Rachunek błędów

Wstęp

Proces pomiarowy mający na celu poznanie obiektu badań prowadzi często do określenia wartości rzeczywistej badanej wielkości. Jednak wynik pomiarów może różnić się od wartości rzeczywistej wielkości mierzonej. Zatem ważną częścią tego procesu jest analiza popełnionych w trakcie pomiaru niedokładności. W tym celu wprowadza się pojęcie błędu pomiaru (nazywanego w przeszłości uchybem) oraz jego niepewności. Spotykamy się też z innymi pojęciami takimi jak: dokładność, klasa czy tolerancja

Podstawowe definicje

Błąd pomiaru - niezgodność wyniku pomiaru z wartością rzeczywistą wielkości mierzonej

Błąd bezwzględny - jest to różnica między wynikiem pomiaru x i wartością rzeczywistą xR wielkości mierzonej i wyraża się w tych samych jednostkach, co wielkość mierzona

Błąd względny - jest ilorazem błędu bezwzględnego i wartości rzeczywistej (wyrażany głównie w procentach, dzięki temu jest przydatny przy porównywaniu jakości pomiarów różnych wielkości

Wartość poprawna

W metrologii wartość rzeczywista jest pojęciem teoretycznym, jej przybliżeniem jest wartość poprawna, czyli taka która określona jest wystarczająco dokładnie. Dlatego wprowadza się błąd poprawny

p – poprawka Służy do poprawienia wyniku pomiaru

W praktyce =>

Niepewność pomiaru

Graniczny błąd pomiaru (niepewność pomiaru) jest to błąd bez znaku i określa przedział taki, że:

Niepewność zwykle jest szacowana, czyli określana z pewnym przybliżeniem co wynika z naszej niewiedzy na temat dokładnych wartości xR, xP, czy też zjawisk.

Zapis wyników pomiarów

Ostateczny zapis wyników pomiarów musi mieć odpowiednią formę. W tym celu dokonuje się zaokrągleń w następujący sposób:

• błędy (∆ i δ) zaokrąglamy zawsze w górę, do jednej cyfry znaczącej

• liczbę przybliżoną (x) zaokrąglamy do tylu miejsc po przecinku, ile występuje w błędzie.

Przykłady:

x=2,494 i ∆x=±0,043 zapisujemy 2,49±0,05

x=237,465 i ∆x=±0,127 zapisujemy 237,5±0,2

x=123375 i ∆x=±678 zapisujemy 123400±700 lub (123,4 ±0,7) 10³

Podział błędów ze względu ma ich charakter

• błędy systematyczne

• błędy przypadkowe

• błędy grube (nadmierne, omyłki)

Podział błędów ze względu na ich charakter

• Błąd systematyczny - jest to błąd, który przy wielokrotnym pomiarze danej wielkości w nie zmienionych praktycznie warunkach, pozostaje stały co do wartości i co do znaku, albo zmienia się według znanej zależności. Istotną cechą błędu systematycznego jest to, iż można w wielu wypadkach usunąć goz wyniku pomiaru wyznaczając poprawkę

• Błąd przypadkowy - jest to błąd zmieniający się w sposób przypadkowy zarówno co do wartości, jak i co do znaku przy wielokrotnym powtarzaniu pomiaru danej wielkości w praktycznie niezmiennych warunkach.

• Błąd nadmierny - Zwany też błędem grubym lub omyłką. Jest to rażąca odmienność wyniku pomiarowego od pozostałych. Jeśli jest to faktycznie omyłka, wtedy pomiar taki odrzucamy w przeciwnym razie wynik taki należy poddać wnikliwej analizie

Zmienne losowe

Wynik pomiaru i błąd przypadkowy można traktować jak zmienne losowe. W dalszych rozważaniach zakładamy, że wynik pomiaru nie jest obciążony błędem systematycznym.

Zmienna losowa X - jest to wielkość mierzalna, której wartości (x) zależą od przypadku. W wyniku pomiaru zmienna losowa (X) przyjmuje tylko jedną wartość (x) spośród wszystkich możliwych.

f(x) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa (gęstość prawdopodobieństwa) F(x) - dystrybuanta zmiennej losowej

Zmienne losowe c.d.

P(x1<X<x2) - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości pomiędzy x₁ a x₂.

E(X) - wartość oczekiwana, jest miarą skupienia rozkładu

σ² - wariancja, jest miarą rozproszenia rozkładu. Wielkość σ jest odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim kwadratowym)

Rozkład normalny

Przy dużej liczbie pomiarów przyjmuje się, że pomiary jako zmienne losowe mają rozkład normalny (rozkład Gaussa).

Wartości prawdopodobieństwa dla

szczególnych przedziałów:

P(x_R-σ<x<x_R+σ)=0,68

P(x_R-2σ<x<x_R+2σ)=0,95

P(x_R-3σ<x<x_R+3σ)=0,9973

takiej postaci wyniku oczekiwaliśmy, szukaliśmy graniczna niepewność wyniku pomiaru („reguła trzech sigm”). Jest to przedział ufności określony na wybranym poziomie ufności (istotności).

Praktyczna ocena błędów przypadkowych

oszacowanie wartości rzeczywistej. Tak liczona wartość jest też zmienną losową

Ponowne oszacowanie wartości rzeczywistej i jej odchylenia standardowego

dla n >30 ostateczny wynik to

Praktyczna ocena błędów przypadkowych c.d.

• dla n <30 korzysta się z rozkładu t-Studenta

Z tablic, dla określonej liczby stopni swobody k=n-1 i dla wybranego poziomu ufności α odczytuje się współczynnik t_α.

Błędy w pomiarach pośrednich

„ Pomiar bezpośredni - pomiar, którego wynik odczytuje się bezpośrednio ze wskazań przyrządu pomiarowego

„ Pomiar pośredni - pomiar, którego wynik oblicza się, podstawiając do równania pomiaru wyniki pomiarów pośrednich

•x1, x2, ... ,xn wielkości mierzone bezpośrednio

• y wielkość mierzona pośrednio, przy czym:

Ponadto:

∆sx1, ∆sx2, ... , ∆sxn błędy systematyczne

∆gx1, ∆gx2, ... , ∆gxn błędy graniczne

Błędy w pomiarach pośrednich c.d

Wypadkowy błąd systematyczny, jakim obciążona będzie wielkość y, oblicza się metodami:

• Przyrostów:

• Różniczki zupełnej:

Błąd względny dla obu metod liczy się:

Błędy w pomiarach pośrednich c.d

Błąd bezwzględny maksymalny (graniczny), z jakim mierzona jest wielkość y, oblicza się metodą różniczki zupełnej :

wtedy błąd względny:

Jeśli zależność na y jest postaci:

wtedy błąd ten można liczyć metodą różniczki logarytmicznej