Błąd pomiaru

Podział błędów pomiaru:

1. Błędy systematyczne, których wartość można określić;

2. Błędy przypadkowe, zmieniają się w sposób nieprzewidziany przy wykonywaniu dużej liczby pomiarów tej samej wartości danej wielkości fizycznej, w jednakowych warunkach;

3. Błędy grube, powstają przy nieprawidłowo wykonanym pomiarze lub przy wadliwym działaniu przyrządu pomiarowego.

Wynik pomiaru dowolnej wielkości fizycznej różni się od wartości prawdziwej tej wielkości.

Błąd bezwzględny:

w_m – wartość zmierzona; w_rz – wartość rzeczywista

Błąd względny:

Klasa dokładności miernika

W_z – wartość końcowa zakresu pomiarowego.

PN-70/E-06501 podaje osiem klas mierników:

• Mierniki wzorcowe – klasy: 0,05; 0,1

• Mierniki laboratoryjne – klasy: 0,2; 0,5; 1,0

• Mierniki tablicowe - klasy: 1,5; 2,5; 5,0

Maksymalna bezwzględna wartość błędu bezwzględnego wyraża się wzorem

δ_m – klasa miernika, w_z – wartość zakresu pomiarowego.

Błędy pomiarów pośrednich

Metoda pochodnej logarytmicznej – stosowana, gdy mierzone wielkości fizyczne związane są prostą zależnością matematyczną (mnożenie, dzielenie).

Stosując tę metodę należy wykonać działania:

• Zlogarytmować obie strony równania opisującego zależność pomiędzy mierzonymi wielkościami,

• Zróżniczkować obie strony tego równania,

• Zastąpić różniczki zupełne błędami bezwzględnymi

• Określić wartość błędu względnego.

Przykład

Po zlogarytmowaniu

Zróżniczkowanie obu stron

Zastępujemy różniczki błędami bezwzględnymi

Błędy bezwzględne można wyznaczyć korzystając z klasy miernika

Wartość błędu względnego

Błąd bezwzględny

Wynik pojedynczego pomiaru

R_m – wartość mierzona rezystancji R,

R_rz – wartość rzeczywista mierzonej wielkości.

Metoda różniczki zupełnej

Znajduje zastosowanie w przypadku bardziej złożonych zależności matematycznych. Algorytm metody obejmuje następujące działania:

1. Wyznaczenie różniczki zupełnej poprzez obliczenie pochodnych cząstkowych,

2. Zastąpienie różniczek zupełnych błędami bezwzględnymi,

3. Podanie wyniku pomiaru.

Niech mierzona wielkość X będzie funkcją dwóch zmiennych A i B.

.

Aby policzyć błąd pomiaru według ww Algorytmu:

1. Różniczka zupełna dx:

2. Różniczki zupełne dX, dA, dB zastąpić błędami bezwzględnymi ΔX, ΔA, ΔB

3. Wynik pomiaru:

Rozkład normalny – rozkład Gaussa

Błędy przypadkowe są zdarzeniami, które mają pewną wartość ulegającą zmianom losowym. Zmiany te dostatecznie dokładnie opisuje i odzwierciedla rozkład normalny, zwany także rozkładem Gaussa.

Gęstość zmiennej losowej podlegającej rozkładowi normalnemu ma postać:

w – wartość mierzonej wielkości W;

σ_w – średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej zwany dystrybuantą rozkładu lub odchyleniem standardowym;

σ_r – średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru w serii zawierającej N jednakowo dokładnych pomiarów, definiowany następująco:

Gdzie: N- liczba pomiarów; w_i – wartość wielkości mierzonej w i-tym pomiarze.

Wzór na gęstość zmiennej losowej jest słuszny dla dużej liczby pomiarów.

Średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru umożliwia wykrycie przypadku wystąpienia błędu grubego (tzw. kryterium 3 sigmowe).
Pomiar obarczony jest błędem grubym, gdy

ΔW – błąd bezwzględny pomiaru; σ_r – średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru.

Dokładność pomiaru określa jednak średni błąd średniej arytmetycznej σ_w:

Rozkład błędów średniej σ_w jest zbliżony do normalnego. Ostateczny wynik pomiaru dla serii N pomiarów:

Przy wyznaczaniu błędów pomiaru metodą Gaussa, stosuje się postępowanie:

• Sprawdza się, czy liczba pomiarów N jest większa lub równa 10;

• W przypadku N≥10 wyznacza się wartość średnią pomiarów

• Dla każdego pomiaru oblicza się błąd bezwzględny ΔW;

• Oblicza się sumę kwadratów błędów bezwzględnych

• Wyznacza się średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru σ_r

• Stosuje się kryterium 3 sigmowe (jeśli pomiar spełnia warunek należy go odrzucić)

• Wyznaczyć średni błąd kwadratowy średniej arytm. σ_w

• Podać wynik pomiaru.

• Gdy wielkość mierzona jest funkcją wielu zmiennych np. A, B, C itd. Wówczas