Rachunek błędów

Podstawowe pojęcia, definicje i wzory.

2

Wstęp

Proces pomiarowy mający na celu poznanie
obiektu badań prowadzi często do określenia
wartości rzeczywistej badanej wielkości. Jednak
wynik pomiarów może różnić się od wartości
rzeczywistej wielkości mierzonej. Zatem ważną
częścią tego procesu jest analiza popełnionych w
trakcie pomiaru niedokładności. W tym celu
wprowadza się pojęcie

błędu pomiaru

(nazywanego w przeszłości

uchybem

) oraz jego

niepewności

. Spotykamy się też z innymi

pojęciami takimi jak:

dokładność

,

klasa

czy

tolerancja

3

Podstawowe definicje

„

Błąd pomiaru

-

niezgodność wyniku

pomiaru z wartością rzeczywistą wielkości
mierzonej

„

Błąd bezwzględny

-

jest to różnica

między wynikiem pomiaru x i wartością
rzeczywistą x

R

wielkości mierzonej i wyraża

się w tych samych jednostkach, co wielkość
mierzona

„

Błąd względny

- jest ilorazem błędu

bezwzględnego i wartości rzeczywistej
(wyrażany głównie w procentach, dzięki
temu jest przydatny przy porównywaniu
jakości pomiarów różnych wielkości

R

x

x

x

−

=

∆

%

100

R

x

x

x

∆

=

δ

4

Wartość poprawna

„

W metrologii wartość rzeczywista jest pojęciem
teoretycznym, jej przybliżeniem jest

wartość poprawna

,

czyli taka która określona jest wystarczająco dokładnie.
Dlatego wprowadza się błąd poprawny

p

x

x

x

x

x

p

p

x

x

x

P

P

P

P

P

+

=

−

=

∆

−

=

−

=

−

=

∆

p – poprawka

Służy do poprawienia
wyniku pomiaru

x

x

x

x

x

x

x

x

x

P

P

P

R

P

R

∆

∆

∆

∆

≈

≈

≈

=

δ

W praktyce Î :

5

Niepewność pomiaru

„

Graniczny błąd pomiaru

(

niepewność

pomiaru

) jest to błąd bez znaku i określa

przedział taki, że:

x

x

x

x

x

x

x

g

R

g

R

g

g

P

g

R

g

g

x

x

x

x

x

x

x

x

∆

∆

∆

≈

≈

=

∆

±

=

∆

+

≤

≤

∆

−

δ

Niepewność zwykle jest szacowana, czyli określana z pewnym
przybliżeniem co wynika z naszej niewiedzy na temat
dokładnych wartości x

R

, x

P

, czy też zjawisk.

6

Zapis wyników pomiarów

Ostateczny zapis wyników pomiarów musi mieć

odpowiednią formę. W tym celu dokonuje się zaokrągleń
w następujący sposób:

„

błędy (

∆ i δ) zaokrąglamy zawsze w górę, do jednej cyfry

znaczącej

„

liczbę przybliżoną (x) zaokrąglamy do tylu miejsc po
przecinku, ile występuje w błędzie.

Przykłady:

x=2,494 i

∆x=±0,043 zapisujemy

2,49

±0,05

x=237,465 i

∆x=±0,127 zapisujemy

237,5

±0,2

x=123375 i

∆x=±678 zapisujemy

123400

±700

lub

(123,4

±0,7) 10

3

7

Podział błędów ze względu ma

ich charakter

„

błędy systematyczne

„

błędy przypadkowe

„

błędy grube (nadmierne, omyłki)

8

Podział błędów ze względu na

ich charakter

„

Błąd systematyczny

- jest to błąd, który przy wielokrotnym

pomiarze danej wielkości w nie zmienionych praktycznie

warunkach, pozostaje stały co do wartości i co do znaku, albo

zmienia się według znanej zależności. Istotną cechą błędu

systematycznego jest to, iż można w wielu wypadkach usunąć go

z wyniku pomiaru wyznaczając poprawkę

„

Błąd przypadkowy

- jest to błąd zmieniający się w sposób

przypadkowy zarówno co do wartości, jak i co do znaku przy

wielokrotnym powtarzaniu pomiaru danej wielkości w

praktycznie niezmiennych warunkach.

„

Błąd nadmierny

- Zwany też

błędem grubym

lub

omyłką

. Jest to

rażąca odmienność wyniku pomiarowego od pozostałych. Jeśli

jest to faktycznie omyłka, wtedy pomiar taki odrzucamy w

przeciwnym razie wynik taki należy poddać wnikliwej analizie

9

Zmienne losowe

Wynik pomiaru i błąd przypadkowy można traktować jak

zmienne

losowe

. W dalszych rozważaniach zakładamy, że wynik pomiaru nie

jest obciążony błędem systematycznym.

„

Zmienna losowa X - jest to wielkość mierzalna, której wartości

(x) zależą od przypadku. W wyniku pomiaru zmienna losowa (X)
przyjmuje tylko jedną wartość (x) spośród wszystkich możliwych.

„

f(x) - funkcja gęstości
prawdopodobieństwa (gęstość
prawdopodobieństwa)

„

F(x) - dystrybuanta zmiennej losowej

dx

x

dF

x

f

)

(

)

(

=

( )

∫

∞

−

=

<

<

−∞

=

=

x

dx

x

f

x

X

P

X

P

x

F

)

(

)

(

)

(

10

Zmienne losowe c.d.

