błędy w pomiarach pośrednich c.d
Wypadkowy błąd systematyczny
, jakim obciążona
będzie wielkość y, oblicza się metodami:
Przyrostów
)
,....,
,
(
)
,....,
,
(
2
1
2
2
1
1
n
n
s
n
s
s
s
s
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
y
y
y
y
−
∆
+
∆
+
∆
+
=
−
∆
+
=
∆
Różniczki zupełnej
n
s
n
s
s
s
x
x
y
x
x
y
x
x
y
y
∆
+
⋅
⋅
⋅
+
∆
+
∆
≈
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
Błąd względny dla obu metod liczy się:
y
y
s
y
s
∆
=
δ
17
Błędy w pomiarach pośrednich c.d
Błąd bezwzględny maksymalny (graniczny)
, z jakim mierzona jest
wielkość y, oblicza się
metodą różniczki zupełnej
:
n
g
n
g
g
g
x
x
y
x
x
y
x
x
y
y
∆
+
⋅
⋅
⋅
+
∆
+
∆
=
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
|
|
|
|
y
y
g
y
g
∆
=
δ
wtedy błąd względny:
Jeśli zależność na y jest postaci:
n
a
n
a
a
x
x
Ax
y
⋅
⋅
=
....
2
1
2
1
wtedy błąd ten można liczyć
metodą różniczki logarytmicznej
|
|
...
|
|
|
|
2
2
1
1
xn
g
n
x
g
x
g
y
g
a
a
a
δ
δ
δ
δ
+
+
+
=