( )

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

−

=

−

=

=

=

<

<

=

=

∞

<

<

−∞

=

∞

dx

x

f

X

E

X

X

E

X

E

dx

x

xf

X

E

dx

x

f

x

X

x

P

dx

x

f

X

P

F

x

x

2

2

2

2

1

)]

(

[

)]

(

[

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

2

σ

„

P(x

1

<X<x

2

) - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie

wartości pomiędzy x

1

a x

2

.

„

E(X) - wartość oczekiwana, jest miarą skupienia rozkładu

„

σ

2

- wariancja, jest miarą rozproszenia rozkładu. Wielkość

σ jest

odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim

kwadratowym)

11

Rozkład normalny

„

Przy dużej liczbie pomiarów przyjmuje się że pomiary jako
zmienne losowe mają rozkład normalny (rozkład Gaussa).

R

x

x

X

E

x

x

X

E

e

e

x

f

R

=

=

=

−

−

−

−

)

(

2

1

2

1

)

(

2

2

2

2

2

)

(

.

2

))

(

(

.

σ

σ

π

σ

π

σ

σ

2

σ

1

<

σ

2

x

f(x)

x

R

x

R

-

σ

x

R

+

σ

Wartości prawdopodobieństwa dla
szczególnych przedziałów:

P(x

R

-

σ

<x<x

R

+

σ

)=

0,68

P(x

R

-

2

σ

<x<x

R

+

2

σ

)=

0,95

P(x

R

-

3

σ

<x<x

R

+

3

σ

)=

0,9973

12

Rozkład normalny c.d.

σ

3

)

(

±

⇒

∆

±

X

E

x

x

g

R

„

takiej postaci wyniku
oczekiwaliśmy, szukaliśmy

„

graniczna niepewność wyniku
pomiaru („reguła trzech sigm”).

„

Jest to przedział ufności określony
na wybranym poziomie ufności
(istotności).

σ

3

=

∆ x

g

13

Praktyczna ocena błędów

przypadkowych

R

n

i

i

x

x

n

x

X

E

≈

=

=

∑

=1

1

)

(

„

oszacowanie wartości rzeczywistej. Tak
liczona wartość jest też zmienną losową

x

g

R

s

x

X

E

x

x

3

3

)

(

±

⇒

±

⇒

∆

±

σ

)

1

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

2

2

2

2

−

−

=

⇒

−

−

=

=

⇒

=

=

⇒

=

∑

∑

=

=

n

n

x

x

s

n

x

x

s

n

n

x

x

E

x

X

E

n

i

i

x

n

i

i

x

x

R

R

σ

σ

σ

σ

„

Ponowne

oszacowanie

wartości

rzeczywistej i jej

odchylenia

standardowego

„

dla n >30 ostateczny wynik to

14

Praktyczna ocena błędów

przypadkowych c.d.

„

dla n <30 korzysta się z rozkładu t-Studenta

x

g

R

s

t

x

x

x

α

±

⇒

∆

±

„

Z tablic, dla określonej liczby stopni
swobody k=n-1 i dla wybranego poziomu
ufności

α odczytuje się współczynnik t

α.

15

Błędy w pomiarach pośrednich

„

Pomiar bezpośredni

- pomiar, którego wynik

odczytuje się bezpośrednio ze wskazań przyrządu
pomiarowego

„

Pomiar pośredni

- pomiar, którego wynik oblicza się,

podstawiając do równania pomiaru wyniki pomiarów
pośrednich

)

,....,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

y

=

• x

1

, x

2

, ... ,x

n

wielkości mierzone bezpośrednio

• y wielkość mierzona pośrednio, przy czym:

Ponadto:

∆

s

x

1

,

∆

s

x

2

, ... ,

∆

s

x

n

błędy systematyczne

∆

g

x

1

,

∆

g

x

2

, ... ,

∆

g

x

n

błędy graniczne

16

Błędy w pomiarach pośrednich c.d

Wypadkowy błąd systematyczny

, jakim obciążona

będzie wielkość y, oblicza się metodami:

„

Przyrostów

)

,....,

,

(

)

,....,

,

(

2

1

2

2

1

1

n

n

s

n

s

s

s

s

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

f

y

y

y

y

−

∆

+

∆

+

∆

+

=

−

∆

+

=

∆

„

Różniczki zupełnej

n

s

n

s

s

s

x

x

y

x

x

y

x

x

y

y

∆

+

⋅

⋅

⋅

+

∆

+

∆

≈

∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

1

1

Błąd względny dla obu metod liczy się:

y

y

s

y

s

∆

=

δ

17

Błędy w pomiarach pośrednich c.d

Błąd bezwzględny maksymalny (graniczny)

, z jakim mierzona jest

wielkość y, oblicza się

metodą różniczki zupełnej

:

n

g

n

g

g

g

x

x

y

x

x

y

x

x

y

y

∆

+

⋅

⋅

⋅

+

∆

+

∆

=

∆

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

1

1

|

|

|

|

y

y

g

y

g

∆

=

δ

wtedy błąd względny:

Jeśli zależność na y jest postaci:

n

a

n

a

a

x

x

Ax

y

⋅

⋅

=

....

2

1

2

1

wtedy błąd ten można liczyć

metodą różniczki logarytmicznej

|

|

...

|

|

|

|

2

2

1

1

xn

g

n

x

g

x

g

y

g

a

a

a

δ

δ

δ

δ

+

+

+

=